抽象与概括

复习题
对小学数学中概念系统进行抽象度分析，从 而对小学数学概念的教学更具有针对性。
2、方法的特殊性
在严格的数学研究中，无论所涉及的对象是 否具有明显的直观意义，我们都只能依据相应的 定义去进行演绎推理，而不能求助于直观。
3、高度的特殊性
四、模式建构化原则 1、理想化 2、模式化 3、精确化 4、自由化
5、形式化
五、弱抽象与强抽象（从思维形式分）
1、弱抽象的“特性分离”原则
分类是以比较为基础，按照研究对象 的相同点和不同点，根据一定的标准将对 象区分为若干类别的一种思维方法。
“商不变的性质”的教学：
先列举若干个数:1，2，3，4，6，8，9，12,， 18，24，36，72。让学生从这些数中取两个数，把 它们组成没有余数的除法式子，并求出商。如 4÷2=2，6÷2=3，12÷2=6，36÷4=9，9÷3=3， 15÷5=3，72÷9=8....把这些除法式子分成商是3 和商不是3的两类，并将商是3的除法式子按次序排 列起来。在此基础上引导学生讨论:这些除法式子 的被除数和除数都变了，但商不变，那被除数和除 数的变化有什么规律呢?从而引出“商不变的性 质”。
所谓弱抽象，也叫做“扩张式抽象”，即 从原型中选取某一侧面特征加以抽象，从而形 成比原型更为普遍和更为一般化的概念或理论， 获得比原结构更广阔的结构，使原结构成为被 抽象后的特例。 从形式逻辑的角度来看，弱抽象就是一个不 断减少概念内涵而使其外延不断扩大的思维过程。
特性分离原则： 人们可以将一类或某种结构内容较为丰富 的对象作为弱抽象的原型，并通过特性分离和 规范化的定义方法构造出更为一般的模式。
在原型中引入某种新的关系（映射、对应、 运算）等得以确定的。
六、表征性抽象与原理性抽象（从内容分）
所谓表征性抽象，就是从可以观察的事物现 象为直接起点的一种抽象。 所谓原理性抽象，就是将所把握的事物抽象 其因果性和规律性的联系。
六、数学抽象的意义
1、有利于认识事物的本质 2、有利于认识一般 3、有利于认识无限 4、有利于认识应用的广泛性
钱金铎《100以内加减法练习》
师：刚才我们全体小朋友认认真真地做好了这六道100以 内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这 六道题（34+42=76，37+17=54，69-15=54，59+17=76，9115=76，83-29=54），如果我们也把它们分成两类，你有什么 好办法？为什么这样分？ 生：我把34+42=76、59+17=76、91-15=76分为一组，把 37+17=54、69-15=54、83-29=54也分为一组。 师：你为什么这样分？ 生：因为第一组结果都是76，第二组结果都是54，所以 要这样分。 师：想得很好，说明你是按照什么来分类的？ 生：按照得数相同来分的。 师：说得很对。还有其他办法吗？ 生：按加法和减法来分。34+42= 76、37+17=54、 59+17=76都是加法，剩下的都是减法。 师：你们说，可以吗？ 生：可以。
直觉型抽象
⑴甲、乙两地相距360千米，一列慢车从甲站开 出，每小时行48千米、一列快车从乙站开出,每小时 行72干米，快车先开25分，两车相向而行，快车开 了几小时与慢车相遇? ⑵甲、乙两地相距360千米，一列慢车从甲站开 出每小时走48千米，一列快车从乙站开出每小时走 72千米，两列火车同时相向而行。1小时后快车出了 故障停下来修理了25分再行。经几小时两车相遇?
2、强抽象与“定性特征化”原 则 所谓强抽象，也可以叫做“强化结构式抽 象”，即通过在原型中引入新的特征来强化原
来结构的抽象，从而获得新的概念或理论。
从形式逻辑的角度来看，强抽象实际上 就是一个不断增加概念内涵从而缩小其外延 的思维过程。
定性特征化原则
人们可以通过引入新特征强化原型而获
得更为特殊的模式，这种特征又往往是通过
二、数学抽象
所谓数学抽象，就是指在数学研究中，
通过对象的现象，深入里层，抽取事物本质
特征的一种认识方法。数学抽象是一般抽象 的特征。
三、数学抽象的特点
1、内容的特殊性 苏联著名数学家亚力山大洛夫在《数学—— 它的内容、方法和意义》一书中就这样写道： “抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我 们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们 同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是 抽象的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的 数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”
——[苏联]亚历山大洛夫《数学———它的内容、 方法和意义》（科学出版社，1984年版）
一、抽象 所谓抽象，从最一般意义来说，就是在思
考过程中，从具体的客观事物中抽取出其本质
特征，而摒弃其非本质特征的思维活动。
分析型抽象和直觉型抽象
分析型抽象过程的三个环节：分离→提纯→简化
例如，从钟表上的时针和分针所构成的图形、两 脚规张开的两脚所构成的图形出发，将其空间的位置 关系与它们的物理性质、化学性质分离开来，经过提 纯(想象边的长度是无限的)、简化(想象边是没有粗 细的)，就抽出了它们所具有的共同特征:有一个共同 的端点，两条从同一端点引出的射线，一块由两条射 线组成的平面空间，就形成了角的概念。
概括
概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归 结出来进行考察的一种思维方法。概括要以抽象 为基础，它是抽象的发展。
例
甲、乙两仓共有粮食38吨，甲仓
存粮的4/5等于乙仓存粮的2/7，甲、乙 两仓各存粮多少吨?”
第五节 比较与分类
比较，是认识事物之间相同点和不同点的一 种思维方法。数学中的比较是多方面的，包括数 学概念的比较、数量关系的比较、形式结构的比 较、数学性质的比较等。数学对象的差异性和同 一性是进行比较的客观基础。比较数学对象的差 异性，可以将数学对象加以区别；比较数学对象 的同一性，可以认识数学对象间的联系。
第四节
抽象与概括
从一则笑话说起：
父：“如果你有一个橘子，我再给你两个， 那你数数看一共有几个橘子。” 子：“我不知道！在学校里，我们是用苹果 数数。” ——《译林》
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“甚至对数学只有肤浅的认识就能容易地察觉到数 学的这些特征：第一是它的抽象性……抽象性在简单 的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却 并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们 在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表， 而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目 乘上苹果的价钱……”
生：我把34+42=76、69-15=54分为一组，其他算式也分为一组。 师：你为什么要这样分？ 生：34+42=76、69-15=54是不进位加法和不退位减法，其他都 是进位加法和退位减法。 师：你真会观察，也很会动脑筋。想出这种分类方法是要靠小 朋友的计算本领和思考能力来解决的，如果我们对进位加法和退位 减法不熟练，是很难想出的。 生：我把37+17=54、59+17=76分成一组，把34+42=76、6915=54、91-15=76、83-29=54分成一组。 师：你为什么要这样分呢？ 生：因为37+17=54、59+17=76里都有加数17，其他的没有。 师：这也是一种分类方法。 生：老师，我有另外一种分类方法。我把34+42=76分成一组， 剩下的为一组。 师：这就奇怪了，为什么呢？ 生：因为34+42=76，它里面的加数都是双数，其他的都是单 数…… 师：小朋友真是太厉害了！老师没有想到也可以这样分……