锐角三角比
《求锐角的三角比的值》 讲义
《求锐角的三角比的值》讲义一、锐角三角比的定义在直角三角形中，锐角的三角比包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。
正弦（sin）等于锐角的对边与斜边的比值；余弦（cos）等于锐角的邻边与斜边的比值；正切（tan）等于锐角的对边与邻边的比值。
例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠A 为锐角，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b。
二、特殊锐角的三角比值我们先来了解一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比值，这些是需要大家牢记的。
1、 30°角对于 30°角的直角三角形，假设斜边为 2，对边为 1，根据勾股定理可得邻边为√3。
所以，sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3。
2、 45°角在等腰直角三角形中，两个直角边相等，假设直角边为 1，斜边为√2。
则 sin 45°＝ cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1。
3、 60°角与30°角相对应，60°角的直角三角形中，假设斜边为2，邻边为1，对边为√3。
所以，sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3。
三、利用三角函数定义求三角比值当已知直角三角形的边长时，我们可以直接根据三角比的定义来求出相应锐角的三角比值。
例如，在直角三角形中，∠C 为直角，∠A 为锐角，已知∠A 的对边为 4，邻边为 3，斜边为 5。
则 sin A ＝ 4 ／ 5，cos A ＝ 3 ／ 5，tanA ＝ 4 ／ 3。
再比如，一个直角三角形的斜边为 10，一个锐角的对边为 6，那么这个锐角的正弦值就是 6 ／ 10 ＝ 3 ／ 5。
锐角三角比特殊角的值
锐角三角比特殊角的值嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题——锐角三角比，特别是那些特殊角的值。
说到这个，想必大家都知道，三角函数可是数学里的一颗璀璨明珠，搞懂了它，简直是如虎添翼，让我们在面对各种问题时游刃有余。
你想啊，平时生活中，像测量高度、计算距离这些事儿，三角函数可是帮了大忙呢。
我们得说说什么是锐角。
简单来说，锐角就是小于90度的角，就像一个小朋友，活泼可爱，不像那种大爷一样的钝角，实在是太稳重了。
咱们最常见的特殊角就有30度、45度和60度，这些角度就像数学里的明星，真是大名鼎鼎。
哦，对了，提到这些角，脑海中是不是又浮现出那个三角形的图像呢？真是让人心痒痒。
来，咱们先从30度说起。
这可是个可爱的角啊，三角函数的值也超级简单。
30度的正弦值是0.5，余弦值是√3/2，正切值是√3/3。
记住了吗？我知道你可能会想，“这是什么鬼？”没关系，我们可以用一些小窍门来记忆。
想象一下，30度的正弦值就是半个苹果，正好一口下去。
而余弦值就像是一个拿着√3的朋友，刚好在两块的蛋糕边上，正切嘛，就是这个朋友分到的蛋糕和另一个朋友的比例，简单吧？咱们聊聊45度。
这可是个绝对的热门角，正好就是个直角三角形的对称中心。
45度的正弦值和余弦值都是√2/2，简直是打平了。
正切值也非常简单，1，大家一起摇摇手，正好一比一。
想象一下，45度就像两个好朋友，平等又和谐，真是让人感觉温暖啊。
再来看看60度，哎呀，这个角的活力四射。
60度的正弦值是√3/2，余弦值是0.5，正切值是√3。
想象一下，60度就像一个在阳光下跳舞的小精灵，带着一点点神秘感。
你看，正弦值就像是它的舞姿，优雅又充满力量；余弦值则是它在舞池里的轻盈，一切都是那么恰到好处。
说到这里，你会发现，特殊角的值其实并不难记。
只要找到一些有趣的小方法，就能轻松搞定。
再说了，生活中处处都是三角函数的影子，别小看它。
比如，玩飞盘的时候，你就需要考虑到投掷角度。
开车的时候，转弯的角度也需要三角函数来帮忙。
_九年级秋季班-第3讲：锐角的三角比
1 / 13锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用．1、 正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角 A 的正切记作 tan A ．tan A = 锐角A 的对边 = BC = a ．锐角A 的邻边 AC b 2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角 A 的余切记作 cot A ．cot A = 锐角A 的邻边 = AC = b ．锐角A 的对边 BC a锐角的三角比内容分析知识结构模块一：锐角的三角比的意义知识精讲B a cCbA2 / 13CADB3、 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角 A 的正弦记作 sin A ．sin A = 锐角A 的对边 = BC = a ．斜边 4、 余弦AB c 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角 A 的余弦记作 cos A ．cos A = 锐角A 的邻边 = AC = b ．斜边 AB c【例1】 如图，在 Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AB = 13，BC = 12，则下列三角比表示正确的是（）A ． sin A = 1213B ． cos A =1213 C ． t an A = 512D ． t an B = 125【例2】 在 ∆ABC 中， ∠B = 90︒ ，BC = 2AB ，则 cos A 的值为．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则 tan α 的值是．【例4】 如图， Rt ∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ，AC = 8，AB = 6， CD ⊥ AB ，垂足为 D ，则 tan ∠ BCD 的值是．例题解析yA（2，1） OxB a cCbABA C3 / 13【例5】 ∆ABC 中，已知∠C = 90︒ ， tan A = 1， c = 2 2，求 a 、b 的值．【例6】 ∆ABC 中，已知∠C = 90︒ ， sin A = 2，求cos A 、 tan A 的值．3【例7】 如图， ∆ABC 的三个顶点均在格点上，则 cos A 的值为 ．【例8】 在平面直角坐标系中，过点 P （0，2）作直线 l ： y = 1x + b （b 为常数，且 b < 2）2 的垂线，垂足为 Q ，则tan ∠OPQ = ．CB A54 / 13 31、特殊锐角的三角比的值α tanα cotα sinα cosα30°33 3123245° 1 1222260° 33332122、补充（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用）α tanα cotα sinα cosα15° 2 - 3 2 + 36 - 246 + 2475° 2 + 3 2 - 36 + 246 - 243、通过观察上面的表格，可以总结出：当0︒<α< 90︒，α的正弦值随着角度的增大而增大，α的余弦值随着角度的增大而减小；α的正切值随着角度的增大而增大，α的余切值随着角度的增大而减小．【例9】∠A 是等腰直角三角形的底角，∠B 是等边三角形的一个内角，则tan A = ，sin B = ．【例10】已知，在∆ABC 中，sin A =2，tan B =，则∠C =．2模块二：特殊锐角的三角比的值知识精讲例题解析5 / 133 323 18 8【例11】在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，已知a = 2 ，c = 4，求∠B ．【例12】 在 ∆ABC 中，三边之比a : b : c = 1: 3 : 2 ，则sin A + tan A = ．【例13】当45︒ < α < 90︒ 时， sin α 、cos α 、 tan α 的大小关系是（）A ． sin α < cos α < t an α C ． tan α < cos α < s in αB ． cos α < sin α < tan α D ． tan α < sin α < cos α【例14】在 ∆ABC 中，若 sin A -+ (- tan B )2= 0 ，则∆ABC 属于哪种三角形？【例15】求值： cos 2 45︒ -1 + cos 60︒1sin 30︒+ cos 2 30︒ + sin 45︒ ．【例16】(π - 3)0⎛ 1 ⎫-1+ - 2sin 45︒ - ⎪ ⎝⎭ +tan 45︒ ． sin 60︒ - cos 45︒【例17】已知公式：sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ； cos (α + β )= cos α cos β - sin α sinβ ． 求：sin 75°、cos 75°的值．6 / 13D ． 2nBAC⎛ ⎫n⎛ ⎫n +1【例18】 如图，在∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， ∠A = 30︒ ，BC = 1．过点 C 作CC 1 ⊥ AB 于C 1 ，过点C 1 作C 1C 2 ⊥ AB 于C 2 ，过点C 2 作C 2C 3 ⊥ AB 于C 3 ，…，按这样的规律继续，则 AC n 的长为（ ）3 A ． ⎪3 B ． ⎪ ( 3 )nC ．n +1( 3 )n +1⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭21、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．