第7章 图论-7树与生成树
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
∑
i= i =1
deg(υi ) > 2( n − 1) = 2n − 2
(3)
(2),(3)都与 矛盾。所以 中至少有两片树叶。 都与(1)矛盾 所以T中至少有两片树叶 中至少有两片树叶。 都与 矛盾。
【例7.6.2】T是一棵树 有两个2度结点，一个3度结点，三个 】 是一棵树,有两个 度结点，一个 度结点， 是一棵树 有两个 度结点 度结点
定义7.6.1 一个连通无圈无向图称为无向树 简 一个连通无圈无向图称为无向树(简 定义 称为树)。 记作T。 树中度数为1的结点称为树叶 称为树 。 记作 。 树中度数为 的结点称为树叶 或终端结点） 度数大于１ （或终端结点）， 度数大于１的结点称为分枝点 或内点，或非终端结点） （ 或内点 ， 或非终端结点 ） 。 一个无圈图称为森 林。 显然若图G是森林 ， 显然若图 是森林， 则 G的每个连通分支是 是森林 的每个连通分支是 如图7.6.1(a)所示的是一棵树；(b)所示的是森 所示的是一棵树； 所示的是森 树。如图 所示的是一棵树 林。
(1)
中的无树叶， 中每个顶点的度数≥2,则 若T中的无树叶， 则T中每个顶点的度数 则 中的无树叶 中每个顶点的度数 Σdeg(vi)≥2n, （2） ）
中只有一片树叶， 中只有一个结点度数为1, 若T中只有一片树叶，则T中只有一个结点度数为 中只有一片树叶 中只有一个结点度数为 其它结点度数≥2, 所以 其它结点度数
7.6 树与生成树
7.6.1 无向树 7.6.2无向图中的生成树与最小生成树 无向图中的生成树与最小生成树
7.6.1 无向树
树是图论中的一个重要概念。早在1847年 树是图论中的一个重要概念。早在 年 克希霍夫就用树的理论来研究电网络， 克希霍夫就用树的理论来研究电网络， 1857年 年 凯莱在计算有机化学中Ｃ 2H2n+2 的同分异构物 凯莱在计算有机化学中 Ｃ 数目时也用到了树的理论。 数目时也用到了树的理论。 而树在计算机科学 中应用更为广泛。本节介绍树的基本知识， 中应用更为广泛。本节介绍树的基本知识， 其 中谈到的图都假定是简单图。 中谈到的图都假定是简单图。
(2)证明由第 条可推出第 条。 证明由第(2)条可推出第 证明由第 条可推出第(3)条 用反证法。若图不连通 设 有 个连通分支 用反证法。若图不连通,设T有k个连通分支 (k≥2)T1,T2,…,Tk,其结点数分别是 1,n2,…,nk,边数分别为 其结点数分别是 其结点数分别是n 边数分别为 m1,m2,…,mk,
k k
∑
i =1
ni = n, ∑ mi = m
i =1
于是
m = ∑ mi = ∑ ( ni − 1) = n − k < n − 1
i =1 i =1
k
k
得出矛盾。所以 是连通且 是连通且m=n-1的图。 的图。 得出矛盾。所以T是连通且 的图
(3)证明由第 条可推出第 条。 证明由第(3)条可推出第 证明由第 条可推出第(4)条 首先证明T无圈。 作归纳证明。 首先证明 无圈。对n作归纳证明。 无圈 作归纳证明 n=1时,m=n-1=0,显然无圈。 时 显然无圈。 显然无圈 假设结点数为n-1时无圈 今考察结点数是 的情况。 假设结点数为 时无圈,今考察结点数是 的情况。此 时无圈 今考察结点数是n的情况 时至少有一个结点v其度数 时至少有一个结点 其度数deg(v)=1。我们删去 及其关联边 其度数 。我们删去v及其关联边 得到新图T′,根据归纳假设 无圈 再加回v及其关联边又得 得到新图 根据归纳假设T′无圈 再加回 及其关联边又得 根据归纳假设 无圈,再加回 到图T,则 也无圈 也无圈。 到图 则T也无圈。 其次,若在连通图 中增加一条新边 则由于T中由 其次 若在连通图T中增加一条新边 i, vj ),则由于 中由 i到 若在连通图 中增加一条新边(v 则由于 中由v vj存在一条通路 故必有一个圈通过 i, vj 。若这样的圈有两 存在一条通路,故必有一个圈通过 故必有一个圈通过v 中必存在通过v 的圈， 无圈矛盾。 个，则去掉(vi, vj ), T中必存在通过 i, vj的圈，与T无圈矛盾。 则去掉 中必存在通过 无圈矛盾 故加上边(v 得到一个切仅一个圈。 故加上边 i, vj )得到一个切仅一个圈。 得到一个切仅一个圈
