四川大学精品课程高等数学下,徐小湛 课件考题评讲2 Euler(学生版)
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四川大学大二公共课专业高等数学竞赛模拟试题及答案2
四川大学高等数学竞赛模拟试题〔四〕一、 填空题〔每题5分，共50分〕1．假设),99100()23)(12()(---=x x x x x f 则=')0(f 。
2．当x 大于21趋向于21时，x arccos 3-π与bx a )21(-为等价无穷小，则=a ，=b 。
3．函数32z xy u =在点)1,2,1(-处沿曲面228222=++z y x 的外法向的方向导数为 。
4．级数∑∞=+12)1(1n nn 的和等于 。
5．设函数0>ϕ且可微，计算由曲面0)()()()(=-+-y b z x a z ϕϕ与柱面222c y x =+及平面)0,0,0(0>>>=c b a z 所围的空间区域的体积=V 。
6．椭球面142222=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离= 。
7．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x xx x x f λ 是连续函数，则=λ 。
8．⎰∞+-= 072dx ex x 。
9．dx x y dy y ⎰⎰-122)1cos( = 。
10．直线l 过点)0,2,1(-M 且与两条直线⎩⎨⎧=+-=+5312:1z y x z x l ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3412z t y tx 垂直，则l 的参数方程为 。
二、〔每题6分，共18分〕 1．计算dxdy y x y x y x ⎰⎰≤+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--163222222)(2,163min2．设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdzdx dy ,。
3．证明：11)21ln(10 44<+<+⎰xdx 。
三、〔7分〕求极限⎰⎰⎰≤+++∞→++2222)32(1lim 2225t z y x t dxdydz z y x t四、〔7分〕当)0(>k 取何值时，曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=y z x kyx 2222是圆？并求此圆的圆心坐标以及该圆在zox 平面，yoz 平面上的投影。
【2019年整理】计算旋转体体积的“柱壳法”
May 2012
附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介 绍
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 Volumes by Cylindrical Shells
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：
Vx
sin2 xdx 2
0
2
y sin x
0
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：
Vy
2
x sin xdx
0
2 2
y sin x
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
y f (x)
四川大学数学学院 徐小湛
a
b
May 2012
用以下方法求体积元素： 体积元素是一层柱壳的体积的近似值
y f (x)
y x x dx
V [(x dx)2 x2 ]y [2xdx (dx)2 ]y
(2xdx) y 2 xydx dV
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May 2012
dV 2 xydx
体积元素是一层柱壳 的体积的近似值
b
b
V dV 2 xydx 柱壳法
a
a
柱壳
柱 壳 半 径
柱
柱 壳 的 高
壳 的 厚 度
度
a
b
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附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介 绍
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美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 Volumes by Cylindrical Shells
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用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：
Vx
sin2 xdx 2
0
2
y sin x
0
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用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：
Vy
2
x sin xdx
0
2 2
y sin x
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y f (x)
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a
b
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用以下方法求体积元素： 体积元素是一层柱壳的体积的近似值
y f (x)
y x x dx
V [(x dx)2 x2 ]y [2xdx (dx)2 ]y
(2xdx) y 2 xydx dV
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dV 2 xydx
体积元素是一层柱壳 的体积的近似值
b
b
V dV 2 xydx 柱壳法
a
a
柱壳
柱 壳 半 径
柱
柱 壳 的 高
壳 的 厚 度
度
a
b
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高等数学(同济第六版)D8-4名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
f ( x2 y2 , z) 0.
