2014高考数学一轮复习课件_6.4绝对值不等式

• 已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋ 4. •(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围； •(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1对任意x∈R恒 成立，求实数m的最大值． •【解】 (1)依题意，f(x)≤1，即|x－3|≤3. •∴－3≤x－3≤3，∴0≤x≤6， •因此实数x的取值范围是[0，6]．
•1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋ 5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利 用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式 的性质(应注意等号成立的条件)． •2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成 立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合 与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题 的新动向．
•【尝试解答】 法一 |x－2y＋1|＝|(x－1) －2(y－2)－2| •≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5， •当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大 值5. •法二 ∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1， ∴0≤x≤2. •又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3， •从而－6≤－2y≤－2. •由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0， •∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值
•(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6 •≥|(x－3)－(x＋1)|－6＝－2， •∴f(x)－g(x)的最小值为－2， •要使f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R. •应有m＋1≤－2，∴m≤－3， •故实数m的最大值是－3.
•一种方法 • 零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基 本方法．其操作程序是：找零点、分区间、 分段讨论． •三个转化 •1.|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)． •2．|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． •3．对于不等式f(x)＜a有解、无解，可转化
•三种思想
•(1)数形结合思想；
•(2)等价转化思想；
•(3)分类讨论思想．
•从近两年新课标命题看，含绝对值不等式的 解法是选考内容4－5考查的热点，难度为中 等.2012年高考客观题考查绝对值不等式的解 法；主观题主要以函数为载体考查含参数的 不等式，突出转化化归思想与分类讨论思想 的考查，预计2014年仍延续这一命题方向．
4 (2){x|－2＜x＜ } 3
•
若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|＜1，
求证：|f(x)－f(a)|＜2(1＋|a|)．
•【思路点拨】 利用绝对值不等式的性质进
行放缩． •【尝试解答】 |f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－ (a2－a＋c)| •＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| •＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||(x－a)＋(2a－1)|，
• (2012·陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x －1|≤3成立，则实数a的取值范围是 ________． •【解析】 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－ 1)|＝|a－1|， •要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3， •∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. •【答案】 [－2，4]
•2．绝对值不等式的解法 •(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 分类解 集不等 式 |x|<a |x|>a
a>0 {x|－a＜x＜ a} {x|x＞a或x ＜－a}
a＝0 ∅ {x∈R|x ≠0}
a<0 ∅ R
•(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解 法：
绝对值不等式中逆向问题的正向求解 策略 (10分)(2012· 辽宁高考)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等 式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}． (1)求a的值； x (2)若|f(x)－2f( )|≤k恒成立，求k的取值范围． 2
规范解答之九
【规范解答】 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，······2分 4 2 ∴当a≤0时，不合题意．当a>0时，－ ≤x≤ ， a a 4 2 因此－ ＝－2且 ＝1，∴a＝2.········5分 a a
•2．(2013·肇庆统考)不等式|3x－4|≤4的解集 是________．
8 【解析】 由|3x－4|≤4得－4≤3x－4≤4⇒0≤x≤ . 3 8 【答案】 {x|0≤x≤ } 3
•3．(2012·山东高考)若不等式|kx－4|≤2的解 集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________． •【解析】 由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. •∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}， •∴k＝2. •【答案】 2
•(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0) 型不等式的解法：
•1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|、|a|＋ |b|之间有什么关系？ •【提示】 |a＋b|≥|a|－|b|；||a|－|b||≤|a－ b|≤|a|＋|b|. •2．|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？ •【提示】 |x－a|±|x－b|表示数轴上的点x 到点a、b的距离之和(差)．
利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5. 因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立， 知实数m的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g(x)的最小值为5. 因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立， 知实数m的取值范围是(－∞，5]．
源自文库
【尝试解答】 (1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3. 解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}．
a－3＝－1， 所以 解得a＝2. a＋3＝5，
(2)法一 由(1)知a＝2， 此时f(x)＝|x－2|， 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|， －2x－1， x＜－3， 于是g(x)＝5， －3≤x≤2， 2x＋1， x＞2.
(2)由x＋|2x－1|＜3，得|2x－1|＜3－x.