定义表达式取值范围相互关系正切tan A =∠A 的对边 ∠A 的邻边 tan A = ab tan B = ba tan A > 0 （ ∠A 为锐角） tan A =1cot A tan A = sin Acos A cot A = cos Asin A余切cot A =∠A 的邻边 ∠A 的对边 cot A = bacot B = abcot A > 0 （ ∠A 为锐角）正弦 sin A =∠A 的对边斜边sin A = ac sin B = bc 0 < sin A < 1（ ∠A 为锐角）sin A = cos (90︒ - ∠A )cos A = sin (90︒ - ∠A ) sin 2 A + cos 2 A = 1余弦cos A =∠A 的邻边斜边 cos A = bccos B = ac0 < cos A < 1 （ ∠A 为锐角）模块三：锐角的三角比的关系及运用知识精讲7 / 132【例19】在 ∆ABC 中，∠C = 90︒ ，下列四个等式：○1 sin A = cos B ；○2 cos A = cos B ；○3 1tan A= tan B ；○4 tan A = tan B ．其中一定成立的是 ．（填序号）【例20】已知α 是锐角，化简： cos 2 α - 2 c os α + 1 ．【例21】 已知sin α + cos α = ，求sin α cos α 的值．【例22】求值： cos 48︒ +cos 40︒- sin 42︒ ． sin 50︒【例23】化简： sin 2 1︒ + sin 2 2︒ + ⋅ ⋅ ⋅ + sin 2 88︒ + sin 2 89︒ ．tan 2 α sin 2 α【例24】化简： tan 2 α - sin 2 α．【例25】已知： sin α + cos α = m ， sin α - cos α = n ，则 m ，n 之间的关系是（）A ．m = nB ．m = 2n + 1C ． m 2 = 2 - n 2D ． m 2 = 1- 2n例题解析8 / 13【例26】已知方程 4x 2 - 2(m + 1) x + m = 0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求 m 的值．【例27】若α 为锐角，且2cos 2 α + 7sin α - 5 = 0 ，求α 的度数．【例28】Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，BC = a ，AC = b ，AB = c ．利用锐角三角比的定义证明：（1） sin 2 A + cos 2 A = 1 ； （2） tan A tan B = 1 ； （3）sin A= tan A ； （4） sin A + cos A > 1 ．cos A【例29】如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b ，斜边上的高为 h ，求证： 1 + 1a 2b 2= 1．h 2【例30】已知α 为锐角，且 2sin α cos α +1(sin α - cos α ) = 1 ，求以tan α 、cot α 为两 3个根的一元二次方程．9 / 13D ．CDACA DBCBCA tan 45︒cot 30︒ sin 60︒-(cos 45︒ -1)2【习题1】 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知 b = 5，c= 13，则 sin A =，cos A =，tan A =．【习题2】 如图，点 A 为∠α 边上的任意一点，作 AC ⊥ BC 于点 C ， CD ⊥ AB 于点 D ，下列用线段比表示cos α 的值，错误的是（）A ．BD BCB ．BC ABC ．AD AC【习题3】如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC的正切值是．【习题4】若(2sin α - 2 )2+ 1 - 2 cos β= 0 ，求α 、 β 的值（α 、 β 都是锐角）．【习题5】- sin 45︒ + cot 60︒ tan 30︒ ．【习题6】 化简： tan1︒ tan 2︒ tan 88︒ tan 89︒ ．随堂检测10 / 13tan 2 60︒ + 2 c os 45︒ 【习题7】求值： sin 2 27︒ + sin 2 63︒ tan 45︒ + cot 2 30． cos 2 27︒ + cos 2 63︒【习题8】等腰三角形底边长为 8 cm ，面积为8 cm 2，求底角的正切值．【习题9】在 Rt ∆ABC 中，∠C = 90︒ ，S∆ABC = m，且两直角边长满足条件 3a + 2b = m ．当2m 取最小值时，求∆ABC 中最小内角的正切值．【习题10】 已知 a 、b 、c 分别是∆ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，关于 x 的一元二次方程 a (1 - x2 )+ 2bx + c (1 + x 2 )= 0 有两个相等的实数根，且 3c = a + 3b ． （1）判断∆ABC 的形状； （2）求 sin A 、sin B ．5 -11 / 133 - 2 cos 45︒【作业1】 Rt ∆ABC 中，已知∠A = 90︒ ，AB = 2，AC = 4，则 tan B =，cos C = ，sin B =．【作业2】在 ∆ABC 中，∠C = 90︒ ，若斜边AB 是直角边BC 的3 倍，则tan B 的值是（）A ． 13B ．3C ． 2 4D ． 2 【作业3】 在 Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，如果各边的长都延长到原来的两倍，那么锐角 A的各三角比的值（ ） A ．都扩大到原来的 2 倍 B ．都缩小为原来的一半 C ．没有变化D ．不能确定1⎛ 1 ⎫-2【作业4】 20160- cot 30︒ +- ⎪ ． ⎝ 2 ⎭【作业5】 若 a sin θ + cos θ = 1 ， b sin θ - cos θ = 1 ，求证：ab = 1．【作业6】在 Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， a + b = 28 ， sin A + sin B = 7，求斜边c 的长． 5课后作业212 / 13【作业7】 已知关于 x 的一元二次方程(m + 2) x 2 - (2m -11) x +12 = 0 的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数 m 的值．【作业8】已知锐角∆ABC 中，AB = c ，AC = b ，BC = a ，利用锐角三角比的意义证明： c = a cos B + b cos A ．【作业9】 我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad ）．如图（a ），在∆ABC 中，AB = AC ，顶角 A 的正对记作 sad A ， 这时 sad A =BC．容易知道，一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定AB的．根据定义，求解下列问题： （1）sad 60°=；（2）对于 0°< A < 180°，sad A 的取值范围是 ； （3）如图（b ），已知sin A = 3，则 sad A 的值是（） 5A ． 65B ． 23C ． 54D ．105BCA（b ）ABC（a ）13 / 13【作业10】 在锐角∆ABC 中， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为 a 、b 、c ．求证：（1）a = sin Ab sin B =c ；sin C （2） S∆ABC= 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 bc sin A ． 2 2 2。
锐角三角比
锐角三角比复习1.定义：①正弦（sin）等于对边比斜边；②余弦（cos）等于邻边比斜边；③正切（tan）等于对边比邻边；④余切（cot）等于邻边比对边。
•注意：若角的大小不变，无论角所对的边如何变化，角的三角比恒不变。
2.关系：①锐角三角比中，tanA＞0，cotA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1②在同一个三角形中，∠C=90°，∠A+∠B=90°,tanA=cotB，sinA=cosB③tanA×cotA=1，sinA²+cosA²=1，tanA= sinA／cosA，cotA= cosA／sinA④tanA＞sinA，cotA＞cosA，（锐角）∠A=∠B→sinA=sinB⑤sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα；tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα3.特殊锐角三角比的值：4.锐角三角函数值的变化情况：①锐角三角函数值都是正值②当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
③当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0。
当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA＞0, cotA＞0。
5.解直角三角形：①直角三角形中六个元素：三角三边。
②直角三角形可解条件：⑴已知：一角一边（除直角以外）⑵已知：两边（除直角以外）③直角三角形中边的关系：a²+b²=c²·注意：若已知的一个三角形不是直角三角形，则通常由已知元素来构造直角三角形，把它划归为解直角三角形。
锐角三角比讲义
【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。
（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。
