线性对流占优扩散方程的后验误差估计
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ｅ ＣＯ
＋
由方程 ∑ （３ 可得 １）
ｎ． （ 一 ） ｄ ｄ
惰
所 以
（ — ） ａ． — ） ｘ ｒ＝ － Ｖ（ ｄ ｄ
Ｅ
（ — ） 丁 ｄ ｄ
Ｊ（ｍ Ｕ） （） ＿０ ＋ Ｉ ． —ｍ ．（ Ｕｄ ） （ ｘ ｄ ，ｕ ） 。０
关键词：后验误差估计； 对流占优； 特征线方法
中图分类号： Ｏ２ ２２ ４ ，１
文献 标 志 码 ： Ａ
１引 言
对流 和扩散 方程 在气象 、空气 动力学 和 生理 学 等应用数 学 的很 多领 域 中有着及 其重要 的作 用．
在很 多实 际情 况 中， 对流过程 和扩散过 程相 比， 者 占有 绝对 主要的地位 ． 前 这样 就得 出一 类几 乎双 曲 的控制方 程，
ｆ ” Ｖ ｓ． 求Ｕ ∈ ｏ ． ｎ ｔ
１ （ —ｎ，＋ ｎ ： ｎ， ∈ Ｕ １ （ ， ＜ ｕ ｎ — ｖ ￡ ） ｉ ） －） ，
其中 一 ＝Ｕｎ １ ；ｎ ） ： － （ ， ｔ－ ）． （ ｎ
同时， 引入如 下记号 以及 网格相 关 的范数：
（ ５ ）
由此可得 问题 （） １ 的半离 散方程
ｕｎ ＿
— —
（） ２
） （ （，；） ） ＝ｎ ｓ ，
【 （ ｓ ） ｘｘ ； ＝ ，ｓ
￣ｎ－１ －
一
Ａ ｎ ｆ．ｖ ＝ ｎ ∈Ｑ
收稿 日期： ００１—２ ２ １—０２ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （ ８１ １） １ ００４ ０
参考 文献
… Ｂ ｂ ￣ａ ， ｈｉｂ ｌ Ｃ Ｅ ｒｒ ｓ ｍａｅ ｆ ｄ ｐｉ ｎｔ ｅ ｍｅｔ ｏ ｐ ｔｔ ｎ［ ． Ｉ Ｍ Ｊ ｕ ｅ ａｕｋ Ｒ ｅ ｏ ｔ Ｉ ｎ ｄ Ｗ ． ｒｏ ｔ ｔｓ ｏ ａａ ｔ ｅ ｉ ｌ ｎ ｍ ｕａｉ ｓ ］ＳＡ ｍ ｒ ｅｉ ｒ ｖｆ ｅ ｅ ｉ ｃ ｏ Ｊ Ｎ
Ａｎ ｌ １７ ， ５４ ： ３ ５ ． ａ， ９ ８ ｌ （） ７ ６ ７ ４
『 Ｖ ｒ ｒ Ａ Ｒ ｖｅ ｆ ｏｔｒ ｒ Ｅ ｒｒ ｓ ｍ ｔ ｎａ ｄａ ａｔ ｅＭｅｈ Ｒ ｆ ｅ ｅ ｔ ｅｈ ｉｕｓ ． ２ ｅｆ ｔ Ｒ． ｅｉ ｏ Ｐ ｓ ｉ ｉ ｒ ｔ ａｉ ｎ ｄ ｐｉ ｓ ｅ ｎｍ ｎ Ｔ ｃｎｑ ｅ［ ］ ｉ ｆｈ ｗ ａ ｅｏ ｏ Ｅ ｉ ｏ ｖ ｉ Ｍ］
ｏ ｏ ｂｎｎ ｈ ｔｏ ｆ ｈｒｃ ｒｔ ｉ ｎ ｅ ｌ ｎ ｒ ｎ ｅ ｉ ｒｎｅ ｒｃｄ ｒｓ ］ＳＡ Ｊ ｎｃｍ ｉｉｇｔｅ ｈ ｄｏ ａａｔ ｉ ｉ ｗｔ ｆ ｉ ｅ ｔ ｉ ｆ ｅ ｃ ｐｏｅｕｅ［． Ｉ Ｍ ｍｅ ｃ ｅ ｓｃ ｈｉ ｔ ｅ ｍｅ ｏ ｆ ｔ ｄ ｅ ｉ Ｊ
