2020中考数学 几何培优-平面几何的最值问题(含详解版)

2020中考数学 几何培优:平面几何的最值问题（含答案）

1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ．

2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． 3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ．

4. 在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．

第4题图

第1题图 第3题图 第5题图 第6题图

5．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) A ．42

B ．4.75

C ．5

D ．4.8

6．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( )

A ．12

B ．4π

C ．62

D ．63

7．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( )

A ．80°

B ．100°

C ．120°

D ．140°

8．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( )

A ．15

B ．20

C ．15+52

D ．15+55

1

第7题图 第8题图 第9题图

9．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．

(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．

(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？

10．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求

⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；

(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．

11．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC 边上任意一点．连结AQ ，DQ ，过P 作PE ∥DQ 交于AQ 于E ，作PF //AQ 交DQ 于F ． (1) 求证：△APE ∽△ADQ ；

(2) 设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？

(3) 当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必证明）

N

N

M

O

B

A

P

12．在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6．动点M ，N 分别在两腰AB ，AC 上(M 不与A ，B 重合，N 不与A ，C 重合)，且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ． (1)当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？

(2)设MN =x ，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式，当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

13. 如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．

14. 如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．

15. 阅读下列材料：

问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：

B C

A

D

N

D

图2

图1

摊平

沿AB 剪开A

C

B

B

A

路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．

设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．

设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．

∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．

16. 如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．

17. 如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．

N

M

E D

A

B

1A

B

D