求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。
锐角三角比公式
锐角三角比公式锐角三角比1. 什么是锐角三角比锐角三角比是三角函数中的一个概念，用于描述一个锐角的正弦、余弦和正切值。
在数学中，锐角是指小于90度的角。
锐角三角比可以帮助我们计算和描述锐角的各种属性。
2. 锐角三角比的相关公式下面是锐角三角比的几个常用公式：正弦（Sine）正弦值表示一个角度的对边与斜边的比值：sin(A) = 对边 / 斜边余弦（Cosine）余弦值表示一个角度的邻边与斜边的比值：cos(A) = 邻边 / 斜边正切（Tangent）正切值表示一个角度的对边与邻边的比值：tan(A) = 对边 / 邻边3. 示例解释为了更好地理解锐角三角比的概念和应用，我们来看几个示例。
示例 1假设有一个锐角三角形，其中角A的对边长度为5，邻边长度为12，斜边长度为13。
我们可以利用正弦、余弦和正切公式来计算角A 的锐角三角比值：sin(A) = 5 / 13 ≈cos(A) = 12 / 13 ≈tan(A) = 5 / 12 ≈示例 2现在假设有一个锐角三角形，其中角B的对边长度为7，邻边长度为24，斜边长度为25。
我们可以同样利用锐角三角比公式计算角B 的值：sin(B) = 7 / 25 =cos(B) = 24 / 25 =tan(B) = 7 / 24 ≈通过以上示例，我们可以看到锐角三角比可以帮助我们计算角度的各种属性，如角度的正弦、余弦和正切值。
这些值在许多数学和科学领域中都有广泛的应用，如物理、工程、地理等。
总结本文介绍了锐角三角比的概念和相关公式，并通过示例解释了如何计算锐角的正弦、余弦和正切值。
锐角三角比在数学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算和描述锐角的各种属性。
在实际问题中，了解锐角三角比可以帮助我们更好地理解和解决各种角度相关的计算和测量问题。
锐角三角比
锐角三角比：知识点一：锐角三角比的定义： 一、 锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角比 2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值针对训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．453.如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图6，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB=，10BC=，AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，D为AC上一点，若1tan5DBA∠=，则AD 的长为( )A．2 B．2 C．1 D．228. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DCBAOyx第8题图A DECBFDABC类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值． 1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin60tan 2.锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan αCBAABO3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；家庭作业：1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.签字确认 学员 教师 班主任DCBAACB。
初中数学：锐角的三角比知识清单
初中数学：锐角的三角比知识清单1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α3312224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2.直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B a b a b A A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：3.解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α一、锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC bcotA A BC a角的角的锐邻边锐对边．【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．二、特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133三、解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°；（2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）四、解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:hi tan lα==.1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .。
锐角三角比2015
锐角三角比第一节 锐角的三角比1．锐角的三角比的定义如图 ，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，锐角A 的四个三角比为： tanA ＝b aAC BC A A ==∠∠的邻边的对边cotA ＝abBC AC A A ==∠∠的对边的邻边sinA ＝c aAB BC A ==∠斜边的对边cosA ＝cbAB AC A ==∠斜边的邻边2．三角比的值（1）特殊角的三角比的值（30°、45°、60°）（2）锐角α三角比的值都是正数，并且有0＜sin α＜1，0＜cos α＜1 （3）同角三角比的关系：AA cot 1tan =（4）互余两角的三角比的关系：tan （90°—A ）= cotA ，sin （90°—A ）= cosA 注意点：1、要熟记30°、45°、60°等特殊角的三角比值；2、会使用计算器求锐角的三角比的值；3、要善于运用锐角三角比的定义求出锐角的三角比或边长，当所给的图形中没有直角三角形，会构造直角三角形；当图形较复杂，求一个角的三角比不方便时，会分析图形、条件，观察图形中是否有与所求角相等的角，然后转化成求另一个角的三角比． 例题精讲[例题1] 如图24—1，在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，RQ =12．求QR 和sin Q 的值．[例题分析]由已知在直角三角形中一个角的正切和一条直角边， 就可直接运用三角比的定义求出另一条直角边，再由勾股定理， 求出斜边，然后求出锐角的正弦或余弦．[解题过程] 在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，∴312==PRPR RQ ，∴4=PR 又∵222RQ PR PQ +=，∴5=PQ ∴53sin ==PQ PR Q [例题2] 如图24—2，在直角坐标平面内有一点),2(b A )0(>b ．OA 与x 轴正半轴的┒R P Q 图24—1CAB夹角为α．（1）用含α的式子表示b ． （2）用含b 的式子表示αcos ．[例题分析]轴的距离有关，所以，只要过点A 作x 轴的垂线，就 可构造直角三角形，再运用三角比求解．[解题过程]（1） 过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则 ∠ACO =90°，∠AOC =α，由点),2(b A )0(>b ，得,,2b AC OC ==∴OCAC=αtan ，∴αtan 2=b ． （2）∵22224b AC OC AO +=+=，∴42+=b AO∴44242cos 222++=+==b b b AO OC α． [例题3] 如图24—3，在△ABC 中，∠C =90°，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点D ，AC =5，BC =12. 求sin ∠ADE 的值．[例题分析]要求sin ∠ADE 的值，由正弦的定义即要求出AD DE的值，由于点D 、E 不确定，无法求DE 、AD 的值， 从题中的信息可以证明△ADE ∽△ABC ，得AB AC AD DE = 并可求ABAC 的值，但比较复杂，由于∠ADE 与∠B 都是∠A 的余角，所以∠ADE =∠B ，那么求sin ∠ADE 的值就转化为求sin ∠B 的值．[解题过程]∵ DE ⊥AB ∴∠AED =90°，又∠C =90°， ∴∠ADE =90°-∠A ==∠B在△ABC 中，∠C =90°， AC =5，BC =12，∴169222=+=BC AC AB ∴13=AB∴135sin ==∠AB AC B ∴sin ∠ADE =135． 锐角三角比的意义练习1．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 5，则tan A = ，cot A = ． 2．在Rt △MNP 中，∠P =90°,MP =10,52cot =N ，那么NP = ，MN = ．3．如图24—4，在△PQR 中，∠R =90°,点M 在边PR 上． 设∠P =β，∠QMR =α，QR =a ．用含a 和α、β的式子表示PM 的长．图24—2┒EC B A 图24—3DβαMRQP图24—44．如图24—5，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，AB =10，CD ⊥AB ,垂足为点D . 求(1) tan A ；(2)cot ∠ACD ．5．