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
锦城下期期末《高等数学》第二套复习题评讲(STU)
分享学习心得和体会
学习方法
学生分享自己在学习《高等数学》过程中的有效学 习方法和经验，如时间规划、笔记整理、习题练习 等。
学习感悟
学生谈谈自己对《高等数学》学习的认识和体会， 包括对数学知识的理解、数学思维的培养以及数学 在实际应用中的价值等。
学习建议
学生根据自己的学习经历，向其他同学提出学习《 高等数学》的建议和意见，促进共同进步。
解题思路不清晰
部分学生在解题时缺乏明确的思 路，无法将复杂问题分解为简单 问题逐一解决，导致解题过程混 乱、答案错误。
计算能力有待提高
部分学生在计算过程中粗心大意， 出现计算错误、漏算等问题，导 致最终答案不准确。
个性化辅导方案制定
针对基础知识薄弱的学生
建议加强基础知识的复习，重点掌握基本概 念、定理和公式，并通过大量练习加深对知 识点的理解和记忆。
持续进步
相信学生们在未来的学习中会不断取得进步和成就，希望他们能够保 持谦虚、勤奋的学习态度，不断挑战自己，实现更高的目标。
THANK YOU
感谢聆听
积分的计算与应用
重点掌握不定积分和定积分的 计算方法和应用，难点在于如 何根据被积函数的特征选择合 适的积分方法，以及如何运用 定积分来解决实际问题。
知识体系构建
80%
知识框架
以极限、导数和积分为核心，将 高等数学的知识点串联起来，形 成一个完整的知识框架。
100%
知识关联
明确各知识点之间的联系和区别 ，例如导数与微分的关系、不定 积分与定积分的联系等，以便更 好地理解和运用这些知识点。
注意检查填写的内容是否符合题目要 求和数学逻辑。
计算题步骤规范及注意事项
步骤规范 明确题目所求，写出已知条件和未知量。 根据所学知识，选择合适的计算方法和公式。
高等数学下 第2版
同理可算得余弦函数的拉氏变换
s L[cos t ] 2 s 2
二 两个重要函数
1. 单位阶梯函数I (t )
0 t 0 单位阶梯函数 I (t ) 的图像如下页左图所示， 1 t 0
1 由例1知，它的拉氏变换 L[ I (t )] ，将 I (t ) 的图像向右 s 0 t a 平移 a 个单位，即得 I (t a) 1 t a
F (s) e
0 st
sin tdt
0
1
e st d cos t 1 s s (
0
1 s2
1
s
e
st
cos tdt
0
e st sin tdt )
由此可得
2
F (s)
F ( s) 2 s 2
例4 求狄拉克函数 (t a) 的拉氏变换。
s 解：由 L[ (t )] 1 及 L[ f (t )] e F (s) 可得：
L[ (t a)] eas L[ (t )] eas
同理可得：
e as L[ I (t a)] s
e as L[sin(t a)] 1 s2
设 a b ，则
0 t a或t b I (t a) I (t b) at b 1
其图像如下页右图所示。
y
y
1
1
0
x
0
a
b
x
2. 狄拉克函数
定义：设
0 1 (t ) 0 t0 0t t
当 0 时，函数序列 的极限 (t ) lim (t ) 称为 0 狄拉克函数或单位脉冲函数，记为 函数。
高教社2024高等数学第五版教学课件-6.3 二阶微分方程
表达式有关。下面举例详细说明，请大家注意把握其数学思想方法。
例6 解二阶常系数线性非齐次微分方程
″ − 2 ′ − 3 = (3 + 1) 2
解 （1）求原方程所对应的齐次方程的通解
特征方程为
2 − 2 − 3 = 0
特征根
1 = 3, 2 = −1
所以齐次方程的通解为：
1 3 + 2 −
″ + ′ + = ()
（6.3.7）
的一个特解，则
= 1 1 + 2 2 + ∗
（6.3.8）
是二阶常系数线性非齐次微分方程（6.3.7）通解。其中1 , 2 为任意常数。
定理3中，齐次方程两个线性无关的解已容易求出，剩下的问题是如
何求非齐次方程（6.3.7）的特解 ∗ 。其实，该特解与右边自由项()
2 + 4 + 13 = 0
其解为共轭复根 1,2 = −2 ± 3
所以原方程的通解为 = −2 (1 3 + 2 3 )
（6.3.6）
2、二阶常系数线性非齐次微分方程
定理3 若1 , 2 是齐次方程
″ + ′ + = 0
的两个线性无关的特解， ∗ 是非齐次方程
第六章 常微分方程
第三节 二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
【引例1】解微分方程
解
两边积分一次
两边再积分一次
2
2
=
(是常数)
= ′ = = + 1
1
2
= (+ 1 ) = 2 + 1 + 2
例6 解二阶常系数线性非齐次微分方程
″ − 2 ′ − 3 = (3 + 1) 2
解 （1）求原方程所对应的齐次方程的通解
特征方程为
2 − 2 − 3 = 0
特征根
1 = 3, 2 = −1
所以齐次方程的通解为：
1 3 + 2 −
″ + ′ + = ()
（6.3.7）
的一个特解，则
= 1 1 + 2 2 + ∗