Ｔｅ ｕｂｎｅ ，１９ ｒ ９６．
『１Ｊｍ ｕ ｌｓ ｒ Ｔｈ ｍａ ｓ ｅ ． ｍｅ ｉａ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｏ ｖ ｃ ｉｎ ｄ ｍｉ ａ ｅ ｉ ｕ ｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ａ ｅ ３ ｉ Ｄｏ ｇａ ， ｏ ｓ Ｒｕ ｓ ｌ Ｎｕ ｒｃ ｌ ｔ ｏ ｓ ｎ ｅ ｔｏ — ｏ ｎ ｔ ｄ ｄ ｆ ｓ ｒ ｂ ｅ ｂ ｓ ｄ Ｊ Ｆ １ ｏ ｆ ｃ ｏ
文章编号： ０９１２（０１０—１８０ １０—３７２１）１００—５
线性对流 占优扩散方程的后验误差估计
纪光 华，张 辉
北京师范大 学 数学科 学学院， 北京 １０ ７ ０８５
摘要： 对于线性对 流占优扩散方程 ， 采用特征线有限元方法离散 时间导数项和对 流项，用分片线性有限 元离散空间扩散项， 并给出了一致的后验误差估计， 其中估计常数不依赖与扩散项 系数 。
Ｊ ） － Ｋ
． 一
ｆ ｈ ｌ。 ） ｕ Ｌ （ ： （∑ ｍ ｐｌ Ｑ
＼ 朋ｎ ∈
、．Ｋ、 、 ● ＿ ＿ 、 ， ＝ ， ＝
ｉ１ Ｌ（） ｌ／ ｌ 。 ｈ Ｑ
则 可得如 下后验 误差估 计．
ｆ ｆ
＼
ｅ ＥＢ ｎ
ｈ
定 理 ２１ 如 果 ．
ｌ 一Ｉ ｌ ＋ｈ ｌ （ ｌ Ｉ ｌ（ Ｌ ） Ｋ］ 一Ｉ ￣ Ｉ Ｋ ≤Ｃ ｈ ｌ ｌ （ ） Ｉ ）Ｌ（） Ｋｆ ” Ｉ Ｖ￣ｌ。 ＬⅣ ｌ ｌ 妒一Ｉ ￣１。 ） Ｉ １ （ ≤Ｃ ｉ Ｉ Ｉ。 （ ） Ｌ ｈ／ Ｉ Ｌ（ Ｋ） Ｖ￣Ｉ Ⅳ
其 中 Ｎ（ ） Ｓ周 围的所有 单元 的并 集， （ ） Ｓ 为 Ｓ＝ 单元 或者 Ｓ＝ ｅ单元 的边界 ） （ ．在方程 （７ 中取 １）
ｍ ｔ ”
￡ （ ｄ丁 ）ｄ —
ｒ
＋
ｍ ｒｔ “
（ ，一 （
） 打 ）ｒ－ ｄ
锄
＋
１
）７ ｄ。
＋
薹
－Ｖ 丁 ａ吣 ．
（８ １） （９ １）
引入 Ｃ５ ｅｔ ｌ ｎ 插值算子 Ⅱ 硎 （ ） ｍ ｎ： 【 一 ， ２ 满足如下性质 ［＝ ７ 对于任意 ∈础 （） 】 Ｑ
２ 后验误差分析
考虑 Ｄｉｃ ｌ 边 界 ｕ ｘ ｔ ＝ ０ＸＥ Ｆ 初值 （， ） ｏ ， ｒ ｈｅ ｉ ｔ （， ） ， ， ０ ＝ （） 则原 问题 （）的变分 问题如 下 ： １ 求 乱∈ （２ ｓ ． 【 ． ）ｔ
（ ， ＋ （ Ｖｕ ＋ （ ｕ ） ０・ ， ） Ｅ ， ） （， ， Ｖ ＝ ｆ ∈月 （） ） 【 ２ 对 时 间导 数项和对 流项沿 （） 所示 的特征线方 向离散 ， ３式 可得 以下 的离散变分 问题 ： （
