轴压下圆柱形薄壁构件的稳定性研究

第 23 卷 第 6 期 2005 年 12 月
石河子大学学报 (自然科学版) Journal of Shihezi University (Natural Science)
Vol . 23 No. 6 Dec. 2005
文章编号 :100727383 (2005) 0620739204
轴压下圆柱形薄壁构件的稳定性研究
王路珍 , 陈荣华 , 付宝杰
(中国矿业大学工程力学系 ,江苏徐州 221008)
摘要 : 本文分析了轴压下圆柱形薄壁构件的稳定性 ,并针对工程应用需要 ,综合数值模拟技术得到了不同模型的屈 曲载荷值 ,分析出圆柱形薄壁构件的屈曲载荷随圆柱壳长度 、截面半径及壳厚变化的特点 ,修正了原有理论公式 。 关键词 : 圆柱形薄壁构件 ; 屈曲载荷 ; 稳定性 ; 数值模拟 中图分类号 : U311. 2 文献标识码 : A
许多结构要求其自重尽可能地小 ,同时又希望 其承载能力尽可能地大 。这类轻型结构不可避免地 要采用细杆 、薄板和薄壳这一类构件 ,而影响这一类 构件承载能力的关键往往是构件的稳定性[1] 。计算 机技术的不断进步与成熟也推动了稳定性问题研究 的新发展 ,尤其是通用有限元程序 ANSYS 对稳定性 分析的研究做了重要贡献 。但由于稳定性分析的理 论值与实验值一直都有很大的误差 ,导致 ANSYS 定 义单元类型时也存在许多的奇异性 。所以在稳定性 的研究过程中也有必要综合考虑由于计算机软件所 带来的影响 ,即对稳定性分析研究的目光也将转移 到计算机软件的应用上 ,通过有效的软件分析建立 实际工程有用的计算公式 。
1 圆柱形薄壁构件稳定性的力学分析
考虑一圆柱形壳沿轴向均匀受压[2] ,当载荷到
达某一值时可能发生对柱轴线对称的屈曲 。作用在
壳边每单位长度内的压力的临界载荷值 Pcr可由能 量法得到 。只要壳保持为圆筒状 ,总的应变能为轴
向压缩能 。但当屈曲开始时 ,除轴向压缩外还必须
考虑中面在周向的应变及壳的弯曲 。因此 ,壳的应
变能增大了 ;当载荷达到临界值时 ,应变能的增加必
等于圆筒由于屈曲而缩短时载荷所做的功 。
设屈曲时径向位移的表达式为
w=
-
A sin
mπx
l
,
(1)
式 (1) 中 : l 为圆柱的长度 , m 为轴向半波数 。屈曲
以后轴向与周向的应变 ε1 和 ε2 可由以下条件得
到 ,即在屈曲时轴向压力保持不变 。 易知屈曲前的轴向应变为 :
ε0 = -
Pcr Eh
,
(2)
式 (2) 中 : h 为壳的厚度 。
于是得到
ε1 + με2 = (1 - μ2)ε0 ,
(3)
ε2 =
- με0 -
w a
=
-
με0
+
A a
sin
mπx
l
,
(4)
ε1 =ε0 -
μ
A a
sin
mπx
l
。
(5)
在轴平面内曲率的改变为
χx =
92ω 9x2
=
A
m2π2
l2
sin
mπx
l
,
(6)
由轴对称屈曲变形的对称性可知
γ= χx = χxx = 0 。
(7)
将表达式 (4) 、(5) 、(6) 、(7) 代入应变能方程[3] , 得到
在屈曲时应变能增加的表达式 :ΔU = - 2πhEμε0
∫0l A sin
mπx
l
d
x
+
πA2 Ehl 2a
+
A2
π4 2
lm4 4πalD
。压缩时 ,
压缩力所做的功表现为轴向应变的改变ε1 - ε0 与
径向 位 移 引 起 的 母 线 的 弯 曲 之 和 , 即 ΔT = 2πPcr
μ∫0l A sin
mπx
l
d
x
+
a 4
A2
m2π2
l
, 又知ΔU =ΔT ,
则:
σcr =
Pcr = h
D
m2π2
hl2
+
E a2 D
l2
m2π2
,
(8)
应用公式
:
m2π2
hl2
+
El2
a2 Dm2π2
Ε2
最小值为
a2
E hD
,
所以
σcr 的
收稿日期 : 2005210231
作者简介 : 王路珍 (19822) ,女 ,硕士生 ,从事固体力学研究 。e2mail :wlz888888 @126. com。
7 40 石河子大学学报 (自然科学版) 第 23 卷
σcr =
2 ah