定理7.6.2 任一树 中,至少有两片树叶 任一树T中 至少有两片树叶 至少有两片树叶(n≥2时)。 定理 时。 因为T是一棵 是一棵n≥2的（n， m）树， 所以由 证：因为 是一棵 的 ， ） 定理7.4.1， 有 ， 定理
n
∑
i =1
deg(υi ) = 2m = 2( n − 1) = 2n − 2
考虑生成树T1，可知 的树枝， 考虑生成树 ，可知e1，e2，e3，e4是T1的树枝， e5，e6，e7是T1的弦，集合｛e5，e6，e7｝是T1的 的弦，集合｛ 生成树有其一定的实际意义。 补。生成树有其一定的实际意义。
图 7.6.3
个工厂， 【 例 7.6.3】 某地要兴建 个工厂 ， 拟修筑道路连接 】 某地要兴建5个工厂 这5处。经勘测其道路可依如图 处 经勘测其道路可依如图7.6.3(a)图的无向边 图的无向边 铺设。为使这5处都有道路相通 处都有道路相通， 铺设。为使这 处都有道路相通，问至少要铺几条 路？ 这实际上是求G的生成树的边数问题 的生成树的边数问题。 解 这实际上是求 的生成树的边数问题。 一般情况下， 设连通图G有 个结点 个结点， 条边 条边。 一般情况下 ， 设连通图 有 n个结点 ， m条边 。 由树的性质知， 有 个结点 个结点， － 条树枝 条树枝， － 由树的性质知，T有n个结点，n－1条树枝， m－ n＋1条弦。 条弦。 ＋ 条弦 在图7.6.3(a)中 ， n＝ 5， 则 n－ 1＝ 5－ 1＝ 4， 中 在图 ＝ ， － ＝ － ＝ ， 所以至少要修４条路才行。 所以至少要修４条路才行。
(6) 证明由第 条可推出树的定义。 证明由第(6)条可推出树的定义 条可推出树的定义。 显然连通。若有圈,则圈上任意两点间有两条通路 则圈上任意两点间有两条通路, 显然连通。若有圈 则圈上任意两点间有两条通路 此与通路的唯一性矛盾。证毕。 此与通路的唯一性矛盾。证毕。 由定理7.5.2所刻画的树的特征可见： 在结点数给 所刻画的树的特征可见： 由定理 所刻画的树的特征可见 定的所有图中， 树是边数最少的连通图， 也是边数 定的所有图中， 树是边数最少的连通图， 最多的无圈图。 由此可知， 在一个（ ， ） 最多的无圈图。 由此可知， 在一个（n， m）图G中， 中 是不连通的； 若m＜n－1， 则G是不连通的； 若m＞n－1， 则G必 ＜ － ， 是不连通的 ＞ － ， 必 定有圈。 定有圈。
图 7.6.1 树和森林示意图
【例7.6.1】判断图 7.6.2中各图是否为树 】 中各图是否为树. 中各图是否为树
图 7.6.2
定理7.6.1 T是一个无向图（n, m）图, 则以下关于 的 是一个无向图（ 则以下关于T的 定理 是一个无向图 ） 命题是等价的： 命题是等价的： (1)T是树。 是树。 是树 (2)T无圈且 无圈且m=n-1。 无圈且 。 (3) T连通且 连通且m=n-1。 连通且 。 (4)T无圈 但增加任一新边 得到且仅得到一个圈。 无圈,但增加任一新边 得到且仅得到一个圈。 无圈 但增加任一新边,得到且仅得到一个圈 (5)T连通 但删去任一边便不连通 连通,但删去任一边便不连通 连通 但删去任一边便不连通(n≥2)。 。 (6)T的每一对结点间有唯一的一条通路。(n≥2)。 的每一对结点间有唯一的一条通路。 。 的每一对结点间有唯一的一条通路
