概率加法公式

《概率的加法公式》教学设计

新授课之前的准备工作：（1）将全班学生分成若干组，每组8人，原则是自愿组合，老师适当调整，使每个小组尽可能具备讨论问题的氛围基础。（2）精选出9个合适的题目制成思考题单，课前发到各个小组，各小组就自己感兴趣的问题分析思考，以奠定上课时各组之间研究问题的基础。（3）做好相应的多媒体演示课件，根据教学情况之需适时演示。

师：1个盒内放有10个大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球，若从中任取一个球，得到红球记为“事件A”，从中任取一个球，得到绿球记为“事件B”，从中任取一个球，得到黄球记为“事件C”，则事件A、B、C之间存在什么关系？

（学生暂时还不能解决这个问题。）

师：请同学们首先思考这样一个问题：如果从盒中摸出一个球是红球，则说明事件A怎样？

生：事件A发生。

师：很好，那么如果从盒中摸出一个球是绿球，即事件B发生，则说明事件A又怎样？

生：事件A没有发生。

师：通过对以上两个问题的探究，你发现事件A和事件B具有怎样的关系？（让学生思考）

生甲：事件A和事件B不能同时发生。

师：事件A和事件B就叫互斥事件，请同学们给互斥事件下个定义。

生乙：在一次试验中事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

师：很好，那么事件B与事件C是怎样的关系？事件A与事件C又是怎样的关系？

生：两个都是互斥事件。

师：如果事件A、B、C其中任何两个都是互斥事件（两两互斥），就说A、B、C彼此互斥，那么四个及四个以上的事件是否也能存在这种关系呢？若能请你把它推广到n个。

生丙：能，就以上题为例，把盒中的球的颜色增加到若干种即可，有几种颜色就能有几个互斥事件。

师：很好，我们再来思考另一个问题，请同学们联想集合的知识，思考能否用集合的知识来解释互斥事件的概念？

生丁：从集合角度看两个互斥事件是指由两个事件所含基本事件组成的集合不相交。

师：若n个事件彼此互斥呢？

生戊：n个事件彼此互斥是指n个事件所含的基本事件组成的集合彼此都不相交。

师：请同学们看屏幕，用维恩图图（2）、图(3)来深刻理解互斥事件。

师：从集合角度看，若图(4)中的全集U中仅有两个集合，两集合是什么关系？其对应的事件A、B又有什么特殊关系呢？

生：集合A、B不相交，集合A、B的并集是全集，事件A、B互斥。

师：对，例如在上面问题中，若把“如果从盒中摸出1个球，得到红球记为“事件A”；得到的不是红球（即绿球或黄球）记为“事件B”，事件A与B是否能同时发生？

生：不能。

师：事件A与B是互斥事件吗？

生：是

师：事件A与B必有一个发生吗？

生：必有一个发生。

师：这时事件A与B互为对立事件，请同学们给对立事件下个定义。（学生通过的小组讨论与概括，自然得到结论与定义，让学生表述定义。）

生戊：集合A、B互为补集，从事件的角度看，若事件A与B互斥，且A与B中必有一个发生，则称事件A与B是对立事件。

生甲：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。

师：两个同学回答得都很好，甲回答得更简炼，请同学们思考互斥事件与对立事件存在怎样的联系？

生：对立事件一定互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。

做练习：若从一幅去掉大小王的扑克牌中，任取一张，判断下列每对事件中哪些是互斥事件，若是请判断各事件是否为对立事件。

A、“抽出红桃”与“抽出黑桃A”；

B、“抽出牌的点数是3的倍数”与“抽出牌的点数为2的倍数”；

C、“抽出牌的点数为3的倍数”与“抽出牌的点数为5的倍数”；

D、“抽出牌的点数小于6”与“抽出牌的点数大于4”；

E、“抽出是红桃”与“抽出不是红桃”。

（学生思考）

学生甲：A、C、E为互斥事件，其中E为对立事件，B、D不是互斥事件。

师：通过以上问题的解决，你能否根据你们手中的扑克牌，以小组为单位提出一个有关互斥事件或对立事件的问题吗？请试试看。

（通过学生独立思考与讨论，由每小组各提出一个问题大家来讨论评判）

甲组学生代表：从一副去掉大小王的扑克牌中（52张）任取2张。“抽出的至少一张牌为红桃”和“抽

出的两张牌没有红桃”。

生：既是互斥事件也是对立事件。

师：下面我们回归到最初的问题情景中，请同学们思考以下问题。1个盒内放有10个大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球，若从中任取一个球，求（1）取到红球的概率；（2）取到绿球的概率？

生甲：取到红球概率1/2；

取到绿球概率3/10；

师：很好，若把“从中摸出一个球，得到红球或绿球记作事件AUB，则怎样的事件表示该事件发生？怎样求该事件的概率？它与事件A与B的概率存在怎样的关系？”

生乙：从盒中摸出一个球是红球或绿球时，“表示事件AUB发生”，事件AUB的概率等于事件A与事件B的概率之和。

师：哪位同学能说明P（AUB）=P（A）+P（B）成立的理由？

生丙：假定A、B是互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数是n1，事件B出现的频数是n2，则事件AUB出现的频数正好是n1+n2，所以事件AUB的频率为（n1+n2）/n=n1/n+n2/n。

而n1/n是事件A出现的频率，n2/n是事件B出现的频率，因此由概率的统计定义知P（AUB）=P（A）+P（B）。

（学生回答，老师总结、板书。）

师：例1、抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A “出现为“出现奇数点”，B为2点”，已知P （A）=1/2，P（B）=1/6，求“出现奇数点或2点”的概率。

生甲：事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A“出现奇数点”的概率与事件B“出现2点”的概率之和。即P（C）=P(A)+P(B)=1/2+1/6=2/3。（学生回答，教师板书）

师：例2、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，分别计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率。

生：解：分别记小明的考试成绩在90分以上，在80~89分分别为事件B、C，这两个事件彼此互斥，因此小明的考试成绩在80分以上的概率是P（BUC）=P（B）+P（C）=0.18+0.51=0.69。（学生回答，老师板书）师：请同学们仔细观察例2，计算小明考试及格的概率。（学生思考）

生：接着第一个问题，再设小明考试成绩在70~79分，60~69分为事件D、E，所以小明考试及格的概率，即成绩在60分以上的概率为P（BUCUDUE）=P（B）+P（C）+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93。

师：若事件A1、A2……A n两两互斥（彼此互斥），那么事件“A1UA2U……A n”发生的概率如何表示？

生：P（A1UA2U……UA n）=P（A1）+P（A2）+……+ P（A n）

师：这就是互斥事件的概率加法公式。若A与B是对立事件，根据对立事件的意义，你能得AUB的概率吗？

生：P（AUB）=P（A）+P（B）=1

师：为什么？

生：AUB是必然事件。

师：很好，例2中的问题改为求小明考试不及格的概率，设考试不及格为“事件A”，及格为事件“B”。

（让学生观察，计算，希望学生通过观察发现对立事件概率的计算公式。）

生：小明考试不及格的概率P（A）=1-P（B）=0.07

师：哪位同学总结一下，本题给我们提出了哪些解题方法与数学思想？

生甲：所求事件概率转化为彼此互斥事件的概率的和。

生乙：若求一个事件的概率，可转化为求其对立事件的概率，体现“正难则反”的转化思想。