第7章节层流边界层理论
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(7.2.2)
图7-3 斜向绕流无限长柱体
1-分离线； 2-自由流流线；3-表面极限流线
边界条件：
(7.2.3)
显然，方程（7.2.2）中的连续方程和 向动量方程不包含 ，相当于无后掠时外流速度为 的二维流动问题，可单独求解。 和 与展向自由流分速度 及边界片中的分速度 无关，这种性质称为“独立性原理”。由二维方法确定 和 后，再由 向动量方程求 。因此， 向动量方程是线性方程，形式上与忽略耗散项的能量方程相同，容易求解。
1904年普朗特第一次提出边界层流动的概念。他认为对于如水和空气等具有普通粘性的流体绕流物体时，粘性的影晌仅限于贴近物面的薄层中，在这一薄层以外，粘性影响可以忽略，应用经典的非拈性流体力学方程来求解这里的流动是可行的。普朗特把边界上受到粘性影响的这一薄层称之为边界层，并且根据在大雷诺数下边界层非常薄这一前提，对粘性强体运动方程作了简化，得到了后人称之为普朗特方程的边界层微分方程。过了四年，他的学生布拉修斯首先运用这一方程成功地求解了零压力梯度平板的边界层问题，得到了计算摩擦阻力的公式。从此，边界层理论正式成为流体力学的新兴分支而迅速地发展起来。
三维边界片也可用动量积分方程求解，由方程(7.2.2)可以导出 向和 向动量积分方程。 向动量积分方程的形式和解法与二维问题相同。以 乘连续方程，再减 向动量积分方程，沿 积分得 向动量积分方程。 为常数时， 向动量积分方程为
(7.2.4)
其中
仿照 向动量积分方程解法，先假设某种单参数或双参数速度分布，然后积分求解。
图7-1 沿薄平板的水流
简单的实验就可以证实普朗特的思想。例如沿薄平板的水流照片(见图7-1)和直接测量的机翼表面附近的速度分布(见图7-2)，即可以看到边界层的存在。观察图7-2示中的流动图景，整个流场可以划分为边界层、尾迹流和外部势流三个区域。
在边界层内，流速由壁面上的零值急速地增加到与自由来流速度同数量级的值。因此沿物面法线方向的速度梯度很大，即使流体的粘性系数较小表现出来的粘性力也较大。同时，由于速度梯度很大，使得通过边界层的流体具有相当的涡旋强度，流动是有旋的。
7.2 边界层的划分与方程
边界层可分成二维边界层和三维边界层来研究。其中二维边界层包括薄边界层和厚边界层。根据三维边界层流动情况，三维边界层通常分为两类；一类称为边界片，另一类称为边界区或边界条。
7.2.1边界片
典型的边界片是除去翼身结合区和翼尖区的后掠翼边界层，如图7-3的非阴影区。该区的边界层有三个速度分量 和 ，展向和流向的长度尺度都为翼的特征长度，而法向长度尺度为边界层厚度，因而展向和流向各流动物理量的梯度同量级。对于等截面无限长后掠翼，各物理量的展向梯度为零，而展向速度分量 ，因而展向动量方程可仿照流向动量方程那样简化。在直角坐标系中，定常边界片的微分方程为
(2)正确计算外边界流动条件。为提高精确性，应考虑粘性流动与无粘流动间的相互作用和分离影响。
(3)正确确定计算域起始条件。
斜向绕流无限长柱体上的流动是边界片的另一典型例子。如图7-4所示，这种流动相当于绕无限长等截面的后掠翼流动，边界层内存在三个速度分量，但各速度分量都不随展向坐标 变化。自由流速度分为两个分量 和 。如果物面曲率不大，边界层厚度是物面曲率半径的高阶小量时，边界层曲面坐标系的各拉梅系数都为1，则边界片方程为
当边界层内的粘性有旋流离开物体流入下游时，在物体后面形成尾迹流。在尾迹流中，初始阶段还带有一定强度的涡旋，速度梯度也还相当显著，但是由于没有了固体壁面的阻滞作用，不能再产生新的涡旋，随着远离物体，原有的涡旋将逐渐扩散和衰减，速度分布渐趋均匀，直至在远下游处尾迹完全消失。
在边界层和尾迹以外的区域，流动的速度梯度很小，即使粘性系数较大的流体粘性力的影响也很小，可以把它忽略，流动可以看成是非粘性的和无旋的。
第7章 层流边界层理论
7.1 大雷诺数下物体绕流的特性