（6.3.8）
是二阶常系数线性非齐次微分方程（6.3.7）通解。其中1 , 2 为任意常数。
定理3中，齐次方程两个线性无关的解已容易求出，剩下的问题是如
何求非齐次方程（6.3.7）的特解 ∗ 。其实，该特解与右边自由项()
2 + 4 + 13 = 0
其解为共轭复根 1,2 = −2 ± 3
所以原方程的通解为 = −2 (1 3 + 2 3 )
（6.3.6）
2、二阶常系数线性非齐次微分方程
定理3 若1 , 2 是齐次方程
″ + ′ + = 0
的两个线性无关的特解， ∗ 是非齐次方程
第六章 常微分方程
第三节 二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
【引例1】解微分方程
解
两边积分一次
两边再积分一次
2
2
=
(是常数)
= ′ = = + 1
1
2
= (+ 1 ) = 2 + 1 + 2
高等数学公式(一元函数部分)(川大徐小湛)-98页
定义域：(k , k )
2
2
(k 0, 1, 2, ...)
值域：(, )
奇偶性：奇函数
周期：
7
余切 y cot x cos x 1 sin x tan x
定义域：(k , (k 1) ) (k 0, 1, 2, ...)
值域：(, ) 奇偶性：奇函数
周期：
正割 y sec x 1 cos x
双曲正切 (Hyperbolic tangent)
y
tanh
x
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
定义域：(, ) 值域：(1, 1) 奇偶性：奇函数
单调性：单增 有界性：tanhx 1
10
.
反双曲函数 (Inverse hyperbolic function)
反双曲正弦
y arshx ln(x x 2 1) 定义域：(, ) 值域：(, ) 奇偶性：奇函数 单调性：单增
lim(1 1 1 ... 1 ln n) C
n
23
n
.
说明
此结论常用。例如，
lim
n
1 2n
0
例如， lim 2n 。 n
例如，
lim
n
1 n2
0，
lim n 。
n
常用， lim a x 1 的特例。 x0
1
常用， lim x x 1 的特例。 x
此 极 限 说 明 an 是 nk 的 高 阶 无 穷 大 。 例 如 ，
施 笃
设数列
若
{
yn
}
单调增加且
lim
n
yn
，若 lim n
微分方程作图市公开课金奖市赛课一等奖课件
四川大学数学学院 徐小湛
第15页
May 2012
y y 2 y 0
方程通解:
y C1e2 x C2e x
更多曲线
wffc:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)-2*y(x)=0: tongjie:=dsolve(wffc,y(x)): toplot:=[seq(seq(rhs(tongjie),_C1=-2..2),_C2=-2..2)]: plot(toplot,x=-1..1,y=-10..10,thickness=3,color=red);
四川大学数学学院 徐小湛
第10页
May 2012
11
with(DEtools): DEplot((x-y(x)^3)*diff(y(x),x)+y(x)=0,y(x),x=-2..2, y=-2..2,[[y(0)=1],[y(0)=0.3],[y(0)=1.5],[y(0)=-0.5],[y(0)=-1],[y(0)=1.5]],linecolor=[blue,black,gold,navy,green,maroon], color=violet,stepsize=0.01,scaling=constrained);
wffc:=diff(y(x),x)=(cos(y(x))-y(x)*cos(x))/(x*sin(y(x))+sin(x)-1):
dsolve(wffc);fangxiangcang:=DEplot(wffc,y(x),x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,thickness=2):
jifenquxian:=contourplot(y*sin(x)-x*cos(y)-y,x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,contours=20,color=b
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y y 2 y 0
方程通解:
y C1e2 x C2e x
更多曲线
wffc:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)-2*y(x)=0: tongjie:=dsolve(wffc,y(x)): toplot:=[seq(seq(rhs(tongjie),_C1=-2..2),_C2=-2..2)]: plot(toplot,x=-1..1,y=-10..10,thickness=3,color=red);
