专升本高数第一轮一元函数积分学

x
x
所以 1 xdxln|x|C(x0)
关于不定积分，还有如下等式成立：
1. [f(x)d]x ' f(x)或 df(x)dxf(x)dx 2. f'(x)d xf(x)C或 d(fx)f(x)C
二、不定积分的运算法则
１.不为零的常数因子，可移动到积分号前。
k(fx)dx kf(x)dx（k≠0）
aa
a 2 arcsin x 1x a2x2C
2
a2
小结
三角代换常有下列规律 (1) a2 x2 可令 x=asint
(2) a2 x2 可令 x=atatn (3) x2 a2 可令 x=asetc
注意：三角代换的目的是化掉根式。
小结
两类积分换元法：
（一）凑微分 （二）三角代换、根式代换、倒数代换
２.两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和
[f( x ) g ( x )d ] x f( x ) d x g ( x ) dx
（可推广到有限多个函数之和的情况）
例6 求 (sixn12x2ex)dx 解：原式= sixndx12x2d xexdx
co x s2arcx te ax n C
定理3 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。
定理1：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。
定义2 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所 有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分，记为
f(x)d xF(x)C
其中∫ 称为积分号， x 称为积分变量
1x1sinxC 22
例9 求 tan2 xdx
解：原式= (se2cx1)dx
se2cxdxdx
taxnxC
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分公式。
3.2 不定积分的计算
利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算 不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方
法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换 元积分法与分部积分法
ex ex C
例2 用微分法验证等式：
co2x s(3)d x1 2si2 n x (3)C
证明：因为 [1sin 2x(3)]'co2xs(3) 2
即 1sin(2x3) 是cos(2x+3)的一个原函数，
2
所以
co2xs(3)d x1 2si2 n x (3)C
例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。 解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知
第三章 一元函数积分学
引言
积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分 是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微 分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上 却有着紧密的内在联系。
本章主要内容
3.1 不定积分 3.2 不定积分的计算 3.3 定积分 3.4 定积分的计算 3.5 广义积分
3.1 不定积分
例21 求 a2x2dx (a0).
三角代换
解:令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
ax
a 2 x 2a 2 a 2 s2 itn aco t s
t
dxaco tdts
∴ 原式 acostacotdsta2co2tsdt
a2 x2
a2t sin 2t C
24
s2 it n 2 sticn to 2 s x a 2 x2
关于原函数，先研究三个问题： a.函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？ 定理1 若函数f(x)在某区间上连续，那么f(x)在该区间上 的原函数一定存在。
b.若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个？ 定理2 若函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函数.
c.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？
2xdxx2C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则
一、不定积分的基本公式
由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运 算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就 对应地有一个不定积分公式。
基本积分表
序号 F(x)f(x)
例26 求积分 xlnxd.x
解
ulnx,
x2 dvxdxd ,
2
v
x2 2
xlnxdx
1 2
ln
xdx2
1x2 2
lnx12
xd
x
1x2lnx1x2C
2
4
若被积函数是幂函数和对数函数的乘积， 就考虑设对数函数为u。
例27 求积分 xarctxadn.x
解: 令 uarctxa, xndxdx2 dv
2
xarctxadnxx22arcxt an x22d(arcx)tan
8
(taxn)se2cx
se2xcdxtaxnC
9
(cox)tcs2cx cs2xcd xco x tC
10
(arcsxi)n 1 1x2
1
dxarcsxinC 1x2
11
(arctxa)n 1 1x2
11x2dxarctxanC
例4 求下列不定积分
(1) x d x
1
(2) x 3 d x
(3) x dx
uvuvuv, 移 项 u v uv u v,
对此不等式两边求不定积分
u vd xu vu vd,x
即 udv u vvd.u
分部积分公式
分部积分过程：
u v d x u u d v v v d u u u v v d x
应用分部积分法时，可按下述步骤计算：
u (x)v'(x)d x u (x)d(v(x) (凑微：定出)
3.2.1 换元积分法
一、第一类换元积分法（凑微分法）
有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换 后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式， 而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积 分公式求出不定积分来。
例如 co2sx()dx?
想到基本积分公式 coxsdxs ixnC
若令u＝2x，把2x看成一个整体（新的积分变量）， 这个积分可利用基本积分公式算出来
解：(1)
xdx111x11C
1 2
x2
C
(2)
1 x3 dx
x3dx311x31 C
1 2x2
C
(3)
xdx
1
x2dx
1 2
1
1
x
1 2
1
C
2 3
3
x2
C
2 3x
x C
例5 验证 1 xdxln|x|C(x0)
解：当x>0时，(ln| x|)'(lnx)'1 x
当x<0时， (l|n x|)'[l nx)( ]('1) (x) '1
凑微分常见类型
1. f(xn1)xnd x f(xn1)d(xn1) n1
3.f(xlxn)d xf(lxn)dlnx
2.f(xx)dx2f( x)d( x)
4.