在Rt △ABC 中，∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系中，正确的是（ ） (A)c b A =sin ； (B)a c B =cos ； (C) b a A =tan ； (D)ab B =cot ． 6．如果Rt △ABC 中，∠C =90°,各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（ ）(A)都扩大到原来的2倍； (B)都缩小到原来的2倍； (C)没有变化； (D) 不能确定． 7．在Rt △SQR 中，∠R =90°，如果tanS ＝512 ，那么sinQ 的值等于（ ）(A)135； (B) 1312 ； (C) 125 ； (D) 512 ． 8．在直角坐标平面内有一点)4,(a P )0(>a ．OP 与x 轴正半轴的夹角为α． （1）用含α的式子表示a ．（2）用含a 的式子表示αsin ．9．若3tan α=3，则锐角α = 度． 10．求下列各式的值：（1）3cot60°－tan45°＋2sin45°－2cos30°；（2）0060cos 160sin 30tan -+．第二节 解直角三角形解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量．1．明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的．因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础．2．解直角三角形的基本类型和方法事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形┒DC A 图24—5是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
第一讲 锐角三角比的意义
九年级上册数学教案锐角三角比的意义第一讲锐角三角比的意义知识框架1 .正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2 . 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC b AA BC a ===锐角的邻边锐角的对边3 . 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4 .余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5 .锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 例题解析【例1】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【例2】 在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．九年级上册数学教案锐角三角比的意义（2）在Rt∆____中，N∠的对边是MP；在Rt∆____中，N∠的邻边是NQ．（3）MPQ∠的邻边是______，NPQ∠的对边是______．【例3】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() tanNPMMQ==．（2）PQQN=______，=MPPN______．（用正切或余切表示）【例4】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例6】矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD∠和cot ODC∠的值．【例7】已知正比例函数y=的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求tan AOB∠和cot AOB∠的值．【例8】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，tan A = 34．求：（1）AB的长；（2）tan B的值．【例9】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() sinNPMMP==．（2）PQPN=______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示）【例10】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．【例11】在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【例12】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，sin A =34．求：（1）AB的长；（2）sin B的值．【例13】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin A =23，求sin B的值．【例14】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A∠的四个三角比的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例15】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值．【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【例17】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【例18】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ．【例19】在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=， 求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【例21】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，求sinα、cosα、tanα和cotα．【例22】已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为α，求tanα和sinα的值．【例23】在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO = 5，3sin5BOA∠=．求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO∠的值．【例24】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．【例25】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例26】 在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=， 求AD 、AC 的长．【例27】 在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值．【例28】 已知ABC ∆中，sin A =513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积．【例29】 在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【例30】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sin α、cot α的值．【例31】 在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC课堂练习题【习题1】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______；（2）sin B = ______，cos B = ______，tan B= ______，cot B = ______．【习题2】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______．【习题3】已知90A B∠+∠=︒，则sin A – cos B的值为______．【习题4】在ABC∆中，AB = BC = 20，AC=sin A和tan A的值．【习题5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，CD⊥AB于D．已知AC = 8，BC = 15．求DCA∠的三角比．【习题6】在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1）．求α的三角比．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义BDCABFE 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【习题9】 ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、 tan α的值．【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．课后作业【作业1】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【作业2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【作业3】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【作业4】 已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =______．【作业5】 若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______．【作业6】 已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义用心 细心 耐心 恒心 11【作业7】 如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，AC =sin B 和tan B 的值．【作业8】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【作业9】 已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．。
