123三角函数定义

4 4、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ， 5 求△ABC 的面积。
B
5
5
A
D
C
28.1锐角三角函数（2）
——正弦 正切
复习：
在 Rt ABC中， C 90
B
1.锐角正弦的定义
A
c b
a C
A的 对 边 BC a ∠A的正弦： s inA 斜边 AB c
28.1锐角三角函数（3）
——特殊角的三角函数值
B
A的 对 边 BC a s in A 斜边 AB c
斜边c
∠A的对边a
A的 邻 边 AC b c os A 斜边 AB c A的对边 BC a tanA 邻边 AC b
A
∠A的邻边b
C
请同学们观察一 副三角尺，思考并回 答下列问题：
B
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6， B 求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
BC sin A AB
A
10 6
BC 6 3 sin A AB 10 5
又
C
AC AB2 BC2 102 62 8
BC 3 AC 4 cos A , tan A AB 5 AC 4
练习：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2， AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
解：在RtABC中， AC AB2 BC 2 32 2 2 5 ,
A
3
B 2
C
BC 2 AC 5 BC 2 2 5 sin A ， cos A ， tan A . AB 3 AB 3 AC 5 5 AC 5 BC 2 AC 5 sin B ， cos B ， tan B . AB 3 AB 3 BC 2
BC 6 3 sin A AB 10 5
BC 6 3 cos B AB 10 5
练习
1、在Rt△ABC中，∠C为直角，a=1，b=2， 1 2 5 2 则cosA=________ ，tanA=_________. 5 2、在Rt△ABC中,各边都扩大四倍，则锐角A的各三角 函数值（ A ） A.没有变化 B. 分别扩大 4 倍 1 C.分别缩小到原来的 D.不能确定 4
3
cos30°=
A的 对 边 3 tan30°= A的 邻 边 3
新知探索:45°角的三角函数值
B
2
1
45.0
A的 对 边 2 sin45°= 斜边 2
A
1
C
cos45°= A的 邻 边 2
斜边 2
tan45°= A的 对 边 1
A的 邻 边
新知探索:60°角的三角函数值
A的对边 a sin A 斜边 c
斜 A
c
b
a 对边 C
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2

在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正 弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”。
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2 是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站， 境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成 角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 探 要准备多长的水管？ 究 B 情
A
C
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？ 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
练习
1、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
4 和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____. 5
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
2 2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.
a 3 3、在Rt△ABC中, ∠C=90°, , 1 b 3
2 则sin∠A=___.
B' B 35m A C 50m C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 问题：如果直角三角形一个锐角等于30°， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 那么这个角的对边与斜边的比值会变 吗？ 1 值都等于 。
2
如图，任意画一个Rt△ABC， A 使∠C＝90°，∠A＝45°，计 算∠A的对边与斜边的比 BC ， AB 你能得出什么结论？ C
1
1
1
2
2
3
1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？ 30° 60° 45° 45°
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如 果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边 的长度。
新知探索:30°角的三角函数值
B
2 1
sin30°=
A
C
30.0
A的 对 边 1 斜边 2
A的 邻 边 3 斜边 2
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗？ 结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 3 ，求cosA和tanB的值． BC=6， sin A 5
BC 解： sin A ， AB BC 5 AB 6 10. sin A 3 又AC AB BC 10 6 AC 4 AC cos A ， tan B AB 5 BC
思考:
当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比
∠A的对边与邻边的比
a b
b c
B
，
也随之确定吗？
c A b
a C
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°， AC ∠A＝∠A‘＝ ，那么 与 A 'C ' 有什么关系? A 'B ' AB

B'
B
同理可得:
BC
A C A' C'
tan a
2 2
1 2
1
3
例1 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260°
1 2 3 2 解：原式 ( ) ( ) 2 2
2 sin 2 60表示（sin 60） ，
即(sin 60) (sin 60).
1

cos 45 （ 2） tan45 sin 45
小结 在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
a c b c
a b
应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定 义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三 角形)。 2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关，而与直角三角形的边长无关。
B
A的 对 边 3 sin60°= 斜边 2
3
2
60.0
A
C
A的 邻 边 1 cos60°= 斜边 2
A的 对 边 3 tan60°= A的 邻 边
1
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切 值如下表：
锐角a 三角函数
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
60°
3 2
sin a cos a
B' C' . AC A 'C '
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝

所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
AC AB AC A' C' ,即 . A'C ' A'B ' AB A 'B '
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
A的对边 a sin A 斜边 c
A的邻边 b cos A 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
对于锐角A的每一 个确定的值， sinA有 斜边c 对边a 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 A C 数。 邻边b 同样地， cosA， tanA也是A的函数。
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝

系．你能解释一下吗？
B
B' C ' BC ，那么 与 有什么关 A' B ' AB
B'
A
C
A'
C'
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
B 斜边c A 对边a C
A的邻边 b cos A 斜边 c
邻边b
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
A的对边 a tan A A的邻边 b
注意
cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的 符号“∠”； cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、 对边与邻边的比； cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”
2 2 解：原式 1 2 2
0
求下列各式的值：
（ 1 ） 1 2 sin 30 cos 30；
（2） 3 tan 30 tan 45 2 sin 60；
cos 60 1 （3） ； 1 sin 60 tan 30
2 2 2 2
B
6 C
A
8, 4 . 3
练习： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 3 ，
求：sinA、cosB的值．
解： tan A
4
B
BC 3 AC 4
AC 8
BC 3 3 AC 8 6 4 4
C
8
A
AB AC 2 BC2 82 62 10
1 A. 2
3 B. 2
5 C. 5
D.
2 5
5
6、如图所示，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC=12，AB=13， ∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和 点B到直线MC的距离．
M
A
13
B
12
C
7、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 2 求证： C
BC AB BD.
A D B

所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB , B ' C ' A' B '
BC B' C' 即 . AB A' B '
结论
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长. B
根据“在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜 A 边的一半”，即
A的对边 BC 1 . 斜边 AB 2
C
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
4 3、在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果cos A= 那么 5 tanB的值为（ D ）
3 A、 5
5 B、 4
3 C、 4
4 D、 3
4、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6， 求sinB，cosB，tanB.
A 5 B 5 C
D 6
5．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则 cosC 的值为( )
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B 3 B
A
C
4
求sinA就是要确 定∠A的对边与斜边 13 5的比；求sinB就是要 确定∠B的对边与斜 边的比 A C
完成图（2）
(1)
(2)
解：如图（ 1 ），在RtABC中， AB AC2 BC 2 4 2 32 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ， sin B . AB 5 AB 5