欧拉定理

欧拉定理
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。

在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。

欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。

西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

另有欧拉公式。

生平简介
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ，1707年4月15日~1783年9月18日)，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。

彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。

欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。

他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。

即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。

当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。

欧拉永远是我们可敬的老师。

欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。

19世纪伟大的
数学家高斯(Gauss，1777-1855)曾说过"研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法"。

欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。

欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。

对著名的"哥尼斯堡七桥问题"的完美解答开创了"图论"的研究。

欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。

V+F-E即欧拉示性数，已成为"拓扑学"的基础概念。

数论定理
在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
欧拉定理
折叠证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然，共有φ(n)个数)
我们考虑这么一些数:
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)
1)这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些)，就有:
mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。

但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。

也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

2)这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么
a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。

那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.
由1)和2)可知，数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)
或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。

但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。

那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n)，即a^[φ(n)]≡1 (mod n)，得证。

费马小定理:
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

推论:对于任意正整数a，有a^p ≡a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。

折叠应用
首先看一个基本的例子。

令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。

比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。

计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ1 (mod 5)。

与定理结果相符。

这个定理可以用来简化幂的模运算。

比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。

7和10[[互素]]，且φ(10)=4。

由欧拉定理知7^4Ξ
1(mod 10)。

所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。