(4)证明由第 条可推出第 条。 证明由第(4)条可推出第 证明由第 条可推出第(5)条 若图不连通,则存在两个结点 之间没有路, 若图不连通 则存在两个结点vi和vj,在vi和vj之间没有路 则存在两个结点 在 若加边(v 不会产生简单回路 不会产生简单回路（ 但这与假设矛盾。 若加边 i,vj)不会产生简单回路（圈）,但这与假设矛盾。 但这与假设矛盾 由于T无圈 所以删去任一边 图便不连通。 由于 无圈,所以删去任一边 图便不连通。 无圈 所以删去任一边,图便不连通 (5) 证明由第 条可推出第 条。 证明由第(5)条可推出第 条可推出第(6)条 由连通性知,任两点间有一条路径 于是有一条通路 由连通性知 任两点间有一条路径,于是有一条通路。 任两点间有一条路径 于是有一条通路。 若此通路不唯一,则 中含有简单回路 中含有简单回路,删去此回路上任一 若此通路不唯一 则T中含有简单回路 删去此回路上任一 图仍连通,这与假设不符 所以通路是唯一的。 边,图仍连通 这与假设不符 所以通路是唯一的。 图仍连通 这与假设不符,所以通路是唯一的
定义7.6.3 设G=〈V , E〉是一连通的有权图，则 定义 〈 〉是一连通的有权图， G的生成树 G为带权生成树 TG的树枝所带权之和称 的生成树T 为带权生成树, 的生成树 记为W(TG ) 。G中具有最小权的生 为生成树T 的权,记为 为生成树 G的权 记为 中具有最小权的生 成树T 称为G的最小生成树 的最小生成树。 成树 G称为 的最小生成树。 求最小生成树问题是有实际意义的。 求最小生成树问题是有实际意义的。 如要建造一个连接若干城市的铁路网络， 如要建造一个连接若干城市的铁路网络，已知 城市v 之间直达铁路的造价， 城市 i和vj之间直达铁路的造价，设计一个总造价为 最小的铁路网络，就是求最小生成树 最小的铁路网络，就是求最小生成树TG。 下面介绍求T 的克鲁斯克尔（ 算法。 下面介绍求 G的克鲁斯克尔（Kruskal)算法。 算法
4度结点，T有几片树叶？ 度结点， 有几片树叶 有几片树叶？ 度结点 解： 设树T有x片树叶，则T的结点数 设树 有 片树叶， 的结点数 片树叶 n=2+1+3+x T的边数 的边数 m=n-1=5+x 又由
n
2m = ∑ deg(vi )
i =1
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 · （5+x）=2·2+3·1+4·3+x ） 所以x=9，即树T有9片树叶。 ，即树 有 片树叶 片树叶。 所以
7.6.2无向图中的生成树与最小生成树 无向图中的生成树与最小生成树
定义7.6.2 若无向 连通图 的生成子图是一棵 若无向(连通图 连通图)G的生成子图是一棵 定义 则称该树是G的生成树 记为T 的生成树， 树 ， 则称该树是 的生成树 ， 记为 G 。 生成树 TG中的边称为树枝。图G中其它边称为 G的弦。 中的边称为树枝。 中其它边称为T 中其它边称为 的弦。 所有这些弦的集合称为T 的补。 所有这些弦的集合称为TG的补。 如图7.6.3中 (b)、 (c)所示的树 1 、 T2 是 (a) 中 、 所示的树 所示的树T 如图 图的生成树， 所示的树T 图的生成树，而(d)所示的树 3不是 图的生成 所示的树 不是(a)图的生成 树。一般的，图的生成树不唯一。 一般的，图的生成树不唯一。
证明由树的定义可知T无圈 证:(1)证明由树的定义可知 无圈。下证m=n-1。 证明由树的定义可知 无圈。 。 作归纳。 对n作归纳。 作归纳 n=1时,m=0,显然 时 显然m=n-1。 显然 。 假设n=k时命题成立 现证明 时命题成立,现证明 时也成立。 假设 时命题成立 现证明n=k+1时也成立。 时也成立 由于树是连通而无圈,所以至少有一个度数为 的结 由于树是连通而无圈 所以至少有一个度数为1的结 所以至少有一个度数为 中删去v及其关联边 便得到k个结点的连通无圈 点v,在T中删去 及其关联边 便得到 个结点的连通无圈 在 中删去 及其关联边,便得到 条边。 图。由归纳假设它有k-1条边。再将顶点 及其关联边 由归纳假设它有 条边 再将顶点v及其关联边 加回得到原图T,所以 中含有 个顶点和k条边 加回得到原图 所以T中含有 所以 中含有k+1个顶点和 条边 符合 个顶点和 条边,符合 公式m=n-1。 。 公式 所以树是无圈且m=n-1的图。 的图。 所以树是无圈且 的图
