chap3 非线性方程的求解

Chap3 非线性方程求解的相关考题

一、判断题

1.（2008）（2011）若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根

( )

2.（2009）设*x 是方程0)(=x f 的根，则求*x 的Newton 迭代法至少是平方收敛的。 ( )

3.（2013）设A 是n 阶非奇异方阵，则解方程组A =x b 的迭代法收敛的充要条件是A 的谱半径()1A ρ<。 ( )

4.（2016）设*x 是函数()x ϕ的不动点，且()1x ϕ'<，则由迭代格式1()

k k x x ϕ-=(1,2,)k =L 产生的序列{}k x 收敛到*

x 。 ( )

二、填空题

1.（2008）（2010A ）（2010B ）设*x 是方程0)(=x f 的3重实根，则改进的Newton 迭代公式是 .

2.（2012）设*3x =是方程327159x x x -+=的2重实根，则求*x 的改进的Newton 迭代公式为 . 三、解答题

1、（2008）(本题满分14分) 已知方程3210x x --=在区间]2,1[内有一个实根

*x .

(1)建立一个收敛的迭代公式求*x （不要用Newton 迭代法），并证明其收敛性。(4分)

(2)取初值0 1.4x =，用Newton 迭代法求*x （只迭代两次）。(5分) (3)取初值011.4, 1.5x x ==，用弦截法求*x （只迭代两次）。(5分)

2、（2009）（2010A ）（2010B ）（2012）(本题满分10分) 已知方程10x xe -=在

00.5x =附近有一个实根*x .

(1)取初值00.5x =，用Newton 迭代法求*x （只迭代两次）。 (2)取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求*x （只迭代两次）。

3、（2010A ）（2010B ）(本题满分10分) 设迭代矩阵M 的某种范数1M q =<，

证明迭代公式

(1)()0,1,2,k k M ,k =+=+L x x d

对任意初值(0)x 都收敛到线性方程组M =+x x d 的解*x ，且有估计式

*()()(1)1k k k q

q

--≤

--x x x x ， 其中n n M ⨯∈R ，*(),,,0,1,2,k n ,k =∈R L x x x d .

4、（2011）(本题满分12分). 设*x 是方程()0f x =的单根，()f x 是可导函数。

(1)证明求*x 的Newton 迭代法至少是平方收敛的。(6分)

(2)若()1x f x xe =-，取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求*x (只迭代两次)。(6分)

5、（2012）（2014）(本题满分12分) 设函数()x ϕ在[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足；

(1) 当[,]x a b ∈时，()a x b ϕ≤≤；

(2) 存在常数01L <<, 对[,]x a b ∀∈，都有()x L ϕ'≤; 证明

(1) 函数()x ϕ在区间[,]a b 上存在唯一不动点*x ；(4分)

(2) 对任何初值0[,]x a b ∈，由迭代格式1()k k x x ϕ-=生成的序列{}k x 都收敛于*x ;(4分) (3) *1||||1k k k L

x x x x L

--≤--.(4分)

6、（2013）（2015）(本题满分12分) (1)设2[,]f C a b ∈，*x 是方程()0f x =的单根。写出求*x 的Newton 迭代格式；并证明求*x 的Newton 迭代法至少是平方收敛的。

(2)取初值011.5, 1.6x x ==，用弦截法求方程3210x x --=在0 1.5x =附近的实根*x .（只迭代两次）。

7、（2014）(本题满分10分) (1)用改进的Newton 迭代法求方程

432330x x x x -+-=的重根，取初值02x =，求21,x x .（要求先验证重根的重数。）(5分)

(2)用弦截法求上述方程的单根，取初值010.5,0.4x x ==，求32,x x . (5分)

8、(2016)(本题满分10分) 已知*

x =

42

440x x -+=的2重根，分别

用Newton 迭代法和改进的Newton 迭代法求*

x 的近似值21,x x ，取初值0 1.5x =. 比较计算结果，指出所得结果说明了什么？

9、(2017)(本题满分10分) (1)用Newton 迭代法求方程2

(1)10x x +-=在0.4附近的实根*

x 的近似值3x （取初值00.4x =）。

(2)用弦截法求方程2

(1)10x x +-=在0.4附近的实根*

x 的近似值3x （取初值

010.40.45,x x ==）。

10、（2017）若迭代函数()x ϕ在有限区[,]a b 上满足下列两个条件:

(i) 对任意的[,]x a b ∈，有()[,]x a b ϕ∈;

(ii) ()x ϕ'在[,]a b 上存在，且()0,|()|1x x L ϕϕ''≠≤<，

证明：对任意初值0[,]x a b ∈，由迭代格式1()(1,2,)k k x x k ϕ-==L 产生的序列{}k x 收敛到方程()x x ϕ=的根*x .