第2章应力和平衡

?定 义 式
面力： X ? lim ? P ?S? 0 ? S
?P
?S
Xi
?
lim
?S? 0
? Pi ?S
内力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。 内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
?
i (? )
?
lim
? S? 0
? Fi ?S
Xi
?
lim
? S? 0
? Pi ?S
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力， 而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
Chapter 3.1
用矩阵表示：
?? ??
?? ???
x yx
? xy ?y
Chapter 3.1
应力的定义
应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而 且和面元法线方向 ? 有关。
Chapter 3.1
? 作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同， 反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方 向相同，则应力矢量也相同。
应力矢量和 面力矢量的数 学定义和物理量纲都相同。
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
偏导数的下标记法
缩写张量对坐标xi偏导数的表达式
逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某
物理量对xi求(偏)导, 数i ?。??xi ( )
利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为
ui,
j
?
?ui ?xj
eij,
k
?
?eij
?xk
?
ij ,
k
?
?? ij
?xk
ui,
ik
?
?ui ?x j ?xk
eij,
kl
?
?eij
?xk?xl
?
ij ,
kl
?
?? ij
?xk?xl
张量的偏导数集合仍然是张量
证明： ui，j如果作坐标变换
? ? ? ? ? ? ui', j' ? ( ni'kuk ), j' ? k
l
(
k
ni'kuk ),
l
?xl ?xj'
?
l
?
l
(
k
缩写记为ui（i=1, 2, 3）
i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
? ij和eij ——9个应力分量或应变分量 ? ij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从1到3求和。
3
? A ? a k? k ? ak? k k ?1
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义
笛卡儿（Descartes）张量定义 一般张量——曲线坐标系定义
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相 关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
位移分量u，v，w
表示为u1, u2, u3
Chapter 3.1
应力
? 应力矢量
??
?
S
Chapter 3.1
应力矢量 ：
S
?
(? )
?
lim
? S? 0
?F ?S
??
?
若取? S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。
对于大变形问题，应取 ? S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
?z
? zx
? zy
z
?
y
? yx ? xz ? yz ? x
? zy
? xy
? zx
?
? yz
?y
yx
O
y?z
x
y
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
? yx ? y
规定使得单元体顺时的剪应力τ为
正，反之为负。
? xy ? ?? yx
? x ? xy? yx
?x
? xy
?y
x
应力张量通常用记号 σij表示，则有：
ni 'k u k ,
l)
?xl ?x j '
由于 xi ? nj'ixj'
因此 ?xi
?xj'
?
n j 'i
?? ui', j' ?
u k , l ni 'k n j 'l
第二章 应力与平衡
研究对象——三维弹性体 微分单元体入手 本章从静力学观点出发，讨论一点 的应力状态，建立平衡微分方程和 边界条件。
目录
§2.1 内力、应力和应力张量 §2.2 斜面应力公式 §2.3 应力的坐标转换 §2.4 应力平衡微分方程
§ 2.1 内力、应力和应力张量
外力
外力
?体 力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
??? zx ? zy
应力符号的意义：
? ?
xz yz
? ? ?
? z ??
其中，只 有6个量 独立。
?z
? zx
? zy
z
?
y
? yx ? xz ? yz ? x
? zy
? xy
? zx
?
? yz
?y
yx
第1个下标 x 表示τ所在
O
y?z
? xy 面的法线方向；
x
第2个下标 y 表示τ的方向.
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应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
(c）
上式就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂 直的两截面上的切应力大小相等。
应用切应力互等定理，应力张量 σij又可表示为：
? ij
?
?? ???
x xy
? xy ?y
? ?
xz yz
? ? ?
(d)
??? xz
? yz
?
z
? ?
可见应力张量是一个对称的二阶张量。
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
? ij
?
?? ???
x yx
? xy ?y
? ?
xz yz
? ? ?
??? zx ?zy
?
z
? ?
? ? ? ? ? 由 Mx ? 0 得： ? zydxdy dz ? ? yzdxdz dy
? zy ? ? yz
(a)
同理： ? M y ? 0
? xz ? ? zx
(b)
? Mz ? 0
? xy ? ? yx
?? A ?
aij? i? j ? aij? i? j
ij
哑标： 出现两次的下标——求和后消失
自由标：非重复下标
x1 ? c11y1 ? c12 y2 ? c13 y3
xi ? c ij y j x2 ? c21y1 ? c22 y2 ? c23 y3
x3 ? c31 y1 ? c32 y2 ? c33 y3
?面 力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼 上的空气动力、水坝所受的水压力等。
?定 义 式
体力： f ? lim ? F ?V? 0 ? V
fi
?
lim
?V? 0
? Fi ?V
?V ?F
f1
?
lim
?V? 0
? F1 ?V
f2
?
lim
? V? 0
? F2 ?V
f3
?
lim
? V? 0
? F3 ?V