∑
i= i =1
deg(υi ) > 2( n − 1) = 2n − 2
(3)
(2),(3)都与 矛盾。所以 中至少有两片树叶。 都与(1)矛盾 所以T中至少有两片树叶 中至少有两片树叶。 都与 矛盾。
【例7.6.2】T是一棵树 有两个2度结点，一个3度结点，三个 】 是一棵树,有两个 度结点，一个 度结点， 是一棵树 有两个 度结点 度结点
定义7.6.1 一个连通无圈无向图称为无向树 简 一个连通无圈无向图称为无向树(简 定义 称为树)。 记作T。 树中度数为1的结点称为树叶 称为树 。 记作 。 树中度数为 的结点称为树叶 或终端结点） 度数大于１ （或终端结点）， 度数大于１的结点称为分枝点 或内点，或非终端结点） （ 或内点 ， 或非终端结点 ） 。 一个无圈图称为森 林。 显然若图G是森林 ， 显然若图 是森林， 则 G的每个连通分支是 是森林 的每个连通分支是 如图7.6.1(a)所示的是一棵树；(b)所示的是森 所示的是一棵树； 所示的是森 树。如图 所示的是一棵树 林。
(1)
中的无树叶， 中每个顶点的度数≥2,则 若T中的无树叶， 则T中每个顶点的度数 则 中的无树叶 中每个顶点的度数 Σdeg(vi)≥2n, （2） ）
中只有一片树叶， 中只有一个结点度数为1, 若T中只有一片树叶，则T中只有一个结点度数为 中只有一片树叶 中只有一个结点度数为 其它结点度数≥2, 所以 其它结点度数
7.6 树与生成树
7.6.1 无向树 7.6.2无向图中的生成树与最小生成树 无向图中的生成树与最小生成树
7.6.1 无向树
树是图论中的一个重要概念。早在1847年 树是图论中的一个重要概念。早在 年 克希霍夫就用树的理论来研究电网络， 克希霍夫就用树的理论来研究电网络， 1857年 年 凯莱在计算有机化学中Ｃ 2H2n+2 的同分异构物 凯莱在计算有机化学中 Ｃ 数目时也用到了树的理论。 数目时也用到了树的理论。 而树在计算机科学 中应用更为广泛。本节介绍树的基本知识， 中应用更为广泛。本节介绍树的基本知识， 其 中谈到的图都假定是简单图。 中谈到的图都假定是简单图。
(2)证明由第 条可推出第 条。 证明由第(2)条可推出第 证明由第 条可推出第(3)条 用反证法。若图不连通 设 有 个连通分支 用反证法。若图不连通,设T有k个连通分支 (k≥2)T1,T2,…,Tk,其结点数分别是 1,n2,…,nk,边数分别为 其结点数分别是 其结点数分别是n 边数分别为 m1,m2,…,mk,
k k
∑
i =1
ni = n, ∑ mi = m
i =1
于是
m = ∑ mi = ∑ ( ni − 1) = n − k < n − 1
i =1 i =1
k
k
得出矛盾。所以 是连通且 是连通且m=n-1的图。 的图。 得出矛盾。所以T是连通且 的图
(3)证明由第 条可推出第 条。 证明由第(3)条可推出第 证明由第 条可推出第(4)条 首先证明T无圈。 作归纳证明。 首先证明 无圈。对n作归纳证明。 无圈 作归纳证明 n=1时,m=n-1=0,显然无圈。 时 显然无圈。 显然无圈 假设结点数为n-1时无圈 今考察结点数是 的情况。 假设结点数为 时无圈,今考察结点数是 的情况。此 时无圈 今考察结点数是n的情况 时至少有一个结点v其度数 时至少有一个结点 其度数deg(v)=1。我们删去 及其关联边 其度数 。我们删去v及其关联边 得到新图T′,根据归纳假设 无圈 再加回v及其关联边又得 得到新图 根据归纳假设T′无圈 再加回 及其关联边又得 根据归纳假设 无圈,再加回 到图T,则 也无圈 也无圈。 到图 则T也无圈。 其次,若在连通图 中增加一条新边 则由于T中由 其次 若在连通图T中增加一条新边 i, vj ),则由于 中由 i到 若在连通图 中增加一条新边(v 则由于 中由v vj存在一条通路 故必有一个圈通过 i, vj 。若这样的圈有两 存在一条通路,故必有一个圈通过 故必有一个圈通过v 中必存在通过v 的圈， 无圈矛盾。 个，则去掉(vi, vj ), T中必存在通过 i, vj的圈，与T无圈矛盾。 则去掉 中必存在通过 无圈矛盾 故加上边(v 得到一个切仅一个圈。 故加上边 i, vj )得到一个切仅一个圈。 得到一个切仅一个圈