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with(DEtools): DEplot((x-y(x)^3)*diff(y(x),x)+y(x)=0,y(x),x=-2..2, y=-2..2,[[y(0)=1],[y(0)=0.3],[y(0)=1.5],[y(0)=-0.5],[y(0)=-1],[y(0)=1.5]],linecolor=[blue,black,gold,navy,green,maroon], color=violet,stepsize=0.01,scaling=constrained);
wffc:=diff(y(x),x)=(cos(y(x))-y(x)*cos(x))/(x*sin(y(x))+sin(x)-1):
dsolve(wffc);fangxiangcang:=DEplot(wffc,y(x),x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,thickness=2):
jifenquxian:=contourplot(y*sin(x)-x*cos(y)-y,x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,contours=20,color=b
高等数学同济版下省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
曲线在M处旳切向量 T { (t0 ), (t0 ), (t0 )},
Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) w(t0 ) 0
令
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
如果空间曲线
的方程为
x y
(z), (z)
则曲线在M ( x0 , y0 , z0 )处的切线方程为
x x0 y y0 z z0
(z0 ) (z0 )
1
法平面方程为
(z0 )( x x0 ) (z0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1 求曲线 : x t eu cos udu， y 2sint cost 0
z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解
当t 0时， x 0, y 1, z 2, M ( x0 , y0 , z0 )、T
曲线在M处旳切向量 T { (t0 ), (t0 ), (t0 )},
Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) w(t0 ) 0
令
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第六节 微分法在几何上旳应用
高等数学同济大学第六版31省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得
1 x
ln(1 x) x ,
1
又0 x
x x x,
1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
例5 设f ( x)在[ x0 , b)上连续，在x0 , b内可导，且
lim
x x0
f x l.则f x在点x0存在右导数，且fx0
即 f ( ) f (b) f (a) 0
ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注: 1. 当a b时，有 f (a) f (b) f ( )(a b), f (b) f (a) f ( )(b a), 在a与b之间.
2. 注意到，只要a b,均有
水平的.
o a 1
物了解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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证 f ( x) 在 [a, b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m. 则 f ( x) M ,x [a, b]. 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f ( ) 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点 取得.
f (b) f (a) f (a (b a))(b a), 0 1.
4. 记a x0 , b x0 x, 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
而 y dy f ( x0 )x
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) 有f ( ) 0.