锐角三角比复习
锐角三角比复习【知识点】1. 锐角的三角比的定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，1）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切. tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A2）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切. cotA ＝A A ∠=∠的的b a 3）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦. sinA ＝c a =∠∠的斜边的对边A A ；4）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦. cosA ＝c b =∠∠的斜边的邻边A A ；2. 锐角的三角比的性质1）当锐角A 的度数一定时，不管锐角A 在什么形状的三角形中，∠A 的三角比是一个固定值.2）若90A B ∠+∠= ,则有tanA =cotB ，tanB=cotA ， sin A =cos B ，sin B =cos A ; 3）22sin cos 1A A += tanA ·cotA=1 4）sin tan cos A A A=5）0<sinA<1 0<cosA<14、定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形 直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角关系 sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.A CD B第4题5. 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.6. 坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i=Lh .（坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5）坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. 坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α.【实战演练】 一、填空题1.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB =，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA2. 已知α为锐角,且21tan =α,则=αcot 3. 如图，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为_____4．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，D 为垂足，若5,3==AB AC ，则cot ACD ∠= ．5.在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则BC ＝ （用b 和θ的表示）斜坡的坡比是1:1，则坡角=_______度 3、斜坡的坡角是60度，则坡比是_______4、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______5、斜坡的坡度是1:3，斜坡长100米，则斜坡高为_______米水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线α（=:ihl坡度=t an αhl如图，B A C ∠位于66⨯的方格纸中，则tan B A C ∠＝ .8．（2010江苏宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ▲ ．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt 中，则BC 的长为 （ ）（A ） 35sin 7 （B ）35cos 7（C ） 35cos 7（D ）． 35tan 7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB的值是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．315．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米(C) m ·cos α米 (D)αtan m 米ABCmα(第8题图)第13题图ABC在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值 （ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变如图４，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE :CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ） A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97三、简答1、求下列各式的值：(1)sin30°+cos30° (2)sin30°·sin45° (3)tan60°+2sin45°-2cos30° (4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2(5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22（6）(cos60°)2 +(cos45°)2 +sin30°sin45°（7）（8）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（9）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--（10）20113015(1)()(cos 68)8sin 602π---+++． 2、在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，a=8，求这个直角三角形的其它边和角3.在Rt △ABC 中，∠C=900，c=43，a=2，解这个直角三角形.4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．.在直角坐标平面中，直线343+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正切值.在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，︒=∠30C ，21tan =B ,324+=BC ，求AD 的长.如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米); (2)求坡角的正弦有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度i 1=1∶1.2,斜坡BC 的坡度i 2=1∶0.8, 大堤顶宽DC 为6米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断面为梯形DCFE, EF ∥DC, 点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF 为3.8米时,大堤加高了几米?ABD1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6米，背水坡AB 的坡度i=1：2，则斜坡AB 的长为_______米（精确到0.1米）．2．如图，小山的顶部是一块平地，•在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1，斜坡BD 的长是50米，•在山坡的坡底处测得铁架顶端A 的仰角为45°，在山坡的坡项D 处测得铁架顶端A 的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．1.73，精确到0.1米） 如图,ABC ∆中，BCP AC PC ∠⊥,的正切值为13，P 是AB 的中点，则=A sin ；7、已知ABC ∆中，20=AB ，15=AC ，且=B sin 53，则=BC ；8、在ABC ∆中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，=∠DBC sin 72，求AC BC :的值；9、一轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行。
锐角的三角比(考点清单,知识导图+4个考点清单+6种题型解读)(学生版)25学年九年级数学上学期期中