定理7.6.2 任一树 中,至少有两片树叶 任一树T中 至少有两片树叶 至少有两片树叶(n≥2时)。 定理 时。 因为T是一棵 是一棵n≥2的（n， m）树， 所以由 证：因为 是一棵 的 ， ） 定理7.4.1， 有 ， 定理
n
∑
i =1
deg(υi ) = 2m = 2( n − 1) = 2n − 2
考虑生成树T1，可知 的树枝， 考虑生成树 ，可知e1，e2，e3，e4是T1的树枝， e5，e6，e7是T1的弦，集合｛e5，e6，e7｝是T1的 的弦，集合｛ 生成树有其一定的实际意义。 补。生成树有其一定的实际意义。
图 7.6.3
个工厂， 【 例 7.6.3】 某地要兴建 个工厂 ， 拟修筑道路连接 】 某地要兴建5个工厂 这5处。经勘测其道路可依如图 处 经勘测其道路可依如图7.6.3(a)图的无向边 图的无向边 铺设。为使这5处都有道路相通 处都有道路相通， 铺设。为使这 处都有道路相通，问至少要铺几条 路？ 这实际上是求G的生成树的边数问题 的生成树的边数问题。 解 这实际上是求 的生成树的边数问题。 一般情况下， 设连通图G有 个结点 个结点， 条边 条边。 一般情况下 ， 设连通图 有 n个结点 ， m条边 。 由树的性质知， 有 个结点 个结点， － 条树枝 条树枝， － 由树的性质知，T有n个结点，n－1条树枝， m－ n＋1条弦。 条弦。 ＋ 条弦 在图7.6.3(a)中 ， n＝ 5， 则 n－ 1＝ 5－ 1＝ 4， 中 在图 ＝ ， － ＝ － ＝ ， 所以至少要修４条路才行。 所以至少要修４条路才行。
(6) 证明由第 条可推出树的定义。 证明由第(6)条可推出树的定义 条可推出树的定义。 显然连通。若有圈,则圈上任意两点间有两条通路 则圈上任意两点间有两条通路, 显然连通。若有圈 则圈上任意两点间有两条通路 此与通路的唯一性矛盾。证毕。 此与通路的唯一性矛盾。证毕。 由定理7.5.2所刻画的树的特征可见： 在结点数给 所刻画的树的特征可见： 由定理 所刻画的树的特征可见 定的所有图中， 树是边数最少的连通图， 也是边数 定的所有图中， 树是边数最少的连通图， 最多的无圈图。 由此可知， 在一个（ ， ） 最多的无圈图。 由此可知， 在一个（n， m）图G中， 中 是不连通的； 若m＜n－1， 则G是不连通的； 若m＞n－1， 则G必 ＜ － ， 是不连通的 ＞ － ， 必 定有圈。 定有圈。
图 7.6.1 树和森林示意图
【例7.6.1】判断图 7.6.2中各图是否为树 】 中各图是否为树. 中各图是否为树
图 7.6.2
定理7.6.1 T是一个无向图（n, m）图, 则以下关于 的 是一个无向图（ 则以下关于T的 定理 是一个无向图 ） 命题是等价的： 命题是等价的： (1)T是树。 是树。 是树 (2)T无圈且 无圈且m=n-1。 无圈且 。 (3) T连通且 连通且m=n-1。 连通且 。 (4)T无圈 但增加任一新边 得到且仅得到一个圈。 无圈,但增加任一新边 得到且仅得到一个圈。 无圈 但增加任一新边,得到且仅得到一个圈 (5)T连通 但删去任一边便不连通 连通,但删去任一边便不连通 连通 但删去任一边便不连通(n≥2)。 。 (6)T的每一对结点间有唯一的一条通路。(n≥2)。 的每一对结点间有唯一的一条通路。 。 的每一对结点间有唯一的一条通路
