安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题 数学(理) 含答案

安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题

数学（理）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.命题“∀x>0，使是x 2

＋x ＋1>0”的否定是

A.∃x 0≤0，使得x 02

＋x 0＋1≤0 B.∃x 0>0，使得x 02

＋x 0＋1≤0 C.∀x>0，使得x 2

＋x ＋1>0 D.∀x ≤0，使得x 2

＋x ＋1>0 2.已知双曲线x 2

－y 2＝2的两个焦点为F 1和F 2，则|F 1F 2|＝ A.222 C.4 D.2

3.正方体不在同一侧面上的两顶点A(－1，2，－1)，B(1，0，1)，则正方体外接球体积是 A.3323

π

34π 4.下列命题中真命题的个数有

①∀x ∈R ，x 2

－x ＋

14≥0； ②∃x>0，lnx ＋1ln x

≤2； ③若命题p ∨q 是真命题，则p ⌝是假命题； ④y ＝2x －2－x

是奇函数

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5.已知空间向量a ＝(1，0，1)，b ＝(1，1，n)，且a ·b ＝3，则向量a 与λb (λ≠0)的夹角为 A.

6π B.6π或56π C.3π D.3

π或23π

6.对于实数x ，y ，若p ：x ≠2或y ≠3；q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 7.已知三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥最长棱为 7 B.23258.如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，BC ＝BD ＝2，点E 是CD 的中点，若直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值为

1

3

，则点B 到平面ACD 的距离 A.

22 B.43 C.23 D.23

9.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”。如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆。给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1

2

；

②当a＝－4

3

时，直线y＝a(x－2)与黑色阴影部分有公共点；

③当a∈[0，1)时，直线y＝a(x－2)与黑色阴影部分有两个公共点。其中所有正确结论的序号是

A.①

B.①②

C.①③

D.①②③

10.已知双曲线C1：

22

1

8

x y

m

+=与双曲线C2：

2

21

4

y

x-=有相同的渐近线，则双曲线C1的离心率为

A.5

4

5

5

2

11.如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2＋y2－2x－3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围

A.(2，4)

B.[2，4)

C.(4，6)

D.[4，6)

12.已知F1，F2分别为椭圆C：

22

2

1(2)

4

x y

a

a

+=>的左右焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，满足△

PF1F2的面积为42C的离心率的取值范围

A.(066

1) C.(0

33

1)

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)

13.抛物线

2

4

x

y=的焦点关于直线x－y＝0对称的点的坐标为。

14.已知四面体ABCD的顶点分别为A(2，3，1)，B(1，0，2)，C(4，3，－1)，D(0，3，－3)，则点D到平

面ABC 的距离 。

15.曲线上的点M(x ，y)到定直线l ：x ＝8的距离和它到定点F(2，0)的距离的比是常数2，则该曲线方程为 。

16.椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一个焦点，已知椭圆C 长轴长为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到该焦点所经过的路程为6c ，则椭圆C 的离心率为 。

三、解答题：(本大题共6小题，其中17小题10分，18～22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17.已知命题p ：方程

22

1127

x y m m +=--表示双曲线；命题：q ，∀x ∈R ，不等式x 2＋2mx ＋2m ＋3>0恒成立。

(1)若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；

(2)若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数m 的取值范围。

18.己知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝

3

π

，DD 1＝2。

(1)证明：DD 1⊥BD ；

(2)求异面直线CA 1与AB 夹角的余弦值。

19.若直线l ：y ＝(a －1)x －1与曲线y 2

＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合。

20.己知椭圆C ：2

212

x y +=左右焦点分别为F 1，F 2。 (1)求过点P(

12，1

2

)且被P 点平分的弦的直线方程； (2)若过F 2作直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且222BF F A =，求|AB|。

21.在如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，BC 2BB 12， B 1C 的中点为O ，若线段A 1C 1上存在一点P 使得PO ⊥平面AB 1C 。