第4章静力学应用专题摩擦

t an max
FR FS FN
2 FR FS2 FN FS tan FN
摩擦角的正切值等于静摩擦因数
tanmax f s
FS max f s FN
FS max FN
max 称为摩擦角
F
F

max

F
m
m
摩擦锥
F R
（2）自锁 自锁条件
1 F1 ) 18 kN 2
若 F 12 kN，既可拉动滚子。 以上例子说明：对平衡问题平衡方程不会失效，而摩 擦定律可能会失效。
例7： 坑道施工中的联结结构装置如图。它包括顶梁I，楔块II ，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推 力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs。试求楔块 不致滑出所需顶角的大小。 解： 〔楔块〕
摩擦分为： 1.滑动摩擦现象 P F FS FN
滑动摩擦（干摩檫，湿摩擦）； 滚动摩阻
W
P
运动趋势
F
A
P
FS FN
F: 静滑动摩擦力，方向与运动趋势相反。 2.滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力， 动滑动摩擦力与摩擦因数 滑动摩擦力分为三个阶段：
(1) 大小:Fs=F, 范围:0 FS F Smax
Ⅰ
F
F
x
0 : F1 F2 cos FN 2 sin 0
0:
（1） （2）
θ
Ⅱ
y
FN1 F2 sin FN 2 cos 0
Ⅲ Ⅳ
补充方程： F2 Fm2 fs FN2
代入（1）得
F1 Fm1 f s FN1
y
fs ( FN1 FN 2 cos ) FN 2 sin 0
FS B fs FNB
FSA FNA
h
O A
FNA FNB 2F
x 2h 40 cm
讨论：x与F无关。
x
F
C
FSB
B
x
FNB
[几何法]
x
支架受力分析如图所示。
F
A
h
由几何关系得
h h1 h2
d d ( x ) tan m ( x ) tan m 2 2
几何法
最小值
P
Fmin P FR
m
Fmin P tan( m )
m
m
Fmin
最大值
P
Fmax
FR FR
m
P
FR
m

Fmax
Fmax P tan( m )
例2：人重为P，不计重量的梯子放在粗糙的地面、墙面上，
梯长L，试求平衡时xmin。 解： Fiy=0, FAN+FBm–P=0, MiB=0, FAm Lsin+Px min–FANLcos=0, FAm=fA FAN，
a G F h FNA F 0 2
Ga 2h
FB FA
B
x
柜不绕 B 翻倒条件： FNA≥0
F
≤
FNA
Ga F翻 Fmin2 2h
FNB
使柜翻倒的最小推力为：
F Fmin1 Gfs
6、滚动摩阻
P
F
I FN
P
M
I
FR 0
I M F FN f s
[前轮]
M
O
(F ) 0 :
M1f , max F1r 0
y
同样由后轮得 临界时的方程 解方程可得
M 2f , max F2r 0
M1f , max FN1 M 2f , max FN2
Fy
Fx
x
F P sin cos 10.6 kN r
F 0 F 0
ix iy
Fmin cos FSm P sin 0 FN Fmin sin P cos 0
Fsm f s FN
Fmin
2、求最大值 Fsm
sin f s cos P P tan( ) m cos f s sin
FN 1 sin f s cos FN 2 fs
FN2
得
代入（2）得
O
θ FN
1
F2 F1
x
FN1 f s FN 2 sin FN 2 cos 0
得：
FN1 f s sin cos FN 2
Ⅰ
sin f s cos f s sin cos （3） fs f s tanm 代入（3）式 sin tan m cos tan m tan m sin cos
fs =0.25。试问x至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。
解: [支架]
x
Fx 0,
F
FNA FNB 0
FS A FS B F 0 d hFNA ( FS A FS B ) xF 0 2
h
A
Fy 0,
B y
d
补充方程： FS A f s FNA ,
O
F1
M1f ,max
FN1
思考题1： 匀质圆柱体底部支撑在楔角为的小车上，右侧靠在铅垂墙 面上，各接触面的静滑动摩擦因数均相同，小车上作用一水平 力F。初始时系统静止，逐渐增大力F，则A、B两点处是否同 时发生滑动？如果不是，哪一点先发生滑动？
F
P Fmax
ix
0
Fmax cos Fsm P sin 0
iy
α
FN
F
0
FN Fmax sin P cos 0
Fsm f s FN
sin f s cos Fmax P P tan( ) m cos f s sin
能拉动：b>fs(d -2l)
已知如图所示系统中：L=25cm，F1=20kN， P 例6： =20kN，B、C处的静摩擦因数分别为fBs=0.6与fCs=0.3。 试求欲拉动滚子的力 应为多大？ F 解：取杆为研究对象： F1 FAy
L D B L A D B FBS
F
C
P
O
FBN M A (F ) 0
′
max
（不滑动的条件）
主动力的合力位于摩擦锥之内，则无 论这个力有多大，物体总处于平衡
千斤顶楔螺纹角值
P
斜面摩擦自锁的应用
F n