(4)证明由第 条可推出第 条。 证明由第(4)条可推出第 证明由第 条可推出第(5)条 若图不连通,则存在两个结点 之间没有路, 若图不连通 则存在两个结点vi和vj,在vi和vj之间没有路 则存在两个结点 在 若加边(v 不会产生简单回路 不会产生简单回路（ 但这与假设矛盾。 若加边 i,vj)不会产生简单回路（圈）,但这与假设矛盾。 但这与假设矛盾 由于T无圈 所以删去任一边 图便不连通。 由于 无圈,所以删去任一边 图便不连通。 无圈 所以删去任一边,图便不连通 (5) 证明由第 条可推出第 条。 证明由第(5)条可推出第 条可推出第(6)条 由连通性知,任两点间有一条路径 于是有一条通路 由连通性知 任两点间有一条路径,于是有一条通路。 任两点间有一条路径 于是有一条通路。 若此通路不唯一,则 中含有简单回路 中含有简单回路,删去此回路上任一 若此通路不唯一 则T中含有简单回路 删去此回路上任一 图仍连通,这与假设不符 所以通路是唯一的。 边,图仍连通 这与假设不符 所以通路是唯一的。 图仍连通 这与假设不符,所以通路是唯一的
定义7.6.3 设G=〈V , E〉是一连通的有权图，则 定义 〈 〉是一连通的有权图， G的生成树 G为带权生成树 TG的树枝所带权之和称 的生成树T 为带权生成树, 的生成树 记为W(TG ) 。G中具有最小权的生 为生成树T 的权,记为 为生成树 G的权 记为 中具有最小权的生 成树T 称为G的最小生成树 的最小生成树。 成树 G称为 的最小生成树。 求最小生成树问题是有实际意义的。 求最小生成树问题是有实际意义的。 如要建造一个连接若干城市的铁路网络， 如要建造一个连接若干城市的铁路网络，已知 城市v 之间直达铁路的造价， 城市 i和vj之间直达铁路的造价，设计一个总造价为 最小的铁路网络，就是求最小生成树 最小的铁路网络，就是求最小生成树TG。 下面介绍求T 的克鲁斯克尔（ 算法。 下面介绍求 G的克鲁斯克尔（Kruskal)算法。 算法
4度结点，T有几片树叶？ 度结点， 有几片树叶 有几片树叶？ 度结点 解： 设树T有x片树叶，则T的结点数 设树 有 片树叶， 的结点数 片树叶 n=2+1+3+x T的边数 的边数 m=n-1=5+x 又由
n
2m = ∑ deg(vi )
i =1
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 · （5+x）=2·2+3·1+4·3+x ） 所以x=9，即树T有9片树叶。 ，即树 有 片树叶 片树叶。 所以
7.6.2无向图中的生成树与最小生成树 无向图中的生成树与最小生成树
定义7.6.2 若无向 连通图 的生成子图是一棵 若无向(连通图 连通图)G的生成子图是一棵 定义 则称该树是G的生成树 记为T 的生成树， 树 ， 则称该树是 的生成树 ， 记为 G 。 生成树 TG中的边称为树枝。图G中其它边称为 G的弦。 中的边称为树枝。 中其它边称为T 中其它边称为 的弦。 所有这些弦的集合称为T 的补。 所有这些弦的集合称为TG的补。 如图7.6.3中 (b)、 (c)所示的树 1 、 T2 是 (a) 中 、 所示的树 所示的树T 如图 图的生成树， 所示的树T 图的生成树，而(d)所示的树 3不是 图的生成 所示的树 不是(a)图的生成 树。一般的，图的生成树不唯一。 一般的，图的生成树不唯一。
证明由树的定义可知T无圈 证:(1)证明由树的定义可知 无圈。下证m=n-1。 证明由树的定义可知 无圈。 。 作归纳。 对n作归纳。 作归纳 n=1时,m=0,显然 时 显然m=n-1。 显然 。 假设n=k时命题成立 现证明 时命题成立,现证明 时也成立。 假设 时命题成立 现证明n=k+1时也成立。 时也成立 由于树是连通而无圈,所以至少有一个度数为 的结 由于树是连通而无圈 所以至少有一个度数为1的结 所以至少有一个度数为 中删去v及其关联边 便得到k个结点的连通无圈 点v,在T中删去 及其关联边 便得到 个结点的连通无圈 在 中删去 及其关联边,便得到 条边。 图。由归纳假设它有k-1条边。再将顶点 及其关联边 由归纳假设它有 条边 再将顶点v及其关联边 加回得到原图T,所以 中含有 个顶点和k条边 加回得到原图 所以T中含有 所以 中含有k+1个顶点和 条边 符合 个顶点和 条边,符合 公式m=n-1。 。 公式 所以树是无圈且m=n-1的图。 的图。 所以树是无圈且 的图