EDh = a
Eh
,
3 (1 - μ2)
(9)
再考 虑
D
=
Eh3
12 (1 - μ2)
代 入 式 ( 8 ) , 得 到 σcr
=
Eh2π2 m2 12 (1 - μ2) l2
+
El2
a2π2
。对于粗而短的圆柱壳 , 必须
假设 m = 1 ,代入上式 ,得
σcr
=
Eh2π2 m2 12 (1 - μ2) l2
+
El2
a2π2
,
(10)
圆柱壳在均匀轴向压力下的非轴对称屈曲与轴
对称屈曲的临界载荷表达式相同[2] 。
以上分析得到的 (9) 、(10) 二式分别适用于中等 长度圆柱壳和粗短圆柱壳 , 对于很长的圆柱壳其失 稳根本不涉及表面变形 ,它的失稳如同压杆一样[4] , 此时临界载荷可按压杆的欧拉公式计算 ,即
σcr
=
π2 2
Ea2 l2
。
(11)
综上所述 ,考虑长度时 ,轴向受压圆柱壳失稳临
界应力为
Eh2π2 12 (1 - μ2)
l2
+
El2
a2π2 ,
l2 ah
Φ 2
π2
;
3 (1 - μ2)
σcr =
a
Eh 3(1 -
μ2)
,
l2 ah
> 2
π2 3 (1 - μ2) ;
Eπ2 a2 2 l2
,
l2 ah
µ1。
(12)
由于所研究的圆柱形壳体很薄 , 故截面积 S = π( R2 - r2) 可化间为 S = 2πah , 则轴向受压圆柱壳 的失稳临界载荷为 : Pcr = σcrS , 将式 (12) 代入上式 , 得到
Eah3π3 6 (1 - μ2)
l2
+
2
Ehl2
aπ
,
l2 ah
Φ 2
π2
;
3 (1 - μ2)
Pcr =
2 Eh2π 3 (1 - μ2)
,
l2 ah
> 2
π2 3(1 -
μ2)
;
(13)
Eπ3 a3
l2
h
,
l2 ah
µ
1。
注意 ,在此公式的推导过程中 ,假设失稳形式仅
仅是线性变化 ,并且在小挠度范围内 ,没有考虑非线 性大挠度屈曲问题[5 ] 。
2 数值模拟计算
2. 1 数值模拟的实例模型
考虑一长 l ,截面半径 a ,壁厚 h 的圆柱形薄 壳受均匀轴向压力 ,这是一个 32D 轴对称结构模型 ,
可以将它转换成 22D 轴对称模型来描述 (图 1) 。图 1b 中 ,轴对称模型承受的载荷是 32D 结构 (图 1a) 均 布面力载荷的总量 ,即 F = 1 ×2πa 。
图 1 壳单元建模模型
采用 shell 51 二维轴对称单元 ,把此三维问题简
化为平面问题 ,定义模型为等厚度 h 的壳体 ; 所研
究材料为钢性材料 ,其弹性模量 E = 200GPa ,泊松
比μ = 0. 26 。计算模型长分别取 2m、5m、10m ,截面
半径 a 分别取 0. 025m、0. 05m、0. 10m、0. 25m、0. 5m ,
壁厚 h 分别取 0. 5mm、1mm、2mm、5mm、10mm。建
模 、划分单元 、施加载荷 ,对模型静力 、屈曲特征值及
特征向量进行分析 ,取第一阶屈曲载荷值 。
2. 2 数值模拟的结果与分析
计算结果列表如下 :
表 1 a = 0. 025m 圆柱壳的屈曲载荷
N
a/ h
l/ a
50
25
12. 5
5
2. 5
80 1876250 4079060 10676700 61716200 258384000
200 11391900 22836800 46095800 122558400 295442000
400 45534700 91082700 182271000 457519000 927984000
表 2 a = 0. 05m 圆柱壳的屈曲载荷
N
a/ h
l/ a
100
50
25
10
5
40 509890 1334820 4847870 32626900 128324000
100 2854590 5762000 11944900 37051400 120602000
200 11385300 22783900 45673500 116029000 245117000
表 3 a = 0. 10m 圆柱壳的屈曲载荷
N
a/ h
l/ a
200
100
50
20
10