m
P
A
问题：假设墙壁光滑，若使梯 子不滑动，地面与梯子间的静 滑动摩擦因数 fs 至少为多大
(不计梯子自重, 人重为W).
B A
n
FB
B
F

Fs
F
M
Mf
ix
0
F Fs 0 P FN 0
P P
Fiy 0
I
0
M f Fr 0
F r
Fs
F r

Fs FN
滚动摩擦力偶:
FN
Mf
0 M f M f max
M f max FN
滚动摩阻系数（mm）
滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反
F1
A FAx
F1 L FNB 2L 0
得：
FBN
FNB
取轮为研究对象：
B
设 B处先滑
M C (F ) 0
S 2R 0 FR FB
1 F1 2
S FB 1 F 2
F
C
P
O
FBS
欲滑动，应有
FCS
S FB S f B S FNB ，即 F f F 12 FB Bs 1
P F 2 3.75 N D
A
Mf FN
wenku.baidu.comFs
M f FN
例10：如图所示，总重为P的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角 为θ的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为δ， 其它尺寸如图所示。试求拖车所需的牵引力。
解： [拖车]
F 0: F 0:
x
y
F F1 F2 P sin 0
解得
B
d
x
F
C
h x 40 cm 2 tan m
FRA
h1 A h2
m
m
B
D
FRB
例4： 制动器如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试 求制动鼓轮转动所必需的力F1。 解: [鼓轮]
M F 0,
O1
Fr FS R 0
O
r r FS F G R R
[杠杆]
xmin
Fix=0, FBN–F Am=0,
FBN FBm
B
P
FBm=fB FBN (cosα f Asin ) L
1 f A fB
讨论： 1. f = fA= fB
xmin (cosα fsin ) L 1 f 2
xmin

FAN
A
FAm
2. xmin与P无关。
例3：支架套在固定圆柱上，h = 20 cm。支架和圆柱间的摩擦因数
F
（2）摩擦定律、摩擦因数
Fs max f s FN
fs
静摩擦因数：由实验测定 Fs
摩擦定律 (库仑定律)
（3）动滑动摩擦力
Fsmax
Fd
Fd f d FN
45 ˚
P
fd fs
3、摩擦角和自锁现象
（1）摩擦角
P F FS

FN
FR
FR
FN
FR
max FN
F
Fmax
FR FSmax FN
y a
F
x
0
F FA FB 0
Fy 0
补充方程：
FNA FNB G 0
FB f s FNB
F
h
C
G FA
b x
FA f s FNA ,
A
B
FB
FNA
FNB
最小推力：
F滑 Fmin1 Gfs
F G
A
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
C
M
B
0
b M2f ,max
H
a h
θ
F
x
M
FN1 FN 2 P cos θ 0
A
(F ) 0,
O
P cos b P sin H FN1 (a b) F h M1f , max M 2f , max 0
F2
θ
A
P
F1
M1f ,max
FN1
FN2
rG b f s c F1 f s Ra
FOy
O
FOx
G F
O1
C
FS F1
B
FN
FS
A
FN
例5： 抽屉ABCD的宽为d、长为b，与侧面导轨之间的静摩擦因数 均为fs。为了使用一个手拉抽屉也能顺利抽出，试问各尺寸应如 何设计（抽屉的重力略去不计）？ FCmax d B C C 解： B FNC b
kN
FCN
FBN
B
F
C
P
O
FBS
设 C 处先滑，对杆 FNB不变
M B (F ) 0
FCS FCN
FC S 2 R F1R 0
F FC S 1 2
F
y
0
B 0 FNC P FN
FNC P F1 2
B FN B FN
欲滑动，应有
FC S f Cs FNC ，即 F 2 f s ( P

FA
研究梯子，画受力图
tan tanmax f s
0 300
p
tan30 fs
0
4、考虑摩擦时物体的平衡问题
（1）几何法：利用摩擦角的概念 （2）解析法： 平衡方程+补充方程
例1：重P的物块放在倾角为 （ >m）的斜面上，另加一水平 力F使物块保持平衡。已知摩擦因数fs，试求力F的最小值和最 大值。 P x P Fmin F Fsm FN 解： 解析法 1、求最小值
c
r
R O1
F1
C B
M O F 0,
b 0 F1a FSc FN
A b a
r b F1a FSc Gc FN R r
又 FS fs FN
所以 得
FO1y FO1x
F1a Gc R FN b r F1a Gc rG R fs R b
tan tanm tan( m ) tanm tan 1
θ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
FN2
θ FN
1
即：
2m 2m
F2
F1
O
x
所以楔块不致滑出的条件为
5、有摩擦力存在时的翻倒问题
例 8 ：矩形柜如图，柜重 G，重心 C 在其几何中心，柜与地面间 的静摩擦因数是 fs，施加水平向右的力F，试求平衡时地面的约 束力，并求能使柜翻倒或滑动所需推力F 的最小值。 解: 〔矩形柜〕 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
滚动条件：F r Mf= FN，
滑动条件：F Fs= f sFN。
δ fs , r
易滚难滑
例9：一手拉小车，已知：D=80cm, =0.15cm, P=1kN,试求：拉动时力F的值。
解：
[整体]
F D Mf 0 2
P
M A 0
F
F
iy
0
P FN 0
FAmax
A G E D
F
G E D
ix
0
0
FN A FNC 0
FNA A
F
l
F
F
A
iy
FAmax FC max F 0
FAmax fs FN A、FC max fs FNC
M
0
FNC b FC max d F (d l ) 0
联立解得：b=fs(d -2l)