线代1
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第一章 行列式
§1.1行列式
1．计算下列排列的反序数：
)(i 523146879； )(ii ;1,2,,1, -n n
)(iii .,1,,2,12,1,2k k k k +-
2．假设n 个数码的排列n i i i ,,,21 的反序数是k,那么排列121,,,,i i i i n n -的反序数是多少？
3．写出4个数码的一切排列． §1.2 n 阶行列式
1．确定六阶行列式
D=
66
62
61
26
22
21161211
a a a a a a a a a
中以下各乘积的符合：
()().;
466455321321651456423123a a a a a a ii a a a a a a i
2．写出下列四阶行列式44
4114
11
a a a a
中一切带有负号且含元素23a 的项。 3．证明：n 阶行列式
nn
n n n a a a a a a a a a a
32
1
3332312221
110
00
0000nn a a a 2211=
4．考察下列行列式：
nn
n n n
n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
， n
n
n
ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D 2
121
212221111=，
其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 这n 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？
5．计算n 阶行列式a
x a
a
a
a
a x a a a a a
x a a a
a a
x ----
6．计算行列式()()()()()()()()()()()()2
2
2
2
2222
2222
2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
7．证明：行列式
2
2
2
111222
22
21111112c b a c b a c b a
b a a
c c b b a a c c b b
a a c c
b =+++++++++ 8．设在n 阶行列式
nn
n n n
n a a a a a a a a a D
21
222
2111211
=
中，.0.,,2,1,,==-=D n n j i a a ji ij 是奇数时，证明：当 §1.3 子式和代数余式 行列式的依行依列展开
1．把行列式01111
1101
101------d c b a
依第三行展开，然后加以计算． 2．计算以下行列式:
()3
214
214314324321
i ()2010411063143211111ii ()
49
362516362516925169416941iii
提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。
3．令
.)(1,11ii i i i i i io i a x a x a x a x f ++++=--
计算行列式
)
()()
()
()()()()()
(121111*********n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f ---
。 §1.5 克拉默规则
1．解以下线性方程组：
()
n
n n a a a a a a a a viii ---------11
100000110001100011
33
221
()
n
n n a a a a a a a a iv --------11
1000000110000
1100001
13221
1
())
2(;0
00
000000
0000
00000000
阶n a b a b a b b a b a b
a
v
()
n
n n n a a a a a a a a a a a a a a a a vi ++++11113
2
1
13213213
21
()
43213
1
1
2
2210
113210
-------n n n n n n n vii
().
232,232,232,0,0)(.432,632,423,
132543432321543243214321432143214321=++-=++=++=+++=+++-=-++-=--+-=---=+++x x x x x x x x x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x x x x x x i
2．设121,,,+n a a a 是1+n 个不同的数, 121,,,+n b b b 是任意1+n 个数,而多项式
n n x c x c c x f +++= 10)(
有以下性质: i i b a f =)(,1,,2,1+=n i .用线性方程组的理论证明, )(x f 的系数
n c c c ,,,10 是唯一确定的,并且对2=n 的情形导出拉格朗日插值公式.
3．设n n x c x c c x f +++= 10)(.用线性方程组的理论证明,若是)(x f 有1+n 个不同的根,那么)(x f 是零多项式.