2x－1≥0， 2x－1＜0， ∴原不等式化为 或 2x－1＜3－x 1－2x＜3－x，
1 4 1 解得 ≤x＜ 或－2＜x＜ . 2 3 2 4 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜ }． 3
【答案】
3 3 (1){x|－ ≤x≤ } 2 2
1．(1)法一的关键是把|x－2y＋1|变形为|(x－1)－2(y－ 2)－2|，进而利用绝对值三角不等式；(2)法二把求|x－2y＋ 1|的最大值问题，转化为求x－2y＋1的取值范围问题． 2．(1)利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取到 |x－2y＋1| 等号的条件；(2)若注意到|x－2y＋1|＝ 5· ，亦 5 可由点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离求解．
【证明】 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y| ＋|2x－y|， 1 1 由题设知|x＋y|< ，|2x－y|< ， 3 6 2 1 5 从而3|y|< ＋ ＝ ， 3 6 6 5 所以|y|< . 18
•(2013·清远调研)已知函数f(x)＝|x－a|.
•(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求 实数a的值； •(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切 实数x恒成立，求实数m的取值范围． •【思路点拨】 (1)由|x－a|≤3求不等式的解 集，与已知比较，求参数a的值；(2)利用绝 对值不等式的性质或函数的单调性，求y＝f(x) ＋f(x＋5)的最小值，得参数不等式求解．
•1．(教材改编题)设ab>0，下面四个不等式 中，正确的是( ) •①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－ b|； •④|a＋b|>|a|－|b|. •A．①和② B．①和③ •C．①和④ D．②和④ •【解析】 ∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋ b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误． •【答案】 C
•1．求解本题要注意两点：(1)要求的不等式 的解集是各类情形的并集，零点分段法操作 程序是：找零点，分区间，分段讨论．(2)对 于(**)式，恰当运用条件，简化了分类讨论， 优化解题过程． •2．求解该类问题的关键是去绝对值符号， 本题中运用零点分段法去绝对值，此外还常 利用绝对值的几何意义求解．
•(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a| (**) •当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|， •解之得－2－a≤x≤2－a. •由条件，[1，2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集， •∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0， •故满足条件的实数a的取值范围是[－3，0]．
• (1)(2012·江西高考)在实数范围内，不等式 |2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集是________． •(2)不等式x＋|2x－1|＜3的解集是 ________． 1 1
【解析】
(1)原不等式化为|x－ |＋|x＋ |≤3. 2 2 1 1 其几何意义是数轴上到 与－ 两点的距离之和不超过3 2 2 的点的集合． 3 3 1 1 又点 或－ 到两点 与－ 的距离之和恰好为3， 2 2 2 2 3 3 数形结合，不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }． 2 2
•【尝试解答】 (1)当a＝－3时，不等式 f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3. (*) •若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. •若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅. •若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4. •综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．
•4．(2012·湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－ 1|>0的解集为________．
【解析】 原不等式化为|2x＋1|＞2|x－1|两边平方，化 简得4x＋1＞4－8x， 1 解之得x＞ ， 4 1 ∴原不等式的解集{x|x> }． 4
1 {x|x> } 4
【答案】
• (2013·韶关质检)对于实数x，y，若|x－ 1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为 ________． •【思路点拨】 (1)将|x－2y＋1|变形，设法 用x－1与y－2表示，利用绝对值三角不等式 求最大值； •(2)由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的取值 范围，然后运用不等式的性质和绝对值的意 义求解．
•第四节 绝对值不等式
•1．绝对值三角不等式 |a|＋|b| •定理1：如果a，b是实数，则|a＋ b|≤_______，当且仅当________时，等号成 ab≥0 立． •定理2：如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c| (a－b)(b－c)≥0 ________________________，当且仅当 ______________时，等号成立．
•含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是 比较简单的不等式可以通过平方法或换元法 等去掉绝对值转化为常见的不等式的证明， 另一类是利用绝对值三角不等式：||a|－ |b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添加、拆项 证明，但一定注意放缩要适当．
1 (2012· 江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|< ，|2x－ 3 1 5 y|< ，求证：|y|< . 6 18
•(2012·课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x －2|. •(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； •(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取 值范围． •【思路点拨】 (1)利用绝对值的定义，分零 点区间讨论去绝对值符号，分类讨论求 解．(2)求a的取值范围，要利用解集关系， 得关于a的不等式．