专题04锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）【清单01】锐角的三角比定义一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；【清单02】锐角的三角比性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.【清单03】特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α321222【清单04】锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角【考点题型一】锐角三角比的意义【例1】在ABC V 中， 0 9C B BC m α︒∠=∠==，，，那么边AC 的长为（）A ．sin m αB ．cos m aC ．tan m αD ．cot m α【变式1-1】在Rt ABC △中，90B Ð=°，BC a =，那么AB 等于（）A ．tan a A⋅B ．cot a A⋅C ．sin aAD ．cos a A【变式1-2】.在Rt ABC △中，90B Ð=°，4AB =，3BC =，那么下列结论正确的是（）A ．4tan 3C =B ．4cot 3C =C ．3sin 4C =D ．4cos 3C =【变式1-3】如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，下列结论不一定成立的是（）A ．A DCB ∠=∠B ．tan CD ECB AD∠=C ．2CD AD DB=⋅D ．22BC DB EC =⋅【变式1-4】已知A ∠()2cos 1cos A A -=．【变式1-5】如图，已知在ABC V 中，1cos 3A =，BE CF 、分别是AC AB 、边上的高，连接EF ，那么AEF△和ABC V 的周长比为．【变式1-6】.如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，联结AD ，AB =AD ，BD=4，tan 4=C ．（1）求AB 的长；（2）求点C 到直线AB 的距离．【考点题型二】求角的三角比【例2】（24-25九年级上·上海·期中）在Rt ABC △中，902C B A ∠=︒∠=∠，，那么cos A 的值等于（）A ．2B ．3C ．12D 【变式2-1（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知(2,3)P -，O 为坐标原点，OP 与x 轴负半轴的夹角为α，则α的正切为．【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）ABC 中，13AB AC ==，BC =A ∠的正弦值等于．【变式2-3】（21-22九年级下·上海·期中）在正方形网格中，ABC V 的位置如图所示，则cos B ∠的值为【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，ABC V 中，90C ∠=︒，将ABC V 沿图中的虚线翻折，使点C 落在边BC 上的点D 处，如果58AD DB =，那么cos ABC ∠=．【变式2-5】（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片ABCD ，点M 是对角线AC 的中点，点E 在BC 边上，把DCE △沿直线DE 折叠，使点C 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF EF ，．若MF AB =，则DAF ∠的正弦值为．【变式2-6】（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 在AD 延长线上()PD CD <，连接PB PC 、，如果CDP △与PAB 相似，那么tan BPA ∠=．【变式2-7】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在Rt ABC △中，90,10,6C AB BC ∠=︒==，求sin ,cos A A的值．【变式2-8】（2024·上海普陀·二模）如图，在ABC V 中，2B C ∠=∠，点D 在边BC 上，13AB AD ==，23BC =．(1)求B 的长；(2)求tan C 的值．【变式2-9】（2024九年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点(3,)A m -，且与直线24y x =-+交于另一点(6)B n ,．(1)求k 与m 的值；(2)过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =-+交于点C ，求sin OCA ∠的值．【变式2-10】（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ，90DAB ∠=︒，16105AB CD BC ===，，(1)求梯形ABCD 的面积；(2)连接BD ，求DBC ∠的正切值．【变式2-11】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知B A ，分别是4y x =-+与x 轴，y 轴的交点．(1)C 在线段B 上，13AC BC =，求C 的坐标；(2)在第一问的条件下，求tan OCB ∠的值；(3)若D 在直线B 上，1tan 3ODB ∠=，求D 的坐标．【考点题型三】已知三角比求边长【例3】（2023·上海虹口·一模）如图，在Rt ABC △中，已知90C ∠=︒，3cos 4A =，3AC =，那么BC 的长为（）A 7B ．27C ．4D ．5【变式3-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，A α∠=，那么BC 的长是（）A ．5tan αB ．5cot αC ．5sin αD ．5cos α【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点()3,4A 和()0,B b ，满足1tan 2ABO ∠=（O 为原点），那么b 的值为．【变式3-3】（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD 的边长为5，4cos 5B =，E 是边CD上一点（不与点C 、D 重合），把△ADE 沿着直线AE 翻折，如果点D 落在菱形一条边的延长线上，那么CE 的长为．【变式3-4】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC a =，3cos 4B =.点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CDE EDB B ∠=∠=∠，那么AD 的长为.（用含a 的代数式表示）【变式3-5】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知ABC V 是等边三角形，4AB =，D 是AC 边上一动点（不与A 、C 点重合），EF 垂直平分B ，分别交B 、BC 于点E 、F ，设CD x =，AE y =．(1)求证：AED CDF △∽△；(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；(3)过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，当1EH =时，求线段B 的长．【考点题型四】特殊角三角比混合运算【例4】（22-23九年级上·上海青浦·期中）计算：)11tan 6031231-⎛⎫︒+- ⎪+⎝⎭【变式4-1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算：()()1222sin 30cos 45tan 301cot 30-︒+︒-︒-︒【变式4-2】（2024九年级下·上海·专题练习）计算：tan 452cos 601cot 30sin 601︒︒--︒+︒-．【变式4-3】（21-22九年级上·上海青浦·期中）计算：tan 453cot 60cot 30cot 45︒︒-︒-︒．【变式4-4】（23-24九年级上·上海·()1012sin452π3-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭．【变式4-5】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：2tan30cos 45sin60sin30cot30⨯+⨯⨯ ．【考点题型五】根据特殊角三角比求角度【例5】．（2024九年级上·上海·专题练习）已知α为锐角，()cos 20α-︒=α等于（）A ．30︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒【变式5-1】（22-23九年级上·上海松江·期中）在ABC V 中，A ∠与B ∠是锐角，且tan 3A =，cos 2B =，那么C ∠=度．【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角α的正切值为3，那么锐角α为度【变式5-3】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知α为锐角，tan 2cos 60α=︒，那么α=度．【变式5-4】（22-23九年级·上海·假期作业）求满足下列条件的锐角α：(1)cos 0α=；(2)0α．【变式5-5】（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知90BAC BDC ∠=∠=︒，16,8EBC ADE S S == ，问：BEC ∠的大小确定吗？若确定，求其度数；若不确定，请说明理由【考点题型六】根据特殊角三角比求角度【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90,CAB AB AC ∠=︒=，点D 为斜边BC 上一点，且3BD CD =，将ABD △沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B '，则sin CB D ∠'=．