我们知道，流动雷诺数是度量惯性力和粘性内摩擦切力的相互关系的准则数，大雷诺数下的运动就意味着惯性力的作用远大于粘性力。所以早年发展起来的非粘性流体力学理论对解决很多实际问题获得了成功。但是后来的实验和理论分析均发现，无论雷诺数如何大，壁面附近的流动与非粘性流体的流动都有本质上的差别，而且从数学的观点来看，忽略粘性项的非粘性流体远动方程的解并不能满足粘性流体在壁面上无滑移的边界条件，所以不能应用非粘性流体力学理论来解决贴近物面的区域中流体的运动问题。
图7-2 翼型绕流的流动图景
I—边界层 II—尾迹流 III—外部势流
由此可见，当粘性流体绕流物体时，在边界层和尾迹区域内的流动是粘性流体的有旋流动，在边界层和尾迹以外的流动可视为非粘性流体的无旋流动。因此问题归结为分别讨论这两种运动，然后把所得的解拼合起来，就可以获得整个流场的解。边界层和外部势流之间并没有明显的分界线(或面〕。所谓边界层外边界或者说边界层的厚度，即是按一定条件人为规定的。边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的数值。雷诺数越大，边界层越薄；反之，随着粘性作用的增长边界层就变厚。沿着流动方向自物体前缘点开始边界层将逐渐增厚。边界层流动与管流一样，也可能是层流或湍流。全部边界层都是层流的，称为层流边界层。当雷诺数大于临界值时，例如对于平板边界层Re≥3x10 —3xl0 时，边界层流动将部分转变为湍流，称为混合边界层或湍流边界层。
(7.2.1)
如果物面曲率较大，离心力引起法向压力变化较大上时，必须考虑法向压力梯度。外边界的压力梯度仍由无粘流理论确定，也可通过试验测定。
为了正确而有效地求解三维边界片方程，必须正确确定以下几个问题：
(1)根据具体流动情况选择合适的坐标系，使方程尽量简化，便于求解。有时为了便于数值计算而选用非正交曲线坐标系。
7.2.2边界区（边界条）
机翼与机身的结合处、翼梢、细长旋成体的尾迹、管流和涡轮机翼片与轮毂的结合处的边界层都是较窄长的三维流动，有三个分速度。与边界片不同百度文库是 向和 向的流动长度尺度都为 ，比流向 的长度尺度小得多。根据量级分析，边界区的微分方程只能忽略粘性切应力对 的导数，对 和 的导数必须保留，故定常不可压缩边界区的微分方程为
图7-3 斜向绕流无限长柱体
1-分离线； 2-自由流流线；3-表面极限流线
边界条件：
(7.2.3)
显然，方程（7.2.2）中的连续方程和 向动量方程不包含 ，相当于无后掠时外流速度为 的二维流动问题，可单独求解。 和 与展向自由流分速度 及边界片中的分速度 无关，这种性质称为“独立性原理”。由二维方法确定 和 后，再由 向动量方程求 。因此， 向动量方程是线性方程，形式上与忽略耗散项的能量方程相同，容易求解。
1904年普朗特第一次提出边界层流动的概念。他认为对于如水和空气等具有普通粘性的流体绕流物体时，粘性的影晌仅限于贴近物面的薄层中，在这一薄层以外，粘性影响可以忽略，应用经典的非拈性流体力学方程来求解这里的流动是可行的。普朗特把边界上受到粘性影响的这一薄层称之为边界层，并且根据在大雷诺数下边界层非常薄这一前提，对粘性强体运动方程作了简化，得到了后人称之为普朗特方程的边界层微分方程。过了四年，他的学生布拉修斯首先运用这一方程成功地求解了零压力梯度平板的边界层问题，得到了计算摩擦阻力的公式。从此，边界层理论正式成为流体力学的新兴分支而迅速地发展起来。
三维边界片也可用动量积分方程求解，由方程(7.2.2)可以导出 向和 向动量积分方程。 向动量积分方程的形式和解法与二维问题相同。以 乘连续方程，再减 向动量积分方程，沿 积分得 向动量积分方程。 为常数时， 向动量积分方程为
(7.2.4)
其中
仿照 向动量积分方程解法，先假设某种单参数或双参数速度分布，然后积分求解。
图7-1 沿薄平板的水流
简单的实验就可以证实普朗特的思想。例如沿薄平板的水流照片(见图7-1)和直接测量的机翼表面附近的速度分布(见图7-2)，即可以看到边界层的存在。观察图7-2示中的流动图景，整个流场可以划分为边界层、尾迹流和外部势流三个区域。
在边界层内，流速由壁面上的零值急速地增加到与自由来流速度同数量级的值。因此沿物面法线方向的速度梯度很大，即使流体的粘性系数较小表现出来的粘性力也较大。同时，由于速度梯度很大，使得通过边界层的流体具有相当的涡旋强度，流动是有旋的。