Ｊ ｔ ・ ｕ—ｚ ｕ＝ｆ Ｕ ＋０ Ｖ Ａ ，
・
∈Ｑ ｔ ０Ｔ ， ，】 Ｅ（
…
ｎ ） （ ＝０
而这类 方程 的解 呈现 出某些局 部的性质 ， 比如 ： 击波 、 变速 层等． 给这类 方程 的数 值求解带 来很大 这 的 困难 ． Ｂ ｂ ￣ａ等人 ［ 首先提 出的基 于后验误 差估计子 的 自适应 有限元 方法， 由 ａ ｕｋ 】 对这类 问题的数
第 １ 卷第 １ ３ 期
２ １年 ３月 ０１
应 用泛 函分 析 学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ ｙＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ Ｉ ｏＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖ ｌ ． ３．Ｎ Ｏ． ０ １ １ １ Ｍ ａｒ．２ ． ０１１
ＤＯＩ： ０３ ２ ／ Ｐ３１ ６ ． １ ． １ ８ １ ．７ ４ Ｓ ．．１ ０２ １０ ０ ０ ０
Ｎｕ ｒＡｎ ｌ １ ８ ， ９５：８ １ ８ ５ ｍｅ ａ， ９ ２ １ （） ７ ８ ． 『 ｉ ｎ ｅｕ０ Ｏ ｅ ｒｎｐ ｒ ｄｆ ｓ ｎａ ｏｉ ｍ ａ ｄｉ ｐ ｌａｉ ｅ ａ ｉ—ｔｋｓ ｑ ａｉ ｓ ］ ４ Ｐｒ ｎ ａ ． ｎｔ ａｓｏｔ ｉｕｉ ｌ ｒ ｈ ｎ ｓ ｐ ｃｔ ｎｔ ｔ ｖｅ Ｓｏｅ ｅｕｔ ｎ ［． １ ｏ ｈｔ — ｏ ｇ ｔ ｔａ ｉ ｏ ｏ ｈ Ｎ ｒ ｏ Ｊ
丁
为 了证 明上述定理 ， 首先 引入 原 问题 （） １ 的对 偶 问题
－
￣ Ｖ￣ － △矽 ＝ 。 ｘＥｆ ｅ － ａ． ‘ ￣ ，
，
（３ １）
，
如果 ｘ∈ 。Ｑ 则 易见 问题 （３ （） １）的弱解存 在唯 一， 而且 弱解 满足如 下定 理
ｔ ｍ
（ ＋． ・ ） ａ Ｕ＋ 捌丁 ｖ
第 １ 期
纪光华， 线性对流占优 扩散方程 的后验误差估计 等：
１１ １
记 上式 中右端 第三项 为
（ 一 ｄ － Ｒ ， ）Ｔ－
＋ ．（ 呈
＋
ｅ＼ ［ ］一ｄ Ｃａ ］ ７ Ｏｎ ￣ （ ） Ｋ ＿ Ｏ ａＵ） ｔ ‘，ｒ Ｕ ｖ＼ ＾ ＾ ｄ —
第 １ 期
纪光华， 线性对 流占优扩散方程的后验误差估 计 等：
１９ ０
其 ｎ１） ｎ１ｔ，＝ １／ ．， ， 一ｎ ＿ 记Ｖ 为ｔ时 网 中￣ （ ＝ （（ｔｔ ）”， 厂 ｔ—ｎ。 ｎ ｎ 刻 格 － ，；－，） （） ．出 ．
Ａ 上的分片线性有限元空间， ４ ： ＝｛ｌ ∈础 （） ｎ． Ｑ ｎ ）则有如下形式的离散变分形式：