【变式6-1】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B 处，底端落在水平地面的点A 处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了米．【变式6-2】（2023·上海普陀·三模）如图，已知ABC V 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则tan E =．【变式6-3】（21-22九年级上·上海长宁·期末）如图,某种路灯灯柱BC 垂直于地面,与灯杆AB 相连.已知直线AB 与直线BC 的夹角是76 .在地面点D 处测得点A 的仰角是53 ,点B 仰角是45 ,点A 与点D 之间的距离为 3.5米．求：（1）点A 到地面的距离；（2）AB 的长度．（精确到0.1米）（参考数据:sin530.8,cos530.6,sin760.97,cos760.24≈≈≈≈ ）【变式6-4】（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，2BC AD =，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且BDF BAC ∠=∠．(1)求证：2EB EF EC =⋅；(2)如果6BC =，2sin 3BAC ∠=，求FC 的长．【变式6-5】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D 、E 分别在ABC V 中的边BA 、CA 的延长线上，且DE BC ∥．(1)如果3AD =，9BD =，4DE =，求BC 的长；(2)如果35CA CE =，4=AD ，5sin 5B =，过点D 作BF BC ⊥，垂足为点F ，求DF 的长．【变式6-6】（21-22九年级上·上海嘉定·期末）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与边CD 垂直，34AB AC =，四边形ABCD 的周长是16，点E 是在AD 延长线上的一点，点F 是在射线AB 上的一点，CED CDF ∠=∠．(1)如图1，如果点F 与点B 重合，求AFD ∠的余切值；(2)如图2，点F 在边AB 上的一点．设AE x =，BF y =，求y 关于x 的函数关系式并写出它的定义域；(3)如果:1:2BF FA =，求CDE 的面积．【变式6-7】（22-23九年级上·上海·期中）已知在正方形ABCD 中，8AB =，点P 在边CD 上，3tan 4PAD ∠=，点Q 是射线AP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线BC 于点M ，点R 在直线BC 上，使RQ 始终与射线AP 垂直．(1)如图1，当点R 与点C 重合时，求PQ 的长；(2)如图2，试探索：RM QM的值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值；(3)如图3，当点Q 在线段AP 上，设PQ x =，请用含x 的式子表示RM ．【变式6-8】（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知在ABC V 中，AB AC =，点D 在BAC ∠的平分线上，联结BD 并延长，交边AC 于点E ．(1)点F 在BE 延长线上，AF AB =，①如图1，若BD 平分ABC ∠，23BD DF =::，求cos ABC ∠的值；②如图2，若E 是AC 的中点，BD AE =，求:AE EF 的值；(2)如图3，若AED BEA ∽，2AE =，3EC =，求BC 的长．。
第03讲 锐角三角比(3种题型)(原卷版)
第03讲锐角三角比（3种题型）1锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.BPtanA=余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即COtA=Y?鬻;N 加勺对边正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即SinA=斜边2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小; ②若ZA+ZB=90°,贝IJtan A=cotB;sin A=cos B ；③tanA∙cotA=1.3.特殊角的三角比4.锐角的三角比一.锐角三角函数的定义（共6小题）1. （2023春•浦东新区校级期中）在RtZkABC 中，ZC=90o ,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）A.tanB=-B.cotB=AC.sinB=AD.cosB=A4355余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即COSA=乙船勺邻边NAfi 勺对边 '已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角.2. （2023秋•浦东新区校级期末）已知在Rt4A5C 中，NC=90°,AB=5,AC=4,那么下列式子中正确 的是（ ） λ.λ4A.SinA=-5B.cosA=-⅛-5C.tanA=A D. 5CotA=A53.（2023秋•崇明区期末）在RtZkABC 中， ZC=90o , AB=2,AC=I,那么CosB 的值是（A.√ΣB.近c.1D. 22224. （2023秋•青浦区期末）在4A5C 中，ZC=90o ,如果tan∕A=2,AC=3,那么5C=5. （2023秋•宝山区期末）在RtZkABC 中，ZC=90o ,如果空那么SinA 的值是.BC46. （2023秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系Xoy 中，点尸的坐标为（3,4）,射线。
《锐角三角比》PPT
斜边
.
在Rt△ABC中,锐角A邻边与斜边的比叫
作∠A的余弦,记作cos A,即 cos A= ∠A的邻边
斜边
.
B
斜
边
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边
C
如图,梯子的倾斜
程度与sin A和cos
A有关吗?
B1
B2
A
C2 C1
结论:梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关:
B
┐
C
注意到这里cos A=sin B,其中有没有什么内在
的关系?
A
正切
如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，
来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测
量AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾
斜程度.你同意小亮的看法吗？
B1
B2
A
C2 C1
B1
B2
(1)直角三角形A B1C1和直角
本题没有直角三角形，你怎么办？
老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
A
5
B
┌
6 D
5
C
4
7.在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=20, sin A .
5
求:△ABC的周长.
B
┐
C
提示:分别求出AB,AC.
A
8.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,sin A的值（ C ）
是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sin A, cos A, tan A是一个完整的符号,表示∠A的
正切,习惯省去“∠”号；
3.sin A, cos A, tan A是一个比值. 注意比的顺序, 且
锐角三角比.ppt
2、当一个锐角的三角比不易求
出时，常找到与其他相等的角，
求出相等角的三角比即可；
C
3、在非直角三角形中求三角比 时，常常通过作高构造直角三角
形求解。
课堂小结：
1． ∠A的正弦： ∠A的余弦： ∠A的正切：
sinA =
∠A的对边 斜边
cosA =
∠A的邻边 斜边
tanA
=
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．
45°时，∠A的对边与斜边的比都等于
2 2
，也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时， 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
那么 BC 与 B'C' 有什么关系．你能解释一下吗？ AB A' B'
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
c 斜边
a 对边
例如，当∠A＝30°时，我们有
A
bC
sin A sin 30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sin A sin 45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的
cosA =
∠A的邻边 斜边
∠A的正切：
tanA
=
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比． 注意：一个锐角的三角比只与角的度数有关．
温馨提示：
锐角的三角比的意义
在实际生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，锐角三角比被广泛应 用于确定建筑物的位置和高度，例如 ，利用三角比可以确定建筑物的高度 和距离。
导航
在导航中，锐角三角比被广泛应用于 确定物体的位置和方向，例如，利用 三角比可以确定船只的位置和航向。
04 锐角三角比的证明
利用相似三角形的性质证明
