结构动力学参考答案

w = 0.1124 sin( 43.6t − 2.7546) + e −7..32t (0.0424 cos 16.8t + 0.2886 sin 16.8t )
w = 4.9006 sin( 43.6t − 2.7546) + e − 7..32t ( 4.5398 cos16.8t − 2.8256 sin 16.8t ) w = −213.6679 sin( 43.6t − 2.7546) + e − 7..32t ( −80.7014 cos 16.8t − 55.5851sin 16.8t ) 则绝对加速度的表达式为： u = w+ z = −213.6679 sin( 43.6t − 2.7546) + e −7..32t ( −80.7014 cos16.8t − 55.5851sin 16.8t ) − 190.1sin( 43.6t )
..
.
2.14 应用 Ψ ( x) = sin(π x / 2 L) 重做习题 2.13
1
解： (
.. π 2 EA LAρ + M ) u+ u = P(t ) 2 8L
2.17 一均匀悬臂梁作用有一水平力 N 和一与时俱变的横向分布荷载 p ( x, t ) ， 如 图 P2.17.ψ ( x, t ) 采用一简单多项式来推导悬臂梁横向振动的运动方程。
.. .. .. .. .
把 t = t d = 0.072( s ) 代入上式求得
.
w(t d ) = 0.2104 w(t d ) = 3.9293 ，代入自由振动解公式得 ： 在自由振动阶段的振动方程（ z ≡ 0 ） u = w = −e −7..32 (t −0.072 ) (0.2014 cos 16.8(t − 0.072) + 0.3256 sin 16.8(t − 0.072)) 对 w 求两次导得(本题的求导过程都是通过 matlab 求解的) u = e −7..32 (t −0.072 ) (128.19 cos 16.8(t − 0.072) + 22.70 sin 16.8(t − 0.072))
3
（c） 有效质量 m(1b • s 2 in) （d） 有效阻尼因素 ξ 解: (a) Wn ≈ 10.05rad s k = 200(1b in) m = 1.98(1b • s 2 / in) ξ = 0.0355
(b)
(c)
(d)
4.13 机械设备经常使用转动装置，它可使支承结构受力增加，例如建筑物屋顶 上的空气调节设备。 根据图 4.11 来判断，使用隔振装置可以减少支承结构 的受力。 假定一台机器以 20Hz 运行，并希望应用弹簧形式的隔振装置来使 传递的力减少 90%，即 （a）根据强迫频率函数和静弯曲 δ st = mg / k 来确定已知力减少百分比的表 达式。 （b）计算静弯曲， δ st = mg / k ，其条件如上，即在 20Hz 时减少 90%，以毫 米表示。 解： （a） D p = (1 − 1 1− γ 2 ) × 100%
(1 − γ )
2 2
+ (2ξγ ) 2
p 0 mzΩ 2 Ω2 = = z • 2 = z • r2 k k w Q k − mΩ 2 < 0 γ 2 −1 π ∴ α = arctan 2ξγ + 2 = 2.7546
代入初始条件计算得 A=0.0424 , B=0.2886 所以
.. .. .. .. .. .. ..
100km / h 速度通过一半正弦曲线形的凸起路面， 凸起长度为 2m ， 如图 P6.wk.baidu.com 所示。 (供讨论)
（1）计算质量在 t = 0, t =
td 和t = t d 时的力 。 2
（2）确定被弹簧支承的质量 m 所受的最大力，并与（1）比较。
5
解：分析：质量 m 所受的最大力与其绝对加速度成正比，要求得绝对加速 度的最大值就可以先求出质量 m 相对运动的运动方程 w 的表达 式，然后再求 w+ z 的极值即可。其中 w 的表达式可以用 SDOF 系统在简谐激励下的公式计算，也可以用杜哈梅积分计算。 汽车自振频率 wn 和wd 和周期Tn 的计算如下：
结构动力学习题 参考答案
1
2.3 一根刚梁 AB，用力在弹簧 BC 上去激励它，其 C 点的运动规定为 Z（t）,如 图 P2.3. 按 B 点的垂直运动 u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。 解： 4M u + 3c u + (3k1 + 12k 2 )u = 12k 2 Z (t )
.. .
频率 Ω 和作用时间作用
t d 计算如下
100000 × 6 . 28 = 43 . 6 ( rad / s ) 4 × 3600 2 td = = 0 . 072 ( s ) 100 / 3 . 6
方法① 通过求解运动为运动微分方程求解 w 的表达式 车辆的振动方程为 ①当 0 ≤ t ≤ t d 时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，运动方程如 下： m w+ c w+ kw = mzΩ 2 sin (Ωt ) = 228115.2 sin 43.6t 初始条件 w(0) = w(0) = 0 ②当 t ≥ t d 时，车辆为有阻尼的自由振动，运动方程如下：
k = m 400 × 10 3 = 18 . 3 ( rad / s ), 1200 1 − 0 . 4 2 × 18 . 3 = 16 . 8 ( rad / s )
.. ..