定理 ２２ 对 于任意 ０≤ ≤Ｔ， ． 有如 下估计
。
）
打
。
。 ｄ
（４ １）
１０ １
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １卷 ３
证 明 在方 程 （３ 两端 同时乘 以 且 在 ［Ｔ ×Ｑ上积分得 ， １） ｔ ］ ，
Ｔ
一
０ Ｏ ｘ ｒ－ Ｔ ｔ Ｃｄ ｄ
＝
Ｉ ， 方 程可 以改写成 Ｉ 则
／（仳 一 ｍ ｘ （ ）） ｕ ） 一 二ｉ） （（ ． ｄ
由误 差 的 范数 的定 义
（） ２ ０
（１ ２）
ｌ ｆ Ｌ
）∈ ， ｎ） （ Ｊ “Ｊ 【 Ｉ Ｉ ‘ ， ｌ Ａ Ｌ Ｌ ｌ
（８ ，１ ）（０ 和定 理 ２２容 易推 出定理 ２１的结 论． １ ）（９，２ ） ． ．
ｔ ｍ
ｚ ．． ．ｓ ２＝
Ｅ 一ｄ － ． ｘ ／ 仳 ｄｏ Ｔ
所 以
一ｓ 叫ｄ 丁
（ — ） 丁 ｄ ｄ
） ・ｕ －Ｕｍ） ＝ （） ｍ （（ ｄ ＋
一
（。（￣ ｏｄ ・ ） －Ｕ ） ＋ ， ｕ （ ＋Ⅱ， “ ＋
‘ ｔ 时刻 的解， ２和 ５在 ｍ 则如 下估 计成 立
５
Ｉ 一 Ｉ（ ≤∑ 『 ｌｉ ｃ Ｌ２ 。）
＝ｌ
其 中
，Ｌ
，
加
Ｕ
、 ｌ２ ／
（ Ｑ）
｝ ）
０。 ｖｕＩ 。 ）ｒ Ｉ （ ｄ Ｌａ
一
ｍ
札
ｌ ＿ｌ ｌ ｌ ＿ ｕｌ ，
ｎ． ｄ Ｔ ｍ ｘｄ
Ｔ
ｓ ｄｄ △ 丁＝。
（５ ）
一
ｆ ＱＣ Ｔ ｉ ）（ （（ Ｔ ｔｘ ｅ ｌ） ｌ ｎ ０ｄ ＝ｌ， Ｑ１１ ） ￣ ｄ （ｌ 一１ ｆｂ ． ） ｌ
Ｖ－ ａ＝０
Ｔ Ｔ
由于
，／
Ｈ， ／
“
ｄ 丁
一
） 一 （ （ ） ＋ 妒 ． ） 。 。 ｄ （。（ 一 ） 】 ｕ ｎ． （ ） ７ 一 ｄ ｄ－
。
（ ＋． ￡ ・ ）ｄ ａ Ｕ＋ ｄ丁 ｖ
一
Ｉ ｏ
【 ２
Ｉ Ｕｓ ｕ） －ｄ
（ — ）
Ｓ ２ Ｊ ０
由方程 （）２ ＝ １７ ） （
（。（￣ ｏｄ ． ） －Ｕ ） ＋ ． ｕ
＋ （产ｄ ＋ 产 一ｄ ， ）ｄ ／ （ 一 Ｔ ｏ ）丁 ｘ ｄ （ （ ）￡ ｎｅ 丁 ＋ ｕ ） （ ，１ ｒ｝ ｄ
值求解提 供 了一套 系统 的方法 ． 关于残量 型后验误 差估计 可以参 见 Ｖ ｒ ｉ ｈ的书 ［＿ ｅｆｒ ｉｔ ２ 】 对时 间导数和对 流项采 用沿特 征线方 向的离散 ， 该方法 ［ ４ 已经 被广泛 应用于对 流扩散 问题， ３ ］ －
耗 散项采 用分 片线性 有限元 方法离 散．Ｈ ｕｔｎＰ 和 Ｃ ｅ ［ 对 于 问题 （） ｏｓ 【 ｏ 】 ｈ ｎｚ。 】 １ 分别 给 出了 。 ） （ 模和 。（ ） 的后验 误差估 计． 。 模 本文 我们将给 出一个一致 的 Ｌ ） 的后验 估计． （ 模
