09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)(最新整理)

一、（25 分，每小题 5 分）
（1）设
xn
(1
a)(1
a2 )(1
a2n
), 其中|
a
| 1,
求 lim n
xn .
（2）求
lim
x
ex
1
1 x
x2
。
（3）设 s 0 ，求 I esx xndx(n 1, 2,) 。 0
（4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， r
x2
y2 , g(x, y)
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
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六、（10 分）设抛物线 y ax2 bx 2 ln c 过原点.当 0 x 1 时, y 0 ,又已知该抛物 线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为 1 .试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的
3
旋转体的体积最小.
七、（15 分）已知 un (x) 满足 un (x) un (x)
xn1e x (n
1,2,) ,
且 un (1)
e
,
n
求函数
项级数 un (x) 之和. n1
八、（10 分）求 x 1 时, 与 xn2 等价的无穷大量. n0
2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
1
(1) 求极限 lim(n!)n2 n
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(2)
求通过直线
l
:
2 5
x x
y 3z 5y4
20 z30
的两个互相垂直的平面
1
和
2
，使其中
一个平面过点 (4 , 3 , 1) 。
(3)
已知函数 z u( x , y)eaxby ，且 2u 0 。确定常数 a 和 b ，使函数
n
1.求极限 lim 1 sin 1 4n2 . n
2.证明广义积分 sin x dx 不是绝对收敛的
0x
3.设函数 y y x 由 x3 3x2 y 2 y3 2 确定，求 y x 的极值。 4.过曲线 y 3 x x 0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的
x0 ，使得
f
(x0 )
0
。
三、（15 分）设函数
y
x 2t t2
f
(x)
由参数方程
y
(t
)
(t
1) 所确定，其中 (t) 具有二
阶导数，曲线 y (t) 与 y t2 eu2 du 3 在 t 1出相切，求函数 (t) 。
1
2e
n
四、（15 分）设 an 0, Sn ak , 证明： k 1
n1
n1
（1）若 lim an 1
n an1bn bn1
0 ，则级数 an 收敛；
n1
（2）若 lim an 1
n an1bn bn1
0 ，且级数 bn 发散，则级数 an 发散。
n1
n1
2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
x
x
t cos t
二、（本题 10 分）计算 e2x sin x dx 0
三、求方程 x2 sin 1 2x 501 的近似解，精确到 0.001. x
四、（本题 12 分）设函数 y f ( x) 二阶可导，且 f ( x) 0 ， f (0) 0 ， f (0) 0 ，
求 lim x0
_______________________________
3. 设函数 y y(x) 由方程 x yx sin2 t dt 所确定。求 dy _______________
1
4
dx x0
4.
设 xn
n k 1
(k
k
1)!
。则
lim
n
xn
______________________
1
5.
y2
1, 证明
c
2xydx (x)dy x4 y2
0;
（2）求函数(x) ；
A 2xydx (x)dy
（3）设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
c
x4 y2
。
2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一． 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）
1
（1）.求
三 ． （ 本 题 15 分 ） 设 函 数 f(x)在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且
f 0 , f ' 0 , f " 0 均 不 为 0， 证 明 ： 存 在 唯 一 一 组 实 数 k1, k2 , k3 ， 使 得
lim k1 f h k2 f 2h k3 f 3h f 0 0。
d2 y ________________. dx 2
二、（5
ex 分）求极限 lim(
e2x
e nx
e
)x
，其中 n
是给定的正整数.
x0
n
三、（15 分）设函数 f (x) 连续， g(x) 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) A ， A 为常数，求 g(x)
0
x0 x
并讨论 g(x) 在 x 0 处的连续性.