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第一章 函数与极限
第1讲 映射与函数(1) 第2讲 映射与函数(2) 第3讲 映射与函数(3) 第4讲 映射与函数(4) 第5讲 函数的极限(1) 第6讲 函数的极限(2) 第7讲 函数的极限(3) 第8讲 数列的极限(1) 第9讲 数列的极限(2) 第10讲 无穷小与无穷大 第11讲 极限的运算法则(1) 第12讲 极限的运算法则(2) 第13讲 极限存在准则 第14讲 两个重要极限(1) 第15讲 两个重要极限(2) 第16讲 无穷小的比较 第17讲 函数的连续性 第18讲 连续函数的运算 第19讲 闭区间上连续函数的性质
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第二章 导数与微分
第20讲 导数的概念(1) 第21讲 导数的概念(2) 第22讲 函数的求导法则(1) 第23讲 函数的求导法则(2) 第24讲 高阶导数 第25讲 隐函数的导数 第26讲 参数方程确定的函数的导数与相关变化率 第27讲 函数的微分
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第三章 微分中值定理与导数的应用 第28讲 微分中值定理(1) 第29讲 微分中值定理(2) 第30讲 洛必达法则(1) 第31讲 洛必达法则(2) 第32讲 泰勒公式(1) 第33讲 泰勒公式(2) 第34讲 函数的单调性与极值(1) 第35讲 函数的单调性与极值(2) 第36讲 曲线的凹凸性与拐点 第37讲 渐近线与函数图形的描绘 第38讲 曲率（暂缺）
wwwyoukucomplaylistshowid19485042html点击观看201393点击图片进入专辑第一章函数与极限数列的极限2第10讲无穷小与无穷大第11讲极限的运算法则1第12讲极限的运算法则2第13讲极限存在准则第14讲两个重要极限1第15讲两个重要极限2第16讲无穷小的比较第17讲函数的连续性第18讲连续函数的运算第19讲闭区间上连续函数的性质点击观看第二章导数与微分第20讲导数的概念1第21讲导数的概念2第22讲函数的求导法则1第23讲函数的求导法则2第24讲高阶导数第25讲隐函数的导数第26讲参数方程确定的函数的导数与相关变化率第27讲函数的微分点击观看第三章微分中值定理与导数的应用第28讲微分中值定理1第29讲微分中值定理2第30讲洛必达法则1第31讲洛必达法则2第32讲泰勒公式1第33讲泰勒公式2第34讲函数的单调性与极值1第35讲函数的单调性与极值2第36讲曲线的凹凸性与拐点第37讲渐近线与函数图形的描绘第38讲曲率暂缺点击观看第四章不定积分第39讲不定积分第40讲换元积分法1第41讲换元积分法2第42讲分部积分法第43讲有理函数的积分点击观看第五章定积分第44讲定积分的概念与性质1第45讲定积分的概念与性质2第46讲定积分的概念与性质3第47讲微积分基本公式1第48讲微积分基本公式2第49讲第51讲定积分的分部积分法第52讲反常积分1第53讲反常积分2点击观看其余各章的视频正在准备中我的qq
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第一章 函数与极限
第1讲 映射与函数(1) 第2讲 映射与函数(2) 第3讲 映射与函数(3) 第4讲 映射与函数(4) 第5讲 函数的极限(1) 第6讲 函数的极限(2) 第7讲 函数的极限(3) 第8讲 数列的极限(1) 第9讲 数列的极限(2) 第10讲 无穷小与无穷大 第11讲 极限的运算法则(1) 第12讲 极限的运算法则(2) 第13讲 极限存在准则 第14讲 两个重要极限(1) 第15讲 两个重要极限(2) 第16讲 无穷小的比较 第17讲 函数的连续性 第18讲 连续函数的运算 第19讲 闭区间上连续函数的性质
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第二章 导数与微分
第20讲 导数的概念(1) 第21讲 导数的概念(2) 第22讲 函数的求导法则(1) 第23讲 函数的求导法则(2) 第24讲 高阶导数 第25讲 隐函数的导数 第26讲 参数方程确定的函数的导数与相关变化率 第27讲 函数的微分
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第三章 微分中值定理与导数的应用 第28讲 微分中值定理(1) 第29讲 微分中值定理(2) 第30讲 洛必达法则(1) 第31讲 洛必达法则(2) 第32讲 泰勒公式(1) 第33讲 泰勒公式(2) 第34讲 函数的单调性与极值(1) 第35讲 函数的单调性与极值(2) 第36讲 曲线的凹凸性与拐点 第37讲 渐近线与函数图形的描绘 第38讲 曲率（暂缺）
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4.2 换元积分法(学生版)
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徐读。
网址： /album/view/a4 c5c8aedd3383c4bb4cd2a2
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课件高等数学下册同济大学出版社经管类第2版第六章空间解几.ppt
时， a与b 平行？
解 由平行的充要条件，得
0 1 ， 2 1
即 0, 1 2 1
解得 0, 1 2
第三节 向量的乘法运算
一数量积
1.数量积的定义
先看一个实例：设有一个物体在常力 F 的作用沿直
线运动，产生了位移 S ，实验证明力 F 所做的功为
W F S cos
F
其中是力 F 与位移 S 的夹角.
