高数第二十一讲

判定
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y ln(1 x 2 )的凹凸区间和拐点 例4 求曲线
解 ① 定义域为 (,)
2x ② y 1 x2
2(1 x 2 ) y (1 x 2 ) 2
③ 令 y 0 得 x 1
④ 把所求信息汇总列表如下：
若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加.
若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
y y
称为拐点 .
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o o
x 1 2 x x x11 xx1xx2 x22 x
22
y f (x) C 0[ a, b] ，在 (a, b)内具有 定理4.7 设函数
二阶导数， （1）若 x (a, b) 时，有 f ' ' ( x) 0，则 y f (x) [a, b]；
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例2. 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3的单调区间. 解 ① 定义域为 (-∞，+∞）
② f ( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
③ 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
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例3 求函数 f (x) ( x 1) x 的单调区间 解 ① 定义域为 (-∞，+∞） 5x - 2 ② f (x) 3 3 x 2 ( x) 0 得驻点 x1 ③令 f ；又 x 0 时导数不存在 ④ 把所求信息汇总列表如下：
（2）若 x (a, b) 时，有 f ' ( x) 0，则 y f (x) [a, b] 。
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证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
3. 若 f ( 0) 0 ，是否能断定 f ( x ) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？
1 2 x 2 x sin , x 0 不能断定. 例 f ( x ) x 0, x0 1 lim f (0) x 0(1 2 x sin ) 1 0 x
（2）若 x (a, b) 时，有 f ' ' ( x) 0 ，则 y f (x) [a, b] 。 定义4.4 函数 f (x)的二阶导数等于零的点和二阶导数 不存在的点统称为 f (x)的二阶可疑点。
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确定函数凹凸区间的步骤
① 求函数 f (x) 的定义域 ② 求 f (x) ③ 求 f (x) 的二阶可疑点 ④ 用 f (x) 的二阶可疑点把 f (x)的定义域分开后列表
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例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : (,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性．
第四章
中值定理与
导数的应用
第四章 中值定理与导数应用
1 3 3 中值定理 函数的单调性和凹凸性 2 洛必达法则
4 函数的极值与最值 5 3
不等式的证明
6 函数图形的描绘
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§4.3函数的单调性与凹凸性
1
2 3 4
函数单调性的判定法
确定函数单调区间的步骤 曲线的凹凸性及其判别法 确定函数凹凸区间的步骤
可用来逼近当选总统所在党获得众议院议席的百分比， 因此称 H ( p) 为“议会函数”。 例如1939年，民主党候选人
富兰克林· 罗斯福赢得了公众61％的选票，从而当选总统。
在这次选举中，议会函数 H (0.61) 0.79，即估计民主党
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将占众议院议席的79％。在实际选举中，民主党赢得333 个议席，共和党赢得89个席位，即民主党占78.9％。 求 H ( p) 的一阶、二阶导数，分析凹凸性。
0 0 1
(0 , 2 ) 3

∩
( 2 , ) 3 0 11 ∪ 27
2 3
故该曲线在 ( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 3 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 3 27
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p3 解 H ( p) p 3 (1 p ) 3
，如图示
f[x_]:=(x^3)/(x^3+(1-x)^3) Plot[f[x],{x,0,1}]
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dH (3 p 2 3 百度文库 1)3 p 2 p 3 (6 p 3) dp (3 p 2 3 p 1) 2 ( p 2 2 p 1)3 p 2 3 p 2 ( p 1) 2 2 2 (3 p 3 p 1) (3 p 2 3 p 1) 2
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2. 曲线 y 1 e
x2
( 1 , 的凹区间是 2
1 , ) 2 ;
1 ) 2
;
凸区间是 ( , 1 ) 及 ( 2
拐点为 (
1 ,1 e 2 2
1
).
提示: y 2 e
x2
(1 2 x 2 )
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d 2 H 6 p( p 1)( 2 p 1) 2 dp (3 p 2 3 p 1) 3 1 d 2H 1 (0, ) 上是凹的。 当 0 p 时， 2 0 ，即在 2 2 dp d 2H 1 1 而当 p 1 时， 2 0 ，即在 ( ,0) 上是凸的。 2 dp 2 dH H 但是，当 0 p 1 时， 0， 为增函数。 dp
(,2)
1 3
2
不存在 拐点 (2,0)
(2,)
_
y
+

y

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例7 在一次美国总统选举后，把当选总统所得公众选 举票数的百分比记作 p ，记
p3 H ( p) 3 3 p (1 p ) (0 p 1)
H 这个函数有着有趣的性质（称为立方律）， ( p)的值
+ –
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
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思 考 题
( A) ( B) (C ) ( D)
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) ,
f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
x
y
( ,1)
1
拐点
(1,1)
1
拐点
(1,)
_



_

y
(1, ln 2)
(1, ln 2)
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如图
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4 3 例5. 求曲线 y 3x 4 x 1的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
例6 求曲线 y ( x 2) 的凹凸区间和拐点． 解 ① 定义域为 (,) 5 2 2 1 3 y ( x 2) 3 y ( x 2) ② 9 3 x ③ y 0 无解， 2 时 y 不存在， ④ 把所求信息汇总列表如下：
x
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定义4.1 若 f ( x0 ) 0，则称 x 0 是函数 f (x) 的一个驻点；
驻点和导数不存在的点统称为函数 f (x) 的一阶可疑点。 确定函数单调区间的步骤： ① 求函数 f (x) 的定义域 ② 求 f (x)
③ 求一阶可疑点
④ 用一阶可疑点把定义域分开后列表判定
12 x3 12 x 2 , y 2) 求拐点可疑点坐标 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 3
3) 列表判别
36 x( x 2 ) 3
y1 1 , y2 11 27
2 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
x ( , 0) y y ∪
但
1 1 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
x0
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当 x
1
1 1 ( 2 k ) ( 2 k ) 2 2 1 当 x 时， f ( x ) 1 0 2 k
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函数单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A
y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b
x
0 定理4.6 设函数 y f (x) C [a, b] ，在(a, b)内可导。
（1）若 x (a, b) 时，有 f ' ( x) 0，则y f (x) [a, b] ；
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y 2 1
2
的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
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说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
即在总统选举中得票越多，在众议院获得席位越多，
实际也是如此。
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1. 可导函数单调性判别 f ( x) 0 , x I
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
x
f (x)
(,0)
2 3
5
0
不存在
2 (0, ) 5
2 5
0
2 ( , ) 5
+


+

f (x)
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曲线的凹凸性及其判别法
定义4.2 设函数 (1) 若恒有 图形是凹的; (2) 若恒有 在区间 I 上连续 ,
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
连续曲线上有切线的凹凸分界点
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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确定函数单调区间的步骤
问题 定义 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法 用方程 f ( x ) 0 的根及 f ( x ) 不存在的点 来划分函数 f ( x ) 的定义区间, 然后判断区间内导 数的符号.