圆方程的求法

圆方程的求法

（1）转移法——化未知为已知

若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：

⎩⎨⎧βα=βα=)

,(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩

⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.

【例5】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.

【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ).

∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为3

1. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19

164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16

9)43

(22>=+-y y x . 【法二】 设∠AOP =α，α∈(0，π)，则P (cos α，sin α)，∠AOQ =

2α，则OQ 直线方程为y =x ·tan 2

α=kx ①

k P A ＝,3

cos sin -αα∴直线P A 方程为y =)3cos(sin -α(x －3) ② 由Q 满足①②且k =tan 2α.由②得y =12)3()3(3111222

22+--=-•-+-+k x k x k k k k

.消去k 有y =,12)3(2

2+--x y x x

y ∴x 2+y 2－023=x ，由图知y >0. 故所求Q 点轨迹方程为x 2＋y 2－2

3x =0(y >0). 【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.

（2）待定系数法——把方程（组）带进几何

当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程. 其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.

【例6】求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4=0和x 2＋y 2＋6y －28=0的交点，并且圆心在直线x

－y －4=0上的圆的方程.

【法一】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++028********y y x x y x 得⎩

⎨⎧=-=31y x 或⎩⎨⎧-=-=26y x ∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2).

设所求圆方程为：x 2＋y 2＋dx ＋ey ＋f =0

⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=+---+-=++-+-32710422026)2()6(033)1(2222f e d e d f e d f e d ∴所求圆方程为：x 2＋y 2－x ＋7y

－32=0 .

【法二】 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++028********y y x x y x 得⎩⎨⎧=-=3

1y x 或⎩⎨⎧-=-=26y x ∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：(x －a )2＋(y －b )2=r 2

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--+--=-+--⇒4178272104)2()6()3()1(2222222r b a b a r b a r b a ∴所求圆方程为：x 2＋y 2－x ＋7y －32=0.

【法三】设所求圆方程为： x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2+6y －28)=0 即：01284161622=λ

+λ+-λ+λ+λ+++y x y x ∴圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛λ+λ-λ+-

13,13 又∵圆心在直线x －y －4=0上 ∴041313=-λ+λ+λ+- ∴λ=－7

∴所求圆方程为：x 2＋y 2－x ＋7y －32=0

（3）几何法——与向量或三角沟通

直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是

半径2=弦心距2+半弦长2.

【例7】 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |=2|OA |，

且点B 的纵坐标大于零.

（1）求向量AB 的坐标； （2）求圆0262

2=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方

程； 【解析】 （1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,

034100,0||||||2||),,(22v u v u OA AB OA AB 、

v u AB 即则由得

},3,4{.8

6,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或

所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.

（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.2

1x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y (y +1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设

圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则

,31,23

1021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （4）参数法——与函数或不等式接轨

当动点P （x,y ）直接找不出坐标x ,y 之间的关系时，可设动点P （x ,y ）满足关于参数t 的方程 ⎩

⎨⎧==)()(t y y t x x （t 是参数） ③ 则由方程组③消去参数t ，即求得动点P (x,y )的普通方程：f (x,y )=0.

【例8】点P （x ，y ）在圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0上运动，点A （2，2），B （2，-2）是平面上两点，求BP AP •的最值.

【解析】∵ (),2,2),2,2(+-=--=y x BP y x AP ∴BP AP •=()()()()()x y x y y x y x y x 42222,22,2222

++=+-+-=+-•-- 设x 2+y 2+4x=k ，即（x +2）2+y 2=4+k ，视为以K （-2，0）为圆心，k +4为半径.

(问题转化为求半径的取值范围)

∵x 、y 在圆()()1112

2=-+-y x 上运动，而点K （-2，0）在圆C 外， 又两圆心距为10)1()21(2

2=-+-- 当圆K 与圆C 内切时k +4取最大值，最大值为10+1，此时k =（10+1）

2-4=7+210. 当圆K 与圆C 外切时k +4取最小值，此时有k +4+1=10，.1027-=k

即x 2+y 2+4x 的最大值为7+210，最小值为.1027-