向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛 的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表 示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算.
空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几 何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分， 学习一些空间解析几何的基本知识.
第一节 空间直角坐标系
一、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点 O，过点 O 作三条具有相同长度单位，且两两互相垂直的 x 轴，y 轴， z 轴，这样就称建立了空间直角坐标系O xyz .点 O 称为
向量a的大小又称为向量的模，记作 a .模为 1 的向 量叫做单位向量；模为零的向量叫做零向量.
两个向量a 和b的大小相同，方向一致，就称向量 a 和b相等，记作a b.
将两个非零向量 a 和 b平移到同一起点，它们所
在射线间的夹角 0 π称为向量 a与 b的夹角
（图
6-5），记作
a,b
.
当
a,b
π
或
a,b
0时，就称
向量 a与 b平行，记作a // b；
当
a,b
π 2
时
，就称
a与b垂
直，记作a b.
a
a
θ b
图6－5
规定零向量 0与任意向量都平行或垂直.
解 由平行的充要条件，得
0 1 ， 2 1
即 0, 1 2 1
解得 0, 1 2
第三节 向量的乘法运算
一数量积
1.数量积的定义
先看一个实例：设有一个物体在常力 F 的作用沿直
线运动，产生了位移 S ，实验证明力 F 所做的功为
W F S cos
F
其中是力 F 与位移 S 的夹角.
向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛 的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表 示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算.
空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几 何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分， 学习一些空间解析几何的基本知识.
第一节 空间直角坐标系
一、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点 O，过点 O 作三条具有相同长度单位，且两两互相垂直的 x 轴，y 轴， z 轴，这样就称建立了空间直角坐标系O xyz .点 O 称为
向量a的大小又称为向量的模，记作 a .模为 1 的向 量叫做单位向量；模为零的向量叫做零向量.
两个向量a 和b的大小相同，方向一致，就称向量 a 和b相等，记作a b.
将两个非零向量 a 和 b平移到同一起点，它们所
在射线间的夹角 0 π称为向量 a与 b的夹角
（图
6-5），记作
a,b
.
当
a,b
π
或
a,b
0时，就称
向量 a与 b平行，记作a // b；
当
a,b
π 2
时
，就称
a与b垂
直，记作a b.
a
a
θ b
图6－5
规定零向量 0与任意向量都平行或垂直.
垂直于一空间曲线的曲线构成的曲面
四川大学数学学院 徐小湛 10 June 2011
Santa II, p.135
例5 : r(t ) {4cos t , 4sin t ,0} (0 t 2 )
L : x s, y s (2 s 1.5)
2
抛物线L绕圆Γ旋转
a:=4;; r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0} n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]] m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]] x[s_]:=s;y[s_]:=s^2; X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,7},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; XYZ=Show[X,Y,Z]; Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s]*m[t]+y[s]*n[t],{s,-2,1.5},{t,0,2*Pi}, Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->.8]; 四川大学数学学院 徐小湛 Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]
0 2
所有这些圆构成的曲面的矢量方程： v( , t ) r (t ) cos m(t ) sin n(t )
Santa II, p.135
例5 : r(t ) {4cos t , 4sin t ,0} (0 t 2 )
L : x s, y s (2 s 1.5)
2
抛物线L绕圆Γ旋转
a:=4;; r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0} n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]] m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]] x[s_]:=s;y[s_]:=s^2; X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,7},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]]; XYZ=Show[X,Y,Z]; Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s]*m[t]+y[s]*n[t],{s,-2,1.5},{t,0,2*Pi}, Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->.8]; 四川大学数学学院 徐小湛 Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]
0 2
所有这些圆构成的曲面的矢量方程： v( , t ) r (t ) cos m(t ) sin n(t )