浙江省高中数学竞赛含答案

k
k1, k2
k=3 5
18. 给定数列{xn} ，证明 : 存在唯一分解 x=n yn − zn ，其中数列{ yn} 非负，{zn} 单调不减，
并且 yn (zn − zn−1) = 0 ， z0 = 0 .
证明：我们只需证明对任意的正整数 n ， 满足
x=n yn − zn

yn (zn − zn−1) = 0 yn ≥ 0
yk+1(zk+1 − zk ) = 0 yk+1 ≥ 0
(zk+1 − zk ) ≥ 0,z0 = 0
这样有

zk +1
−
yk+1 = 0 zk =−(xk+1
+
zk
)
或

y= k +1 zk +1
xk +1 + zk − zk = 0
。
进一步，
……………………（12 分）
若 xk+1 + zk ≥ 0
− 400
= 0
25 16
A(x1, y1), B(x2 , y2 ) = x1 + x2
161+5= 02k52k 2 , x1x2
225k 2 − 400 16 + 25k 2 .
=k1
y= x11−−1356 , k2
y2
−
16 5
,
x2 − 3
k1
+
k2
( y1 =
−
16 5
)(
x2
−
3)
+
(
y2
−
16 5
)(
x1
(x1 − 3)(x2 − 3)
− 3)
y1 =k(x1 − 3), y2 =k(x2 − 3)
= k1 + k2 5(16= + 12553k62 )−(x215−630)k(x2 − 3) 0,
k=3 5
k =0
k1 =
2 5
, k2
=
−8, 5
k1
+
k2
=−
6 5
≠
0
，则

y= k +1 zk +1
xk +1 + zk − zk = 0
，即

y= k +1 zk
xk +1 + +1 = zk
zk
；
…………（15 分）
若 xk+1 + zk < 0
，则


zk
+1
−
yk+1 = 0 zk =−(xk
+1
+
zk
)
，即

yk zk +1
+1
=
=0 − xk +1
。
故则当 n = k +1 时，命题成立。 ……………………………………………………（18 分）
3 由数学归纳法可知，对于任意的自然数 n 命题均成立。
综上，原问题得证。
四、附加题（本大题共有 2 小题，每题 25 分，共 50 分）
∑ 19. 设集合 A= {x ∈ N* x 的十进制表示中数码不含 2,0,1,6} . 证明： 1 < 3 .
x∈A x
∑ （注： 1 表示集合 A 中的所有元素的倒数之和）
x∈A x
k
6k
6k −1
k
∑k
1 xn
<
6k −1 3 ×10k −1
+
6k −1 4 ×10k−1
+
6k −1 5 ×10k −1
+
7
6k −1 ×10k −1
+
8
6k −1 ×10k
−1
+
9
6k −1 ×10k −1
=
6k −1 1 k −01
，则

y1 z1
= =
x1 0
；若
x1
<
0
，则

y1 z1 =
=0 − x1
.这样，当
n
=
1
时命题成立。
（9 分）
2 假设当=n k(k ≥ 1) 时， 命题成立，则当 n = k +1 时，(*)等价于
yk+1 − (zk+1 − zk ) = xk+1 + zk

(1 3
+
1 4
+
1 5
+
1 7
+
1 8
+
1 9
)
∑ ∑ 1 < ∞ ( 6 )k−1(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) < 3.
x∈A x k= 1 1 0 3 4 5 7 8 9
20．设正整数 n ≥ 2 ，对 2 × n 格点链中的 2n 个结点用红（R）、黄（Y）、蓝（ B）三种颜色
12. x = − 2 , y = 4 , z = 5 . 13. 30 + 3 10
9 99
2
14. [1, 2] 15.
三、解答题（本大题共有 3 小题，16 题 15 分，17、18 每题 18 分，共 51 分）
16.设函数 f (x) =x2 − (k 2 − 5ak + 3)x + 7（ a, k ∈ R ）.已知对于任意的 k ∈[0, 2] ，若 x1, x2 满足 x1 ∈[k, k + a], x2 ∈[k + 2a, k + 4a] ，则 f (x1) ≥ f (x2 ) ， 求正实数 a 的最大值.
2k + +1
3
9
又 k 2 − 2k + 3 = (k +1) + 6 − 4 ≥ 2 (k +1) × 6 − 4 = 2 6 − 4 ，……………（12 分）
k +1
k +1
k +1
当且仅当=k
6
−
1时取等号，故
min
0≤k ≤2

k
2
−wenku.baidu.comk
2+k1+= 3
2
6 − 4 .……………………（15 分）
染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示. 若对剩余的 2n-3 个结点，要求每个 结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．
解答：对 2 × n 格点链中的 2n 个结点用红（R）、黄（Y）、蓝（B）三种颜色染色，其中左端
点染红色与黄色，设右端点染色为 P,Q，如图所示。
R
P
Y
Q
记 P= R（或 Y）, Q=B 时的着色数目为 an ；
………………………………（20 分）
这样， an = 2bn−1 + cn−1 = an−1 + bn−1 + cn−1 = 3n−2
即为问题所求的不同的染色方法数。
………………………………（25 分）
zn − zn−1 ≥ 0,z0 = 0
的 ( yn , zn ) 存在且唯一。下面用数学归纳法证明之。
………(*)………………（6 分）
1
当n =1
时， y1(z1 − z0 ) = y1z1=0
，这样有

y1 z1 =
=0 − x1
或

y1 z1
= =
x1 0
。
若 x1 ≥ 0
记 P=B, Q=R（或 Y）时的着色数目为 bn ；
记 P=R,Q=Y 或者 P=Y,Q=R 时的着色数目为 Cn 。
我们注意到： （1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有 3 种不同的着色方法，则
an +bn + cn = 3n−1
………………………………（5 分）
（2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色 R 和 Y 互换，可知
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案
一、选择题（每题 6 分，共 48 分）
1.
2.
3.
4.
5. D. 6.
7. B. 8.
二、填空题（每题 7 分，12 题 9 分，共 51 分）
9. 36 − 20 3 .
10. b2015 + b2016 = −22017.
11. a = 2.
（Ⅱ）若 k1 + k2 = 0 ，求实数 k .
9 a2
+
29= 5b62
1, a2a−2= b2
9 25
= a2 2= 5, b2 16
x2 + y2 = 1 25 16
0<k <∞
l
=y k(x − 3)
=y k(x − 3),

x2

+
y2
= 1,
(16 +
25k 2 )x2
−150k 2 x + 225k 2
所以，正实数 a 的最大值为 2
6−4
.
5
17.
已知椭圆 C ： x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a > b > 0
），经过 点 P(3,16) ，离心率为 3
5
5
. 过椭圆 C 的
右焦点作斜率为 k 的直线 l ，交椭圆于 A, B 两点，记 PA, PB 的斜率为 k1, k2 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
f (x) =x2 − (k 2 − 5ak + 3)x + 7
x = k 2 − 5ak + 3 ,
3
2
k ∈[0, 2]
k 2 − 5ak + 3 ≥ k + 5 a. ……………………①
6
2
2
k ∈[0, 2]
5a ≤ k 2 − 2k + 3 k +1
5a
≤
min
0≤k ≤2

k
2
− k
an = bn
………………………………（10 分）
（3）考虑相互的递推特征，则
B R或Y
Y(R R(Y
R(Y
B
R(Y
B
= an 2bn−1 + cn−1 ………………………………（15 分）
所以，
an
+bn + cn = 3n−1 an = bn
，
n
∈
N*
= an 2bn−1 + cn−1