20 166855 606035 2587590 16085900 61606900
50 720251 1493130 3401130 15102400 63502000
100 2847990 5709190 11561109 30647400 74102800
第 6 期 王路珍 ,等 : 轴压下圆柱形薄壁构件的稳定性研究 7 41
表 4 a = 0. 25m 圆柱壳的屈曲载荷
N
a/ h
l/ a
500
250
125
50
25
8
61864 261190 1029690 6107580 24064200
20 122592 296476 966667 6468980 26009600
40 457528 928251 1961460 6674110 24239300
表 5 a = 0. 5m 圆柱壳的屈曲载荷
N
a/ h
l/ a
1000 500
250
100
50
4
32649 128712 493291 3008480 11982000
10 37059 120834 508336 3252570 12485800
20 116031 245183 592952 3030170 12938000
分析总结以上计算结果 :
当圆柱壳截面性质 a/ h 较大时 , 第 3 行值远大
于第 1 、2 行值 ,随着圆柱壳的长与半径之比 ( l/ a) 的
不断增大 ,屈曲载荷值也随之增大 ,当增大到一定值 时 ,载荷值仅与壳体长度有关 ,推断其失稳形式接近 细长压杆的失稳形式 ,属于无限长壳体 ;当圆柱壳的 长与半径之比 ( l/ a) 不太大时 ,第 1 行值与第 2 行值 很接近 , 即当圆柱壳截面性质 a/ h 一定时 , 屈曲载 荷值就一定 , 并且随着 a/ h 的不断减小 , 屈曲载荷 值不断增大 ,载荷值与壳体长度无关 ,推断此时壳体
属于中等长度壳 。
2. 3 理论公式修正
理论公式 (13) 的应用 , 要求圆柱壳的长度 l 和 截面性质 a 、h 满足一定的比例关系 , 经过长期的工
程应用 ,发现其计算结果并不能很好的与实际要求 吻合 。故有必要结合数值模拟结果对此公式修正 。
Eah3π3 6 (1 - μ2) l2
+
2
Ehl2
aπ
,
l2 a2
·a
h
Φ2. 9 ;
Pcr =
2 Eh2π 3 (1 - μ2)
,
l2 a2
·a
h
> 2. 9;
Eπ3 a3
l2
h
,
l2 a2
·a
h
µ1。
易知 ,圆柱壳在均匀轴压下的屈曲与长度有关 ,
即当 l/ a 非常大 ,且壁厚 h 不很薄 ,即 a/ h 足够小 ,
壳体的屈曲均为类似细长压杆的屈曲 , 并且在工程
中适合应用欧拉公式 ; 当壁厚 h 较薄时 , 则要求 a/
h 满足一定的比例关系;随着壁厚 h 不断增大 , 达
到某一值 , 此时当 l/ a 足够小时 , 屈曲载荷与长度
无关 ,却与壁厚 h 有关 ,其值与壁厚 h 成正比 。
经过具体模型计算 ,公式修正如下 :
2 Eh2π 3 (1 - μ2)
,
l a
Φ100 ,
a h
Ε 20 ;
Pcr =
Eπ3 a3
l2
h
,
l a
> 100 ,2 <
a h
< 20 ;
π2 EI
( vl) 2
,
l a
>
100
,
a h
Φ2 。
上式中 ,为长度系数 ,为截面惯性矩 。
3 结论
本文所讨论稳定性问题仅从结构的线性小挠度 屈曲入手 ,没有考虑非线性大挠度屈曲的影响 ,而在 实际工程中结构的失稳往往是两者同时伴有 ,并以 其中一种较为明显 ,故当把理想的理论推导公式应 用于实践中时总会出现误差 ,有时误差还较大 。但 当综合考虑各种限定条件 (参数 l 、a 、h ) 时 ,则可以 认为在误差范围内理论公式正确 ,并有实际应用性 。
参考文献 :
[1 ] 费志中. 弹性稳定[M] . 北京 :煤炭工业出版社 ,1989. [2] 吴连元. 板壳理论 [M]. 上海 :上海交通大学出版社 ,
1989. [3 ] S 铁摩辛柯. 弹性稳定理论[M] . 张福志. 北京 :科学出版
社 ,1958. [4 ] 潘 伶. 多排均载推力轴承中薄壁圆筒稳定性计算 [J ] .