第3章离散傅里叶变换

1 N 1 k ( m n) 1， WN N k 0 0，
m n iN， i为整数 m n iN， i为整数
所以，在变换区间上满足下式： IDFT［X(k)］=x(n) 0≤n≤N－1
由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期序列 ~ x ( n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ x (n) 的主值区间，而主值区间
~ x (n) 的主值序列。因此x(n)与 ~ x (n) 的上述关系 可叙述为： ~ x (n) 是x(n)的周期延拓序列，x(n)是 ~ x (n) 的主值序列。
例3.1.1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得
到：
nk 0 X (k ) (n)WN WN 1 n 0 N 1
k=0, 1, …, N-1
δ(n) 的 X(k) 如图 2-9 。这是一个很特殊的例子，它表明对序 列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离 散矩形序列。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图 3-1 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1.3 DFT的隐含周期性
前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长
kn 的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的 序列，但由于 WN
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0, 2π］
上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N， 这就是DFT
的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同， 表示 对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所 以DFT的变换结果也不同。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列
(k ) 的主值序列， x((n))N的离散傅里叶级数系数 X ~ 即 X (k ) X (k ) R N (k ) 。后面要讨论的频域采样理论将会 加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱 (k ) 确定，因此，X(k) 完全由其离散傅里叶级数系数 X 实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性，这就
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有
1 N 1 N 1 mk kn IDFT[ X (k )]N [ x(m)WN ]WN N k 0 m0 N 1 1 N 1 k ( mn ) x(m) WN N k 0 m 0
由于
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图 2-10 有限长序列及其DFT
பைடு நூலகம் 第3章 离散傅里叶变换(DFT)
［例 3.1.3 ］ 已知如下X(k):
求其10点IDFT。
3 X (k ) 1
k=0 1≤k≤9
解 X(k)可以表示为
X(k)=1+2δ(k)
于一个单位脉冲序列的DFT为常数：
变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质 是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现 了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运 算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活 性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅 里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)，从而使信号的
实时处理和设备的简化得以实现。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取 代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论
上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心
作用。 本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性
质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
习题与上机题
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要
数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学
是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
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例 3.1.4 有限长序列x(n)为
其余n 求其N=5 点离散傅里叶变换X(k)。
解 序列x(n)如图2-12（a）所示。在确定DFT时，我们可以
1 x(n) 0
0≤n≤4
将 x(n) 看作是一个长度 N≥5 的任意有限长序列。首先我们以 N=5 为周期将x(n)延拓成周期序列 ~ x (n ) ，如图2-12（b）， 的DFS与
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当 N<M时，(3.1.5)式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6) 和 (3.1.7)式仅对N≥M时成立。图3.1.2（a）中x(n)实际长度 M=6，当延拓周期N=4时，
~ x (n如图 ) 3.1.2（c）所示。
X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样。这就是
DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，
表示对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同，
所以DFT的变换结果不同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT变换
区间长度N分别取8、16时，X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图 如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为 X(k)=DFT［x(n)］4=4δ(k)，这一特殊的结果在下面将得到进 一步解释。
x(n) 的 DFT 相 对 应 。 因 为 在 图 2-12 （ b ） 中 的 序 列 在 区 间
0≤n≤N-1 上为常数值，所以可以得出
N 1 ~ X (k ) e j ( 2k / N ) n n 0
1 e j 2k N k=0, ±N, ±2N, … j（2k / N ) 1 e (2-35) 0 其他
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(N≥M)点 DFT分别为
X ( z ) ZT[ x(n)] x(n) z n
n 0 kn X (k ) DFT[ x(n)]N x(n)WN n 0 M 1
nk j2 12 e
11 j 2 n ( k 1) n ( k 1) 1 11 j 2 12 12 e e 2 n 0 n 0
利用复正弦序列的正交特性（2-3）式，再考虑到k的取值区 间，可得
6 k 1,11 X (k ) 0 其他k , k [0,11]
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WNkn
n 0 N 1
k 0, 1, , N 1
(3.1.1)
WN e
j
2π N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M 1
k 0,1,, N 1
比较上面二式可得关系式 或
X (k ) X ( z) ze
j
2π k N
k 0,1,, N 1
2π k N
(3.1.3)
X (k ) X (e j ) |
k 0,1,, N 1 (3.1.4)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
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图2-9 序列δ(n)及其离散傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
例 3.1.2 已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列，
求它的N点DFT。
解 由DFT的定义式（2-30）
n n j n nk 11 1 j 6 6 X (k ) cos W12 e e 6 n 0 n 0 2 11
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
上的序列称为
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为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
(n) x((n)) N x
示模N对n求余，即如果
n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M为整数 则 ((n))N=n1 例如， N 8, x (n) x((n))8 , 则有
X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier
Transform, IDFT) 为
1 x(n) IDFT[ X (k )] N
j 2π N
X (k )WN kn
k 0
N 1
n 0, 1, , N 1
(3.1.2)
式中， WN e ，N称为DFT变换区间长度。通常称(3.1.1) 式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用 DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离散傅里叶变换 和N点离散傅里叶逆变换。 下面证明IDFT［X(k)］的唯一性。
1 N 1 1 N 1 kn kn (n) X (k )WN X (k )WN x N k 0 N k 0
(3.1.9)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
式中
(k )R (k ) X (k ) X N
(3.1.10)
(k ) 的主值序列。将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT 即X(k)为 X 的定义(3.1.1)和(3.1.2)式相比较可知，有限长序列x(n)的
写出 ~ x (n) 的离散傅里叶级数表示式
(k ) x (n)W X
n 0 N 1 kn N
如果x(n)的长度为M，且 ~ x (n) x((n))N ，N≥M，则可
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
kn x(n)WN n 0
N 1
(3.1.8)
k ( k mN ) WN WN ，
k , m为整数,N为自然数
( k mN ) n x(n)WN X (k mN ) n 0 N 1
所以(3.1.1)式中，X（k)满足：
X (k ) x(n)W
n 0 N 1 kn N
N 1 1 N 1 1 kn k ( n mN ) x(n) X (k )WN X (k )WN x(n mN ) N k 0 N k 0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
~ 实际上，任何周期为N的周期序列 x (n) 都可以看做长度为 x ( n) N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 ~ 的一个周期，即
(n) x
m
x(n mN )

(3.1.5) (3.1.6)
(n) RN (n) x(n) x
(8) x((8))8 x(0) x (9) x((9))8 x(1) x
(3.1.7)
式中x((n)) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
0≤k≤9
写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。 由
x1 (n) (n) X1 (k ) DFT [ x1 (n)] 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
同样，一个常数的DFT是一个单位脉冲序列：
x2(n)=1
X2(k)=DFT［x2(n)］=Nδ(k)
所以
1 x ( n) ( n) 5