（ｔ ＝ ・ ）： （ ｆ ｔ 一 ， － ｏ ≤￡ ” ） ｒ ≤￡
）： ：
Ｒｎ ：
一 （十 ． ）
—
ｎ． 当 （ ）
≤ ≤￡ ｎ
，
一 — ｎ ＿ （ｎ １ Ｕ ］ ．－ ＇
７ｎ －
∑鲫
２
ｍ 一
一
一 一
【
ｌ ＝ （ Ｉ ｅ： Ｖ Ｋ 一
＋
由方程 ∑ （３ 可得 １）
ｎ． （ 一 ） ｄ ｄ
惰
所 以
（ — ） ａ． — ） ｘ ｒ＝ － Ｖ（ ｄ ｄ
Ｅ
（ — ） 丁 ｄ ｄ
Ｊ（ｍ Ｕ） （） ＿０ ＋ Ｉ ． —ｍ ．（ Ｕｄ ） （ ｘ ｄ ，ｕ ） 。０
关键词：后验误差估计； 对流占优； 特征线方法
中图分类号： Ｏ２ ２２ ４ ，１
文献 标 志 码 ： Ａ
１引 言
对流 和扩散 方程 在气象 、空气 动力学 和 生理 学 等应用数 学 的很 多领 域 中有着及 其重要 的作 用．
在很 多实 际情 况 中， 对流过程 和扩散过 程相 比， 者 占有 绝对 主要的地位 ． 前 这样 就得 出一 类几 乎双 曲 的控制方 程，
ｆ ” Ｖ ｓ． 求Ｕ ∈ ｏ ． ｎ ｔ
１ （ —ｎ，＋ ｎ ： ｎ， ∈ Ｕ １ （ ， ＜ ｕ ｎ — ｖ ￡ ） ｉ ） －） ，
其中 一 ＝Ｕｎ １ ；ｎ ） ： － （ ， ｔ－ ）． （ ｎ
同时， 引入如 下记号 以及 网格相 关 的范数：
（ ５ ）
由此可得 问题 （） １ 的半离 散方程
ｕｎ ＿
— —
（） ２
） （ （，；） ） ＝ｎ ｓ ，
【 （ ｓ ） ｘｘ ； ＝ ，ｓ
￣ｎ－１ －
一
Ａ ｎ ｆ．ｖ ＝ ｎ ∈Ｑ
收稿 日期： ００１—２ ２ １—０２ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （ ８１ １） １ ００４ ０
参考 文献
… Ｂ ｂ ￣ａ ， ｈｉｂ ｌ Ｃ Ｅ ｒｒ ｓ ｍａｅ ｆ ｄ ｐｉ ｎｔ ｅ ｍｅｔ ｏ ｐ ｔｔ ｎ［ ． Ｉ Ｍ Ｊ ｕ ｅ ａｕｋ Ｒ ｅ ｏ ｔ Ｉ ｎ ｄ Ｗ ． ｒｏ ｔ ｔｓ ｏ ａａ ｔ ｅ ｉ ｌ ｎ ｍ ｕａｉ ｓ ］ＳＡ ｍ ｒ ｅｉ ｒ ｖｆ ｅ ｅ ｉ ｃ ｏ Ｊ Ｎ
Ａｎ ｌ １７ ， ５４ ： ３ ５ ． ａ， ９ ８ ｌ （） ７ ６ ７ ４
『 Ｖ ｒ ｒ Ａ Ｒ ｖｅ ｆ ｏｔｒ ｒ Ｅ ｒｒ ｓ ｍ ｔ ｎａ ｄａ ａｔ ｅＭｅｈ Ｒ ｆ ｅ ｅ ｔ ｅｈ ｉｕｓ ． ２ ｅｆ ｔ Ｒ． ｅｉ ｏ Ｐ ｓ ｉ ｉ ｒ ｔ ａｉ ｎ ｄ ｐｉ ｓ ｅ ｎｍ ｎ Ｔ ｃｎｑ ｅ［ ］ ｉ ｆｈ ｗ ａ ｅｏ ｏ Ｅ ｉ ｏ ｖ ｉ Ｍ］