wn = wd = Tn =
1 − ξ 2 wn = 2π = 0 . 343 ( s ) wn
路面凸起作用的激励力 Ω =
4
4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为 Ζ = Ζ1 cos(Ω1t ) + Ζ 2 cos(Ω 2 t ) =
0.05 cos ( 60π t ) + 0.02 cos(120π t ) 。
（a）用一加速度计其阻尼因数 ξ = 0.70 和 20 KHz 共振频率来确定振动记录 w p (t ) 。 (b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？ 解： （a） w p (t ) = w p1 (t ) + w p 2 (t ) = 6.339 × 10 −11 A1 cos 60π (t − 1.1145 × 10 −5 ) + 6.339 × 10 −11 A2 • cos 120π (t − 1.1146 × 10 −5 ) （b） w p (t ) = C[ A1 cos Ω1 (t − τ ) + A2 cos Ω 2 (t − τ )] A1 , A2 分别表示 Z1 , Z 2 的加速度幅值，所以输出 w p (t ) 与加速度输 入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。 5.2 运送一件仪器设备重 40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度 k=100 1b/in，有效阻尼因数 ξ = 0.05 ，若整个容器和它的包装以垂直速度 V=150 in/s 碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。 （如图 P5.2 所示） 解： f max = 451.739 (1b) 6.5 例 题 4.3 中的 车辆 ， 已知 k = 400 × 10 3 , m = 1200kg , ξ = 0.4。 当满 载时以
解： p L m L .. c0 . 4 EI 4 N u+ u+ ( 3 − )u = 0 f (t ) 5 16 3L 4 L mL c 4 EI 4 N pL 令 = M * , 0 =C* , − = K * , 0 f (t ) = P * (t ) ，得 3 5 16 3L 4 L 悬臂梁横向振动方程如下： M * u + C * u + K * u = P * (t ) 3.3 一根柔杆总质量为 M，它的弯曲刚度为 EI。一个集中质量 µM 作用在杆的 顶部，如图 P3.3，由于顶部质量的惯性与几何刚度的影响，确定其 wn 的 近似表达式。 可应用题 2.9 中假定的振型表达式， 以及ψ ( x) 采 用静位移函数，均匀梁用作集中横向端部力（见图 P2.18） 。
.. .
m u + c u + ku = Pu (t ) 2.13 一根均匀杆，图 P2.13 其单位体积质量密度 ρ ，并具有顶部质量 M，应 用假定法ψ ( x) = x L 来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定 AE = 常数。 解：
.. 1 EA ( ρAL + M ) u + u = P(t ) 3 L
（b） δ st = mg / k = 11g / Ω 2 =
11 × 9.86 = 0.00688m = 6.88mm (40π ) 2
4.14 安装在实验室的一个隔振块，使之邻近工厂运转试验不会产生振动干扰。 如隔振块重 2000 1b,而四周地面和基础振动为 24Hz 时的振幅为 0.01 in， 计算隔振块仅产生 0.002 in 的幅值时振动系统的刚度。 解：根据隔振的含义，本题所指隔振块的振幅应为绝对振动振幅，有公式 得隔振块的绝对运动与基础运动幅值比为 k = 19617.028 (1b / in)
.. . . .. .
m w+ c w+ kw = 0 初始条件 w = w(t d ) w = w(t d )
6
. .
求解运动方程，得 w 的表达式： 解①得 w = U sin(43.6t − α ) + e −ξwnt ( A cos wd t + B sin wd t ) 其中
U = U 0 Ds = 又 p0 • k 1
2 .. . − −
解：
2
w
2 n
=
∫
L
0
EI [ψ " ( x)] 2 dx − µMg ∫ ψ 2 ( x)dx
0
L
M L
∫ψ
0
L
2
( x)dx + µMψ 2 ( L)
w
2 n
=
504µ Mg − 1820 EI (99 + 420 µ ) ML3
3.4 一个 22Kg 质量的 m1 用一根弹簧悬挂着，弹簧的弹簧常数 k=17KN/m。第二个 质量 m2 = 10 Kg ，由高度 h=0.2m 处降落，并附着在质量 m1 上，如图 P3.4。 （a）确定两个质量相碰瞬间后运动 u (t ) 表达式？ （b）确定两个质量的最大位移？ 解： （a） u (t ) = −0.006 cos(23.05t ) + 0.027 sin(23.05t ) （b）相对平衡位置，二者的最大位移 umax,1 = 0.028m 相对运动初始位置二者最大位移 umax,1 =0.034m 3.8 模拟风涡轮成一个集中质量（涡轮的）在一根无重量，长度为 L 的塔顶上。 确定该系统的动力特性，塔旁用一台大型起重机，而且沿着涡轮轴给一横向 力 P=200 1b，如图 P3.8,这样引起 1.0 in 的水平位移。连在涡轮到起重机 的绳索立即突然切断，记录到涡轮的自由振动结果。在两个整循环后，时间 为 1.25s，其幅值为 0.64 in。 根据以上数据确定如下： （a） 无阻尼固有频率 Wn （b） 有效刚度 k (1b in) 。
2.5 系统如图 P2.5 , 确定按下形式的运动方程： m u + c u + ku = Pu (t ) 。其中 u 为 E 点的垂直运动。假定薄刚杆 AE 的质量为 M,其转动很小。
..
.
解： 45 PO f (t ) L 8 45 令 7 M = m,3c = C ,3k = K ., PO f (t ) L = Pu (t ) 得 8 7 M u + 3c u + 3ku =
7
..
由于 w 的表达式很复杂，要求得两个时间段下 u 的最大值，可以通过 Matlab 作出两个时间段下 u 的图形，进而得到 u 的最大值。通过作图 知当 t = 0.0685( s ) 时， u 取到负的最大，最大值 u max = 129.1(m / s 2 ) ； t = 0.072( s ) 时， u = − 128.2(m / s 2 ) ； t = 0.036( s )时， u = −67.4(m / s 2 ) ； t = 0时， u = −6.2(m / s 2 ) 。 用 matlab 绘制加速度随时间变化的曲线如下：