最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕

习题二

包括题目： P36页 5（1）（4） 5（4）

习题三

包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下 5,6题

14题解如下

14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T

-处的牛顿方向。

解：已知 (1)

(4,6)T x

=-，由题意得

∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫

=∇=

⎪⎝⎭

21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛

⎫∇= ⎪

+--------+--⎝⎭

∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫

=∇=

⎪-⎝⎭

∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫

=-=

⎪-⎝⎭

15（1）解如下

15. 用DFP 方法求下列问题的极小点

（1）22

121212min 353x x x x x x ++++

解：取 (0)

(1,1)T x

=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同

2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪

++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)

10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭

(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)

1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭

以下作第二次迭代

(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)

18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫

=∇-∇= ⎪-⎝⎭

其中，111011126.3096,247.3380T T T

H δγγγγγ===

11 1.1621 1.39451.3945 1.6734T δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T T

H H γγγγ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

所以 令 (2)

(1)

(1)

1x

x d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα

+=，求得 10.5727α=-

所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)

0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭

以下作第三次迭代

(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫

=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)

2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫

=∇-∇= ⎪⎝⎭

22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=

所以 令 (3)

(2)

(2)

2x

x

d

α=+ ， 利用

(2)(2)()

0df x d d αα

+=，求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=

⎪

-⎝⎭

， 因为 (3)

()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

习题四

包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做 3题解如下

3.考虑问题21),(2)(min 21x x x f s

x x -=∈，其中

（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；

（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；

（3）分别对点,)1,0(,)0,0(,)1,1(,)0,1(4

3

2

1

T

T

T

T

x x x x -==-==指出哪些约束是紧约束和松约束。 解：（1）如图所示，此问题的可行域是以O 点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x 2=2x 1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。

（2）要求f 的最小值，即求出这一系列平行线中与x 2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。如图求出切点⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

51,52P ，此点即为最优解T

x )5

1,52(-

=*，解得最优值5-=*f

（3）对于区间集S 可以简化为g 1:012

221≥--x x

g 2:02≥-x

对于点T

x )0,1(1=，g 1和g 2均为该点处的紧约束； 对于点T

x )1,1(2-=，g 1和g 2均为该点处的松约束；

对于点T

x )0,0(3=，g 1为该点的松约束，g 2为该点的紧约束； 对于点T

x )1,0(4-=，g 1为该点的紧约束，g 2为该点的松约束。

4题解如下

4.试写出下列问题的K-T 条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解： （1）()();12min 2

22

1-+-x x

. 012

221≥--x x （2）()();12min 2

22

1-+-x x

. 092

221≥--x x

（1）解：非线性规划的K-T 条件如下：

022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x λ （1）

0)1(2

221=--x x λ （2）

0≥λ （3）

再加上约束条件 012

22

1≥--x x （4）