3.4相似多边形(二)

相似多边形（二）

教学目标：

知识目标：掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似，以及能根据相似比进行计算。

能力目标：“根据定义判断两个三角形是否相似训练学生的判断能力；根据相似比求线段长度及角度，培养学生的运用能力。

情感目标：通过与相似多边形有关概念的类比渗透比的教学思想，进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩论关系，提高

学生学习数学的兴趣和自信心。

教学重点：是相似三角形的定义和运用。

教学难点：是根据定义求线段长度和角的度数。

教学手段：多媒体平台

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

1．回忆相似多边形的定义、性质和相关的概念

各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形称相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

引入：相似三角形是相似多边形的一种，今天我们就来研究相似三角形。

二、新课

1．相似三角形的定义

相似三角形是相似多边形的一种，那大家能否类比相似多边形的定义，给出相似三角形的定义呢？

相似三角形的定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

如果∆ABC与∆DEF相似，记作∆ABC∽∆DEF

2.想一想

如果∆ADE∽∆BCF，哪些是对应角，哪些是对应边？对应角有什么关系，对应边呢？

1

∠A=∠B ，∠D=∠C ，

∠E=∠F CF

DE BF AE =。 所以我们得到结论：相似三角形对应角相等，

3．议一议

（1） 两个直角三角形一定相似吗？为什么？ （2） 两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ （3） 两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ （4） 两个等边三角形一定相似吗？为什么？ （5） 两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 小组讨论。并说明原因或举反例说明。

提示说明：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例。

要说明不相似，则只要否定其中的一个条件。 解：（1）不一定相似。反例

直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等。所以直角三角形不一定相似。

（2

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定。因此两个等腰三角形中有两

边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似。

（3）一定相似。

A

300 450

3

在直角三角形ABC 与直角三角形A ’B ’C ’中

︒=∠=∠45'A A ︒=∠=∠90'B B ︒=∠=∠45'C C 设AB=a,A ’B ’=b, 则 BC=a,B ’C ’=b AC=2a,A ’C ’=2b

∴

b a

C A AC C B BC B A AB ==='''''' ∴ ∆ABC ∽∆A ’B ’C ’

(4)一定相似。

因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对

应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似。

（5）一定相似。

全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1。

变形：两个相似比为1的相似三角形全等吗？

分析：全等。因为这两个三角形相似，所以对应角相等。又相似比为1，所以对应边相等。因此这两个三角形相似。

小结：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似。

两个两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似。 两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似。

两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等。 3.例题欣赏

4

例1、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m ，在这个草坪的

图纸上，这条边长5cm ，其它两边的长度都是3.5cm 。求该草坪其他两边的实际长度。

解: 草坪的实际形状和它在图纸上相应的形状相似.

所以实际的三角形与图上的三角形相似, 且它们的相似比2000:5= 400:1. 如果设其它两边的实际长度都是xcm,那么

X=3.5×400=1400

所以,草坪其它两边的实际长度都是14m

例2、如图,已知△ ABC ∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,

∠BAC=45°,∠ACB=40°.

(1) 求∠AED 和∠ADE 的大小;(2)求DE 的长.

解: (1)因为△ADE ∽△ABC,所以由相似三角形对应角相等,

得∠AED=∠C=40°

在△ADE 中, ∠ADE=180°-40°-45°=95° 因为△ADE ∽△ABC,所以 想一想,在例2的条件下,图中有哪些线段成比例? 图中有互相平行的线段吗？

例3：如图：两个三角形相似，求X

说明：例2和例3是两个极具代表性的相似三角形基本模型： “A ”型和“X ” 型

三．随堂练习

1．下面两个三角形相似，确定y,m,n 的值。

A

D B

E

C

).

(75.4330

5070

50,.70

305050,cm DE DE

BC DE AC AE =+⨯==+=所以即x

2

3

4

2

3

45

°

85

n

3

10

A

C D

m

°

50°

45°

2a y B

E

F