第八讲 DFT性质-圆周卷积

X ( k )：L
线性 卷积
y( n ) : N

补0 DFT
IDFT
Y ( k )：L
圆周卷积
(4). 共轭对称性
• 定义
x((N n))N RN (n 1)
x(n)、X (k )互为DFT对，长度为N (0, N - 1)，定义 n0 x(0) x( N n) x((N n))N RN (n) x( N n) 1 n N 1 0 其他
n 0
sin Mk j ( M 1) k 1 WNMk N e N RN (k ) RN (k ) k 1 WN sin k N X (k )

n 0
k 0 N
2.3.2 DFT的性质 （1）线性 时域 频域
N1 N2 N x3 (n) ax1 (n) bx2 (n) N max{ N1, N2}
3 共轭对称性
DFT x* (n) X * ( N k ) • 复共轭序列的DFT X( N) X(0)
0 k N 1
nk 证明： DFT[ x (n)] x* (n)WN * n 0 N 1
1 N k N


n x(n)WN nk x(n)WN ( N k ) X * ( N k ) n0 n 0
nk X (k ) [ x (n )WN ]RN (k ) n 0
N 1
n 0 N 1
显然，
在Z平面的单位圆上采样
X (z )
？
X (k ) X ( z ) z e
j
j
2 k N
X (k ) X (e ) 2 k
N
4．例 用封闭形式表示下列有限长序列的N点DFT[x(n)] （a）x(n) RM (n)(1 M N ) 解： N 1 M 1 nk （a）X (k ) [ RM (n)WN ]RN (k ) [ WNnk ]RN (k )
Y ( l ) X (( k l ))
RN ( k )
2.3.3 有限长序列的圆周卷积和线性卷积
（1）圆周卷积与线性卷积的区别
x( n ) : M点序列，y( n ) : N点序列 线性卷积： f ( n ) x( n )* y( n )＝ x( m ) y( n m )
m
N 1
N点
WN e
j 2 N
1 IDFT [ X (k )] x(n) [ N
n 0 N 1 k 0
X (k )WN nk ]RN (n )
DFT是一种数学上的映射关系，反映了时域上 的 N点与频域上的 N 点之间的对应关系
例： N点 x ( n ) N点X ( k ) 把x ( n )加长补零为长度为 的序列y ( n ) rN 0 n N 1 x(n) y (n) N n rN 1 0 问Y ( k )与X ( k )的关系
任意一个序列 (n)，总可以表示为一个共 x 轭对称序列和 一个共轭反对称序列之 和 x(n) xe (n) xo (n) xe (n) 1 x ( n) x* ( n) 2
xe ( n ) x ( n )
* e


xo ( n ) x ( n )
* o
1 xo (n) x(n) x* (n) 2
L r L
M 1

r
~ f ( n rL )RL ( n ) f ( n )RL ( n )
圆周卷积是线性卷积 以L为周期延拓后，取 （0, L-1)间的主值序列
L N M 1时， 圆周卷积＝＝线性卷积
例： x(n) R4 (n)
x(n) h(n) (L=4)
意义：频域内离散化---快速算法（FFT）--易于计算机实现
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DFS 变换对
nk DFS [ x (n )] x (n )WN X (k ) n 0
N 1
1 IDFS [ X (k )] N
X (k )WN nk x(n ) k 0
N 1
W
性质：
kn ( k 周期性： WN WNk N )n WN (nN )
－ kn * ( k 共轭对称性： WN kn ＝（WN ） WNN k )n WN ( N n)
正交性：
N 1 k 0
kn WN
N 0
n rN , r为整数 其他n
DFT 变换对
nk DFT [ x(n)] X (k ) [ x(n )WN ]RN (k )
n
x((n)) 4
3 3 3
2 1
2 1
0 1 2 3
2 1


n
x(((( n ))))R4 (n) xn 2 24 4
3
2

1
0 1 2 3

n
若
DFT [ x(n)] X (k )
DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN mk X (k )
则 且 证明：
m 0
M 1 m 0
L 1
M 1 m 0
x( m ) y(( n m )) R ( n )
L L
x( m ) y( n m rL )RL ( n )
r

r m 0
x( m ) y( n m rL )R ( n ) x( n )* y( n rL )R ( n )
由卷积表达式可知，f(n)的非零区间应满足
0 n M N 2
x( n )
补0到L
L 1
y( n )
补0到L
L max M , N
f c ( n ) x( m ) y(( n m ))L RL ( n )
m 0
f c ( n ) x( m ) y(( n m ))L RL ( n )
若
x( n ) X ( k ), y( n ) Y ( k )
则
F( k ) X ( k ) Y ( k )
N
f ( n ) IDFT[ F ( k )] x( m ) y(( n m ))N RN ( n )
m 0 N 1
y( n ) 周期延拓 ~( n ) 反转 ~( m ) y y 右移n y（( n m )） 取主值序列 y（( n m )） RN ( n ) N N 与x( x( n ) y( n ) n )卷积
2