总结词
通过相似三角形的边长比例关系，推导出锐角三角比的值。
总结词
通过三角形的面积公式，推导出锐角三角比的值。
详细描述
利用三角形的面积公式，结合相似三角形的性质，可以推导出锐角三角比的值。具体来说，可以通过比较两个相 似三角形的面积比例，得出锐角三角比的值。
05 总结与展望
总结锐角三角比的意义
锐角三角比是三角函数的基础，用于描述直角三角形中锐角与其他边长的比例关系。
理解锐角三角比的概 念和性质。
了解锐角三角比在数 学和其他领域的应用。
掌握如何利用锐角三 角比解决实际问题。
02 锐角三角比的定义
三角比的定义
三角比是描述三角形边长之间关系的数学量，通常用符号表 示。
在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边， 则三角比定义为a:b:c。
锐角三角比的特点
学习如何利用三角比解决实际 问题，如测量、工程和物理学 中的问题。
未来应用展望
随着科技的发展，锐角三角比在 各领域的应用将更加广泛，如在 卫星定位、导航系统、地球物理
学等领域的应用。
随着数学和其他学科的交叉融合， 锐角三角比与其他学科的结合将 产生更多新的研究领域和应用方
向。
随着大数据和人工智能的发展， 锐角三角比在数据处理和分析中 的应用将更加重要，如在信号处 理、图像处理等领域的应用。
初三锐角的三角比
一、 锐角三角比的意义 1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边． 2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a ===锐角的邻边锐角的对边． 3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边． 4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．锐角的三角比一：锐角的三角比ACBD二、 特殊锐角的三角比的值αtan αcot αsin αcos α30°33312 32 45° 1 1 22 2260° 3333212【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin A ，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：20(3)cot 30tan 4531ππ--︒-︒+．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．二：解直角三角形ABC D A B9米传送带AB Chl四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为______米．【例12】 （2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为______米．【例13】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°．那么大厦AB 的高度为______米．（保留根号）ABCE ABCDABCDEABCD EFAB C北【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是______海里．【例15】 （2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，3sin 5C =，AC = 6，BD 平分CBA ∠交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan DBA ∠的值．【例16】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，10C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例17】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例18】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．ABCDPABCD【例19】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长； （2）求tan BDG ∠的值．【例20】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例21】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例22】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例23】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；O CBADF EG CA BEDOPQ北当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．【例24】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例25】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯ABDCEF带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）2.92.93.8ABCDFO图1图2。
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谢谢，再见！
对
锐角A的三角函数 。
边
a
（3）把右图∠A的对边记作a, ∠B的对边记作b, ∠C的 对边记作c,你会表示∠A和∠B的正弦、余弦和正切吗？
A ∠A的邻边 b
C
sinA﹦a ,cosA﹦ b
c
c
,tanA﹦
a b
; sinB﹦b , cosB﹦ a ,tanB﹦
c
c
b a
（4）锐角的三角比这里你认为应注意Байду номын сангаас么问题？
AB′
（4）通过以上三个小问题，你有什么发现？
对于确定的锐角A来说，比值K与点B′在AB边上的位置无关，只与锐 角A的大小有关
3、知识储备，相信你是最棒的！
（1） 利用直角三角形把比值K记作∠A斜的边对边 ,当锐角A的大小确定以后，不论以 ∠A为内角的直角三角形的大小如何，这个比值也就随之确定。我们把由锐角A
确定的比 ∠A的对边
斜边
叫做∠A的正弦记作
sinA
即sinA﹦∠A 的对边
斜边
,比值
∠A 的邻边 斜边
叫做 ∠A的余弦记作 cosA 即cosA﹦ ∠A的邻边
斜边
做 ∠A的正切 , 记作
tanA
,即tanA﹦
∠A ∠A
的对边 的邻边
把锐角A的对边与邻边的的比叫
B ∠A
的
（2）锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比也叫做
2
sinA= BC = 2 = 5 ,cosA= AC = 4 = 2 5 ,
AB
25
5
AB 2 5
5
tanA= BC = 4 =2 AB 2
练习：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°AB=3，BC=2，求∠A的正弦、余
弦、正切的值
B
解：在Rt△ABC中∠C=90°，因为AB=3,BC=2
所以AC= AB2-BC2 = 32 - 22 = 5 C
2、动动脑，你能行！ (1)做一个锐角，在角A的一边上任意取两点B,B′，经过这两个点分别向 ∠A的另一边做垂线，垂足为C,C′比值 B与C B相′C′等吗？为什么？ B
AB AB′
相等。因为Rt△ABC～Rt△AB′C′所以
BA﹦CB
B′C′ AB′
B′
(2)如果设 BA′BC′′=K，那么对于确定的锐角A来说A ，比值K的大C′小与点C B′在AB上
学习目标：
1、通过实验、观察、探究、交流等 数学活动，探索锐角三角比的意义。
2、理解锐角三角比的概念，记住三 角比的符号，会进行锐角三角比的文字 语言与符号语言的转化。
3、会求直角三角形中指定的锐角的 三角比。
1、做一做，相信你是有心人
有一块长2.00米的木板，将它的一端B架高1米，另一端A放在地面上，在AB 上任意取B1，B2，B3，B4四点，测得它们到A点的距离AB1,AB2,AB3,AB4与它们距地 面的高度B1C1,B2C2,B3C3,B4C4,数据如下表所示：
的位置有关吗？ 没有. B
（3）在以A为顶点的锐角内部做一条射线，在这条线
B′
上 ∠去CA点BB″。″使过ABB″″作=ABB″C″，″⊥这A样C于又C得”到比一BA″B个C″″锐″角与K的 A
B″ C
值相等吗？为什么？
由题意可知AB′﹦AB″, B′C′≠B″C″ 所以
B″C″″
C′
B′C′
C″
≠ AB″
4、知识应用，相信你得心应手
进一步熟悉例1的解题步骤，试讲述之，然后完成 课本P65的练习题第2题
例:如图所示，在Rt△ABC中，∠C﹦90°,AC﹦4, BC﹦2,求∠A的正弦、余弦正切
的值。
B
A
C
解:在Rt △ABC中， ∠C﹦90°,因为AC﹦4, BC﹦2
所以AB﹦ AC2+BC = 42+22 =2 5
A
sinA= BC = 2 , cosA= AC = 5 ,tanA= BC
AB
3
AB
3
AC
= 2 = 25
5
5
如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°,CD⊥AB于D，
如果AC﹦3厘米，BC﹦4厘米,设∠ACD﹦α ,求tanα 、
sinα 、cosα 的值
C
α
B
D
A
作业：
必做题 ：课本习题A组 的第1、2题
B B1
B2
木板上 到A点的距 距地面的
的点
离／米 高度／米
B3 B4
B1
1.50
0.75
B2
1.20
0.60
B3
1.00
0.50
A
C
B4
C4 C3 C2 C1
利用上述数据,计算比
， , BC B1C1 B2C2
AB AB1 AB2
你有什么发现？
0.80
0.40
, , 的值， B3C3 AB3
B4C 4 AB4