f(1)
x x2
dx－
f(1)d(1) xx
5 .(sx )c in x od sfx (sx )d i(nsx )i6n . f(ex)exd xf(ex)dxe
若令 uco x,sxdx1dx2 dv 2
xcosxdxx2coxs
x2 sin xdx
2
2
显然，u,选v 择不当，积分更难进行。
若u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用 分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键。
选取u和dv一般要考虑下面两点： (1)v要容易求得；
(2) vdu 要比 udv 容易积出
u (x)v(x)v(x)d(u (x)(分部：利用分部积分公式)
u(x)v(x)v(x)u '(x)dx（积分）
例25 求积分 xcoxs d.x
解: 令 ux, cx o d d s s x i x d n vv sixn
xcosxdxxdsinx xsix nsix ndx
x sx ic n x o C . s
则有换元公式
f[(x) ](x)dxf[(x)d ](x) (x)u f (u)du F(u)C
u(x) F[(x)]C
注意 使用此公式的关键在于将
f [ ( x ) ( x ] ) d f ( x ( x ) d ( x ) ) F ( ( x ) C )
即将 f[(x ) ](x )d拼 x f凑 ((x )d ) 成 (x )
第一类换元法又称为凑微分法。
例10 求 2x1dx
解：原式= 1 2 2x1d(2x1)
12(2x1)23 C 23 1(2x1)23 C 3
例14 求 co2sxdx
解： cos2 xdx 1c2os2xdx
1 2(d x1 2co2xxd (2x))
xsin2xC 24
说明：正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应 先降幂。
可采用令x=tn（其中n为各根指数的最小公倍数）
例20 求
1
dx.
x(13 x)
解：令 xt6dx6t5d,t
1 x(13
dx x)
t
6t5 3(1
t2
dt )
6t 2
1 t2 dt
6
t2 1 t2dt
6
t
2 11 1t2 dt
6dt611t2dt
6t6arctta C n66 x6arc6txan C
7 .f(tx ) a sn 2 e xc d fx (tx ) a d (n tx ) an
8.f(1a xr2x c)d ta xnf(arx c)dt(aanrx c)tan
二、第二类换元积分法
第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一 个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。 但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个 代换 x＝φ(t)，而积分
三角代换常有下列规律
(1) a2 x2 (2) a2 x2 (3) x2 a2
可令 可令 可令
x=asint
x=atatn x=asetc
3.2.2 分部积分法
问题的提出
考虑积分 xco xsd? x
解决思路 利用分部积分法
下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积Baidu Nhomakorabea分的基本方法——分部积分法。
设 函 数 u u ( x ) 和 v v ( x ) 具 有 连 续 导 数 ,
1
(kxC)k
2
( 1 x1) x
1
3
(ln x ) 1
x
4
( a x ) a x
ln a
5 (ex) ex
f(x)dx F(x)C
kdxkxC
xd x1 1x1C (1)
1xdxlnx C axdx ax C
lna
exdxex C
6
(sixn)coxs
coxsdxsixnC
7
(cox)ssix n sixndx cox sC
co2sx()dx12co2sx()d(2x)12cousdu
1sinuC1sin2xC
2
2
第一类换元积分法
定理1 设f(u)具有原函数F(u) ，uφ(x)可导 则有
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)F[(x)]C
第一类换元公式（凑微分法）
设f(u)有原函F(数 u), u(x)可导 ,
f(x)称为被积函数， C 称为积分常数 f(x)dx 称为被积表达式
例1 求下列不定积分
(1) cosxdx (2) x 3 d x . (3) e x d x .
解： (1) Q (sixn)'=coxs coxsdxsixnC
(2) Q
1
x4
x3
4
x3dx
1 4
x4
C
(3) Q ex ex
例19 求
1
1
dx x
根式代换
解： 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
令 t x xt2, dx2td,t
1
1
dx x
1 1
t
2tdt
2
t 1
t
d t
2111 t
dt
2(tln |1t|)C
将t x回代 原式 2 ( xln |1x|)C
当被积函数含有两种或两种以上的根式 kx,,l x时，
3.1.1 不定积分的概念 3.1.2 不定积分的基本公式和
运算法则
3.1.1 不定积分的概念
微分法: F(x)(?)
积分法: (?)f(x)
互逆运算
设已 F(x知 ),求 f(x)
设已f知 (x),反问题 F(x求 )。
一、不定积分的定义
定义1 若在某一区间上，F’(x)=f(x) ，则在这个 区间上，函数 F(x) 叫做函数 f(x) 的一个原函数。
直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分 基本公式直接计算出不定积分的方法。
例7 求
x4 1 x2
dx
解：原式 x14 1x2 1dx
(x2 11 )xx (221)d x1 1x2dx
(x21)dx11x2dx
x3 xarctxanC 3
例8 求
cos2
x 2
dx
解：原式= 1c2osxdx 12dxc2oxsdx
f(x)d xf[(t)]'(t)dt
可用基本积分公式求解。
目的：去根号或化为基本积分公式
定理2 设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续 函数，且其导数φ’(t)≠0，x＝φ(t)的反函数t=φ-1(x)
存在且可导，并且
f[(t)]'(t)d tF (t)C
则
f(x)d xF [ 1(x) ]C