ｏ ｏ ｂｎｎ ｈ ｔｏ ｆ ｈｒｃ ｒｔ ｉ ｎ ｅ ｌ ｎ ｒ ｎ ｅ ｉ ｒｎｅ ｒｃｄ ｒｓ ］ＳＡ Ｊ ｎｃｍ ｉｉｇｔｅ ｈ ｄｏ ａａｔ ｉ ｉ ｗｔ ｆ ｉ ｅ ｔ ｉ ｆ ｅ ｃ ｐｏｅｕｅ［． Ｉ Ｍ ｍｅ ｃ ｅ ｓｃ ｈｉ ｔ ｅ ｍｅ ｏ ｆ ｔ ｄ ｅ ｉ Ｊ
Ｔｅ ｕｂｎｅ ，１９ ｒ ９６．
『１Ｊｍ ｕ ｌｓ ｒ Ｔｈ ｍａ ｓ ｅ ． ｍｅ ｉａ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｏ ｖ ｃ ｉｎ ｄ ｍｉ ａ ｅ ｉ ｕ ｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ａ ｅ ３ ｉ Ｄｏ ｇａ ， ｏ ｓ Ｒｕ ｓ ｌ Ｎｕ ｒｃ ｌ ｔ ｏ ｓ ｎ ｅ ｔｏ — ｏ ｎ ｔ ｄ ｄ ｆ ｓ ｒ ｂ ｅ ｂ ｓ ｄ Ｊ Ｆ １ ｏ ｆ ｃ ｏ
文章编号： ０９１２（０１０—１８０ １０—３７２１）１００—５
线性对流 占优扩散方程的后验误差估计
纪光 华，张 辉
北京师范大 学 数学科 学学院， 北京 １０ ７ ０８５
摘要： 对于线性对 流占优扩散方程 ， 采用特征线有限元方法离散 时间导数项和对 流项，用分片线性有限 元离散空间扩散项， 并给出了一致的后验误差估计， 其中估计常数不依赖与扩散项 系数 。
Ｊ ） － Ｋ
． 一
ｆ ｈ ｌ。 ） ｕ Ｌ （ ： （∑ ｍ ｐｌ Ｑ
＼ 朋ｎ ∈
、．Ｋ、 、 ● ＿ ＿ 、 ， ＝ ， ＝
ｉ１ Ｌ（） ｌ／ ｌ 。 ｈ Ｑ
则 可得如 下后验 误差估 计．
ｆ ｆ
＼
ｅ ＥＢ ｎ
ｈ
定 理 ２１ 如 果 ．
ｌ 一Ｉ ｌ ＋ｈ ｌ （ ｌ Ｉ ｌ（ Ｌ ） Ｋ］ 一Ｉ ￣ Ｉ Ｋ ≤Ｃ ｈ ｌ ｌ （ ） Ｉ ）Ｌ（） Ｋｆ ” Ｉ Ｖ￣ｌ。 ＬⅣ ｌ ｌ 妒一Ｉ ￣１。 ） Ｉ １ （ ≤Ｃ ｉ Ｉ Ｉ。 （ ） Ｌ ｈ／ Ｉ Ｌ（ Ｋ） Ｖ￣Ｉ Ⅳ
其 中 Ｎ（ ） Ｓ周 围的所有 单元 的并 集， （ ） Ｓ 为 Ｓ＝ 单元 或者 Ｓ＝ ｅ单元 的边界 ） （ ．在方程 （７ 中取 １）
ｍ ｔ ”
￡ （ ｄ丁 ）ｄ —
ｒ
＋
ｍ ｒｔ “
（ ，一 （
） 打 ）ｒ－ ｄ
锄
＋
１
）７ ｄ。
＋
薹
－Ｖ 丁 ａ吣 ．
（８ １） （９ １）
引入 Ｃ５ ｅｔ ｌ ｎ 插值算子 Ⅱ 硎 （ ） ｍ ｎ： 【 一 ， ２ 满足如下性质 ［＝ ７ 对于任意 ∈础 （） 】 Ｑ
２ 后验误差分析
考虑 Ｄｉｃ ｌ 边 界 ｕ ｘ ｔ ＝ ０ＸＥ Ｆ 初值 （， ） ｏ ， ｒ ｈｅ ｉ ｔ （， ） ， ， ０ ＝ （） 则原 问题 （）的变分 问题如 下 ： １ 求 乱∈ （２ ｓ ． 【 ． ）ｔ