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2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与两 1 x y
坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向 ( , , ) 的最大值和最小值。
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六、(15 分)设函数(x) 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上，曲线
A 2xydx (x)dy
积分
的值为常数。
c
x4 y2
A （1）设 L 为正向闭曲线 (x 2)2
3
面积为 ，求点 A 的坐标。
4
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二、（满分
12）计算定积分
I
x
sin x 1
arctan cos2 x
ex
dx
三、（满分 12 分）设 f x 在 x 0 处存在二阶导数 f 0 ，且 lim f x 0 。
x0 x
证明
：级数 n1
f
1 n
收敛。
四 、 （ 满 分 12 分 ） 设 f x , f x 0a x b ， 证 明
b
sin
a
f
x dx
2 m
五、（满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二
型的曲面积分 I x3 x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy 。试确定曲面
，使积分 I 的值最小，并求该最小值。
六、（满分
14
分）设 Ia
r
A ydx xdy
an an1 绝对收敛。
n1
七．（本题 15 分）是否存在区间 0, 2 上的连续可微函数 f(x)，满足 f 0 f 2 1
，
f 、 x 1,
2
f x dx 1？请说明理由。
0
2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写 出重要步骤）
已知 lim1 x x0
f
(x) x x
e3 。则 lim wk.baidu.com0
f (x) x2
____________________
二、
（本题 12 分）设 n 为正整数，计算 I
1 e 2 n
d cos ln 1 dx 。 dx x
三、 （本题 14 分）设函数 f (x) 在[0,1] 上有二阶导数，且有正常数 A, B 使得| f "(x) | B 。证明：对任意 x [0,1] ，有| f '(x) | 2A B 。 2
lim
x0
sin x
x
1cos
x
；
（2）.求
lim
n
n
1 1
n
1
2
...
n
1
n
；
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x ln 1 e2t
d2y
（3）已知 y
t
arctan et
，求
dx2
。
二．（本题 10 分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0 的通解。
四、（15 分）已知平面区域 D {(x, y) | 0 x , 0 y }， L 为 D 的正向边界，试证：
（1） xesin ydy yesin xdx xesin ydy yesin xdx ；
L
L
（2） xesin ydy yesin ydx 5 2 .
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某二阶常系数
h0
h2
四．
（
本题
17 分
）设
1
:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1，
其中
a b c 0，
2 : z2 x2 y2 ， 为 1 与 2 的交线，求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。
x2 3y2 1
五．（本题
16
分）已知
S
是空间曲线
z
0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部
1. 已 知 y1 ex 和 y1 xex 是 齐 次 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 解 ， 则 该 方 程 是 ___
_________________________________
2. 设有曲面 S : z x2 2 y2 和平面 L : 2x 2 y z 0 。则与 L 平行的 S 的切平面方程是
（1）当
1 时，级数
n1
an Sn
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
五、（15 分）设 l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（其中 2 2 2 1) 的直线，均匀椭球 x2 y2 z2 1 ，其中（ 0 c b a, 密度为 1）绕 l 旋转。 a2 b2 c2
x3 f (u) f ( x)sin3 u ，其中 u 是曲线
y
f ( x) 上点 P( x ,
f ( x)) 处的切线在 x 轴
上的截距。
1
五、（本题 12 分）求最小实数 C ，使得满足 f ( x) dx 1 的连续函数 f ( x) 都 0
1
有
f ( x )dx C
0
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分（ z 0 ）取上侧， 是 S 在 P x, y, z 点处的切平面， x, y, z 是原点到切
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平面 的距离， , , 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
S
z x, y,
z
dS
；（2）
S
z
x
3
y
z
dS
六．（本题 12 分）设 f(x)是在 , 内的可微函数，且 f 、 x mf x ，其 中 0 m 1， 任 取 实 数 a0 ， 定 义 an ln f an1 , n 1, 2,..., 证 明 ：
六、（本题 12 分）设 f ( x) 为连续函数， t 0 。区域 是由抛物面 z x2 y2
和球面 x2 y2 z2 t 2 (z 0) 所围起来的部分。定义三重积分
F(t)
f ( x2 y2 z2 )dv
求 F (t) 的导数 F (t)
七、（本题 14 分）设 an 与 bn 为正项级数，证明：
f
1 2g r ，求 x2
2g y 2
。
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x
（5）求直线
l1
:
z
y 0
0 与直线 l2
:
x2 4
y 1 2
z3 1
的距离。
二、（15 分）设函数 f (x) 在 (, ) 上具有二阶导数，并且
f
( x)
0, lim x
f
( x)
0,
lim
x
f
( x)
0,
且存在一点
C x2 y2 a
，其中 a 为常数，曲线
C
为椭圆
x2
xy
y2
r2 ，取正向。求极限
lim
r
Ia
r
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1 1 1
七（满分
14
分）判断级数
n1
n
2
1 n
n
2
的敛散性，若收敛，求其和。
2014 年 全国大学生数学竞赛预赛试题
一、 填空题(共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分)
x y
z z( x , y) 满足方程 2z z z z 0 x y x y
(4) 设函数 u u( x ) 连续可微， u(2) 1 ，且 ( x 2 y)udx ( x u3 )udy 在右半平
面与路径无关，求 u( x , y) 。
(5) 求极限 lim 3 x x1 sin t dt
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
3．曲面 z x2 y2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________. 2
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则