7.2 边界层的划分与方程
边界层可分成二维边界层和三维边界层来研究。其中二维边界层包括薄边界层和厚边界层。根据三维边界层流动情况，三维边界层通常分为两类；一类称为边界片，另一类称为边界区或边界条。
7.2.1边界片
典型的边界片是除去翼身结合区和翼尖区的后掠翼边界层，如图7-3的非阴影区。该区的边界层有三个速度分量 和 ，展向和流向的长度尺度都为翼的特征长度，而法向长度尺度为边界层厚度，因而展向和流向各流动物理量的梯度同量级。对于等截面无限长后掠翼，各物理量的展向梯度为零，而展向速度分量 ，因而展向动量方程可仿照流向动量方程那样简化。在直角坐标系中，定常边界片的微分方程为
(2)正确计算外边界流动条件。为提高精确性，应考虑粘性流动与无粘流动间的相互作用和分离影响。
(3)正确确定计算域起始条件。
斜向绕流无限长柱体上的流动是边界片的另一典型例子。如图7-4所示，这种流动相当于绕无限长等截面的后掠翼流动，边界层内存在三个速度分量，但各速度分量都不随展向坐标 变化。自由流速度分为两个分量 和 。如果物面曲率不大，边界层厚度是物面曲率半径的高阶小量时，边界层曲面坐标系的各拉梅系数都为1，则边界片方程为
当边界层内的粘性有旋流离开物体流入下游时，在物体后面形成尾迹流。在尾迹流中，初始阶段还带有一定强度的涡旋，速度梯度也还相当显著，但是由于没有了固体壁面的阻滞作用，不能再产生新的涡旋，随着远离物体，原有的涡旋将逐渐扩散和衰减，速度分布渐趋均匀，直至在远下游处尾迹完全消失。
在边界层和尾迹以外的区域，流动的速度梯度很小，即使粘性系数较大的流体粘性力的影响也很小，可以把它忽略，流动可以看成是非粘性的和无旋的。
第7章 层流边界层理论
7.1 大雷诺数下物体绕流的特性
我们知道，流动雷诺数是度量惯性力和粘性内摩擦切力的相互关系的准则数，大雷诺数下的运动就意味着惯性力的作用远大于粘性力。所以早年发展起来的非粘性流体力学理论对解决很多实际问题获得了成功。但是后来的实验和理论分析均发现，无论雷诺数如何大，壁面附近的流动与非粘性流体的流动都有本质上的差别，而且从数学的观点来看，忽略粘性项的非粘性流体远动方程的解并不能满足粘性流体在壁面上无滑移的边界条件，所以不能应用非粘性流体力学理论来解决贴近物面的区域中流体的运动问题。
图7-2 翼型绕流的流动图景
I—边界层 II—尾迹流 III—外部势流
由此可见，当粘性流体绕流物体时，在边界层和尾迹区域内的流动是粘性流体的有旋流动，在边界层和尾迹以外的流动可视为非粘性流体的无旋流动。因此问题归结为分别讨论这两种运动，然后把所得的解拼合起来，就可以获得整个流场的解。边界层和外部势流之间并没有明显的分界线(或面〕。所谓边界层外边界或者说边界层的厚度，即是按一定条件人为规定的。边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的数值。雷诺数越大，边界层越薄；反之，随着粘性作用的增长边界层就变厚。沿着流动方向自物体前缘点开始边界层将逐渐增厚。边界层流动与管流一样，也可能是层流或湍流。全部边界层都是层流的，称为层流边界层。当雷诺数大于临界值时，例如对于平板边界层Re≥3x10 —3xl0 时，边界层流动将部分转变为湍流，称为混合边界层或湍流边界层。
(7.2.1)
如果物面曲率较大，离心力引起法向压力变化较大上时，必须考虑法向压力梯度。外边界的压力梯度仍由无粘流理论确定，也可通过试验测定。
为了正确而有效地求解三维边界片方程，必须正确确定以下几个问题：
(1)根据具体流动情况选择合适的坐标系，使方程尽量简化，便于求解。有时为了便于数值计算而选用非正交曲线坐标系。
7.2.2边界区（边界条）
机翼与机身的结合处、翼梢、细长旋成体的尾迹、管流和涡轮机翼片与轮毂的结合处的边界层都是较窄长的三维流动，有三个分速度。与边界片不同百度文库是 向和 向的流动长度尺度都为 ，比流向 的长度尺度小得多。根据量级分析，边界区的微分方程只能忽略粘性切应力对 的导数，对 和 的导数必须保留，故定常不可压缩边界区的微分方程为