（ ， ＋ （ Ｖｕ ＋ （ ｕ ） ０・ ， ） Ｅ ， ） （， ， Ｖ ＝ ｆ ∈月 （） ） 【 ２ 对 时 间导 数项和对 流项沿 （） 所示 的特征线方 向离散 ， ３式 可得 以下 的离散变分 问题 ： （
Ｊ ｔ ・ ｕ—ｚ ｕ＝ｆ Ｕ ＋０ Ｖ Ａ ，
・
∈Ｑ ｔ ０Ｔ ， ，】 Ｅ（
…
ｎ ） （ ＝０
而这类 方程 的解 呈现 出某些局 部的性质 ， 比如 ： 击波 、 变速 层等． 给这类 方程 的数 值求解带 来很大 这 的 困难 ． Ｂ ｂ ￣ａ等人 ［ 首先提 出的基 于后验误 差估计子 的 自适应 有限元 方法， 由 ａ ｕｋ 】 对这类 问题的数
第 １ 卷第 １ ３ 期
２ １年 ３月 ０１
应 用泛 函分 析 学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ ｙＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ Ｉ ｏＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖ ｌ ． ３．Ｎ Ｏ． ０ １ １ １ Ｍ ａｒ．２ ． ０１１
ＤＯＩ： ０３ ２ ／ Ｐ３１ ６ ． １ ． １ ８ １ ．７ ４ Ｓ ．．１ ０２ １０ ０ ０ ０
Ｎｕ ｒＡｎ ｌ １ ８ ， ９５：８ １ ８ ５ ｍｅ ａ， ９ ２ １ （） ７ ８ ． 『 ｉ ｎ ｅｕ０ Ｏ ｅ ｒｎｐ ｒ ｄｆ ｓ ｎａ ｏｉ ｍ ａ ｄｉ ｐ ｌａｉ ｅ ａ ｉ—ｔｋｓ ｑ ａｉ ｓ ］ ４ Ｐｒ ｎ ａ ． ｎｔ ａｓｏｔ ｉｕｉ ｌ ｒ ｈ ｎ ｓ ｐ ｃｔ ｎｔ ｔ ｖｅ Ｓｏｅ ｅｕｔ ｎ ［． １ ｏ ｈｔ — ｏ ｇ ｔ ｔａ ｉ ｏ ｏ ｈ Ｎ ｒ ｏ Ｊ
丁
为 了证 明上述定理 ， 首先 引入 原 问题 （） １ 的对 偶 问题
－
￣ Ｖ￣ － △矽 ＝ 。 ｘＥｆ ｅ － ａ． ‘ ￣ ，
，
（３ １）
，
如果 ｘ∈ 。Ｑ 则 易见 问题 （３ （） １）的弱解存 在唯 一， 而且 弱解 满足如 下定 理
ｔ ｍ
（ ＋． ・ ） ａ Ｕ＋ 捌丁 ｖ
第 １ 期
纪光华， 线性对流占优 扩散方程 的后验误差估计 等：
１１ １
记 上式 中右端 第三项 为
（ 一 ｄ － Ｒ ， ）Ｔ－
＋ ．（ 呈
＋
ｅ＼ ［ ］一ｄ Ｃａ ］ ７ Ｏｎ ￣ （ ） Ｋ ＿ Ｏ ａＵ） ｔ ‘，ｒ Ｕ ｖ＼ ＾ ＾ ｄ —
第 １ 期
纪光华， 线性对 流占优扩散方程的后验误差估 计 等：
１９ ０