1
1
0 123 4 5
n
…
0 123
…n
（2）用圆周卷积实现线性卷积 ∵L 是可以人为选择的，∴可通过选择适当的 L 值，使 x(n) h(n) x(n) h(n) 例如选 L=8。
… … …
1
1
0 123
x(m)
…m …m
利用计算机运算时
y ( n) x ( n) h( n)
N
N
N
X 3 (k ) aX 1 (k ) bX 2 (k )
（2）圆周移位 若 f (n) x((n m)) N RN (n) ，称f(n)为x(n)的 m点圆周 移位序列。 步骤： ⅰ）将x(n)以N 为周期进行周期延拓； ⅱ）移位 m点； ⅲ）取主值序列。
3
2
x(n)
1

0

N 1 m n m

x((n)) N WNnk
x(n) N WNnk以N为周期，在任意周期上的求和相同 WN mk x((n)) N W
n 0 N 1 nk N
WN mk x(n)WNnk WN mk X (k )
n 0
N 1
（3）圆周卷积 — 周期卷积取主值序列
取主值区间
DFS
~ X (k ) —周期序列(N)
x(( n)) N —有限长序列x(n)
=
的周期延拓
X (( k )) N —有限长序列X(k)
=
的周期延拓
2.3.4 DFT与Z变换
（1） DFT与Z变换的关系 对于有限长序列x(n)（0nN1 ）
X ( z ) x ( n) z n
求IFFT 补零至 L 补零至 L 求FFT 求FFT
h((m)) N
0
1
0
h((1 m)) N
…m
Y (k ) X (k ) H (k )
L N M 1
…
33
x ( n) h( n)
1
2
2
…
1
0 123 4 5 6 7
…n
L N M 1
x( n )：M
补0
DFT
kn N
e
j 2N kn
周期卷积
~ ( n ) ~ ( n ) ~ ( m) ~ ( n m) x1 x2 x1 x2
m 0 N 1
两个N 点的周期序列进行周期卷积，其 结果仍为周期为N 的周期序列。
DFS因子： W
kn N
e
j 2N kn
是一个周期复序列
x(n) x* (n) 共轭偶对称 x(n) －x* (n) 共轭奇对称
h(n) R3 (n) 分别求 x(n) h(n)
x(m)
…
1
0 123
x(m)
…m …m … …
1
1
0 123
…m
…m
…
…
1
0
h(m)
h((m)) N
0
1
0
h(1 m)
…m
1
0
h((1 m)) N
…m

33
x ( n) h( n)
2

3 33 3
x ( n) h( n)

关于原点的纵坐标 的对称性
• 圆周共轭偶（奇）对称序列
1 * xep (n) xep ( N n) x(n) x * ( N n) 2 1 * xop (n) xop ( N n) x(n) x* ( N n) 2
* xe (n) xe (n)
圆周卷积 — 频域
若
x( n ) X ( k ),
N
y( n ) Y ( k )
N
则
f ( n ) x( n ) y( n )
N
1 F ( k ) IDFT[ f ( n )] N
1 ＝ N
N 1 l 0
X ( l )Y (( k l ))
l 0
N
N 1
N
RN ( k )
1 N n N
x(n) 周期延拓后，反转 ~(n) x ~( N n) 取主值 x( N n) x
右移N
k 0 X (0) X ( N k ) X ((N k )) N RN (n) X ( N k ) 1 N k N 1 0 其他
目
录
• 第1章 离散时间信号、系统和z变换 • 第2章 DFT及其快速算法 • 第3章数字滤波器设计 • 第4章 离散随机信号的处理
第2章 DFT及其快速算法 • 2-1 周期序列
• 2-2 离散傅立叶级数
• 2-3 离散傅立叶变换
• 2-4 频率采样理论
• 2-5 快速傅立叶变换 • 2-6 离散傅立叶反变换（IDFT) 的运算
Y( k ) X ( k ) r
注意长度N
2． DFT与 DFS
（1） DFT与DFS的关系
时域
x(n)—有限长序列(N)
频域
X(k)—有限长序列(N)
=
=
DFT
~(n) R (n) —周期序列 ~( n ) x x N
取主值区间 ~( n ) —周期序列(N) x
~ ~ X (k ) RN (k ) —周期序列 X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x(n)
N 1 n 0
DFT [ x((n m)) N RN (n)] x((n m)) N RN (n)WNnk
N 1 n 0
x((n m)) N WNnk 令m n n, WN mk
N 1
*
N 1
*
？
X (k )
*
DFT x* ( N n ) X * ( k ) DFTx( N n ) X ( N k )


1 6
共轭对称与共轭反对称
如果x(n)为复序列，则 1)序列满足x(n) x (n),则称为共轭对称序列 xe (n) 1)序列满足x(n) x (n),则称为共轭反对称序列 xo (n)