其 ｎ１） ｎ１ｔ，＝ １／ ．， ， 一ｎ ＿ 记Ｖ 为ｔ时 网 中￣ （ ＝ （（ｔｔ ）”， 厂 ｔ—ｎ。 ｎ ｎ 刻 格 － ，；－，） （） ．出 ．
Ａ 上的分片线性有限元空间， ４ ： ＝｛ｌ ∈础 （） ｎ． Ｑ ｎ ）则有如下形式的离散变分形式：
定理 ２２ 对 于任意 ０≤ ≤Ｔ， ． 有如 下估计
。
）
打
。
。 ｄ
（４ １）
１０ １
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １卷 ３
证 明 在方 程 （３ 两端 同时乘 以 且 在 ［Ｔ ×Ｑ上积分得 ， １） ｔ ］ ，
Ｔ
一
０ Ｏ ｘ ｒ－ Ｔ ｔ Ｃｄ ｄ
＝
Ｉ ， 方 程可 以改写成 Ｉ 则
／（仳 一 ｍ ｘ （ ）） ｕ ） 一 二ｉ） （（ ． ｄ
由误 差 的 范数 的定 义
（） ２ ０
（１ ２）
ｌ ｆ Ｌ
）∈ ， ｎ） （ Ｊ “Ｊ 【 Ｉ Ｉ ‘ ， ｌ Ａ Ｌ Ｌ ｌ
（８ ，１ ）（０ 和定 理 ２２容 易推 出定理 ２１的结 论． １ ）（９，２ ） ． ．
ｔ ｍ
ｚ ．． ．ｓ ２＝
Ｅ 一ｄ － ． ｘ ／ 仳 ｄｏ Ｔ
所 以
一ｓ 叫ｄ 丁
（ — ） 丁 ｄ ｄ
） ・ｕ －Ｕｍ） ＝ （） ｍ （（ ｄ ＋
一
（。（￣ ｏｄ ・ ） －Ｕ ） ＋ ， ｕ （ ＋Ⅱ， “ ＋
‘ ｔ 时刻 的解， ２和 ５在 ｍ 则如 下估 计成 立
５
Ｉ 一 Ｉ（ ≤∑ 『 ｌｉ ｃ Ｌ２ 。）
＝ｌ
其 中
，Ｌ
，
加
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、 ｌ２ ／
（ Ｑ）
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由方程 （）２ ＝ １７ ） （
（。（￣ ｏｄ ． ） －Ｕ ） ＋ ． ｕ
＋ （产ｄ ＋ 产 一ｄ ， ）ｄ ／ （ 一 Ｔ ｏ ）丁 ｘ ｄ （ （ ）￡ ｎｅ 丁 ＋ ｕ ） （ ，１ ｒ｝ ｄ
值求解提 供 了一套 系统 的方法 ． 关于残量 型后验误 差估计 可以参 见 Ｖ ｒ ｉ ｈ的书 ［＿ ｅｆｒ ｉｔ ２ 】 对时 间导数和对 流项采 用沿特 征线方 向的离散 ， 该方法 ［ ４ 已经 被广泛 应用于对 流扩散 问题， ３ ］ －
耗 散项采 用分 片线性 有限元 方法离 散．Ｈ ｕｔｎＰ 和 Ｃ ｅ ［ 对 于 问题 （） ｏｓ 【 ｏ 】 ｈ ｎｚ。 】 １ 分别 给 出了 。 ） （ 模和 。（ ） 的后验 误差估 计． 。 模 本文 我们将给 出一个一致 的 Ｌ ） 的后验 估计． （ 模
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