九年级数学圆心角
圆心角与圆周角(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
圆心角与圆周角（4种题型）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．四．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【考点剖析】一．圆心角、弧、弦的关系（共9小题）1．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙OC．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE ＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是．【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．【解答】解：∵，∠AOE＝32°，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠AOC＝∠BOD＝32°，∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．故答案为：64°．【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．3．（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O 的周长为（）A．4πB．6πC．8πD．9π【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC ＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OC、OD∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．4．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝140°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（2023•路桥区校级二模）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是．【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝4﹣8，可得结论．【解答】解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，∴AH＝AO+OH＝12，∴AT＝＝＝4，∴∠OCT＝∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠RCE，在△OCD和△TCE中，，∴△OCD≌△TCE（SAS），∴ET＝OD＝8，∴AE≥AE﹣ET＝4﹣8，∴AE的最小值为4﹣8．故答案为：4﹣8．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2023•宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为米，BC长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB 为．【分析】由题意知，＝＝，＝＝计算求解OA ，OB 的值，然后根据AB ＝OB ﹣OA 计算求解即可．【解答】解：由题意知，＝＝，＝＝，解得OA ＝1，，∴＝0.8（米）， 故答案为：0.8米．【点评】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．7．（2023•萧山区校级模拟）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ＝AD ，AC 交BD 于点E ，已知∠COD ＝135°．（1）求∠AEB 的度数，（2）若CO ＝1，求OE 的长．【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质可求出答案；（2）由相似三角形的判定和性质得出＝，进而得到＝，而OE+BE ＝OB ＝1，代入求解即可．【解答】解：（1）∵BD 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∴∠BAD ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∵∠COD ＝135°，∴∠BOC ＝180°﹣135°＝45°，∴∠BAC＝∠BOC＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°；（2）在Rt△ABD中，AB＝AD，BD＝2OC＝2，∴AB＝×BD＝，∵∠ABC＝∠BOC＝45°，∴AB∥OC，∴△COE∽△ABE，∴＝，即＝，而OE+BE＝OB＝1，∴OE＝﹣1．【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理是正确解答的前提．8．（2023•玉环市二模）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．（1）求证：点C平分弧BD．（2）利用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点P（保留作图痕迹）．【分析】（1）连接OB，由平行线的性质，等腰三角形的性质，得到∠DOC＝∠COB，由此点C平分．（2）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，得到两弧的交点，从而得到点P．【解答】（1）证明：连接OB，∵OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAB，∠COB＝∠OBA．∵OA＝OB，∴∠DOC＝∠COB，∴点C平分．（2）作法：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于M，②连接OM交AB于P，∴点P即为所求作的点．【点评】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，尺规作图，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，用尺规作线段垂直平分线的方法．9．（2023•婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．二．圆周角定理（共11小题）10．（2023•鹿城区一模）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，∠A＝∠D＝40°，根据直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵∠A+∠D＝80°，∠A＝∠D，∴∠A＝40°，∴∠ACB＝50°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．11．（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．12．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为．【分析】根据＝，∠CAB＝25°，得∠CAD＝∠CAB＝25°，由AB是⊙O的直径，得∠C＝40°，然后分三种情况讨论即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠CAB＝25°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝40°，当△CDM为等腰三角形时，①当MD＝MC时，∠PDC＝∠C＝40°，②当CD＝CM时，∠PDC＝＝70°，③当DM＝DC时，∠PDC＝180°﹣2×40°＝100°，故答案为：40°或70°或100°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是求出∠C的度数和分三种情况讨论求角．13．（2023AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝．【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵∠AED＝100°，∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，故答案为：50°．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．14．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．15．（2023•余杭区模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠DAC＝25°．则∠BAC等于（）A．40°B．42°C．44°D．46°【分析】利用圆周角定理和弧与圆心角的关系求解即可．【解答】解：连接OC，OD，∵点D是弧AC的中点，∴弧AD＝弧CD，又∠DAC＝25°，∴∠AOD＝∠COD＝2∠DAC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝80°，∴，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理、弧与圆心角的关系，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．16．（2023•杭州模拟）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝度；的值等于．【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，进而可得出答案．【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2＝EO•BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，∴a2＝x（x+a），解得，x＝a（负值舍去），∴OE＝a，∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，∴＝＝．故答案为：36，．理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2023•钱塘区三模）如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．（1）求∠B﹣∠D的值．（2）当∠B＝75°时，求的值．（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．【分析】（1）由圆周角定理求出∠BCD＝∠BOD＝45°，由等腰三角形的性质推出∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB ﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；（2）由直角三角形的性质得到＝，由等腰三角形的性质得到CD＝OD，即可求出的值；（3）由OC∥BD，得到△CBD的面积＝△ODB的面积，因此△CBE的面积＝△OED的面积，即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，∵半径OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∴∠BCD＝∠BOD＝45°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；（2）∵∠B＝75°，∠DCB＝45°，∴∠CEB＝60°，∴∠OED＝60°，∴＝，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝120°，∴CD＝OD，∴＝＝．（3）连接BD，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝67.5°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBE＝67.5°，∴∠OCE＝∠OCB﹣∠BCD＝22.5°，∵∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝45°，∴∠BDC＝∠BOC＝22.5°，∴∠OCE＝∠BDC，∴OC∥BD，∴△CBD的面积＝△ODB的面积，∴△CBE的面积＝△OED的面积，∴＝1．【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，关键是由圆周角定理∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质即可求出∠OBC﹣∠ODC＝45°；由直角三角形的性质，等腰三角形的性质求出OE、CD与OD的数量关系，即可求出的值；由OC∥BD，即可得到△CBE的面积＝△OED的面积．18．（2023•衢州二模）如图，在⊙O中，OA，OB是直径，C是劣弧上的一点．且∠AOB＝120°．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC＝BC．求证：四边形ACBO是菱形．【分析】（1）由题意可得劣弧＝120°，从而可得优弧＝240°，再由圆周角定理即可求∠ACB的度数；（2）连接OC，利用SSS可证得△AOC≌△BOC，则有∠AOC＝∠BOC，可求得∠AOC＝∠BOC＝60°，可得△AOC是等边三角形，则有AO＝AC＝OC，同理得BO＝BC＝OC，故AO＝AC＝BC＝BO，即可判定四边形ACBO 是菱形．【解答】（1）解：∵C是劣弧上的一点，且∠AOB＝120°，∴劣弧的度数为：120°，∴优弧的度数为：240°，∴∠ACB＝×240°＝120°；（2）证明：连接OC，如图，∵OA，OB是半径，点C在⊙O上，∴OA＝OB＝OC，在△AOC与△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC＝OC，同理得：BO＝BC＝OC，∴AO＝AC＝BC＝BO，∴四边形ACBO是菱形．【点评】本题主要考查圆周角定理，菱形的判定，圆心角，弦，弧的关系，解答的关键是熟记相应的知识并灵活运用．19．（2023•金东区二模）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，点E是CA延长线的一点，射线ED交⊙O点于F，连结AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．（1）求证：AB∥FE．（2）求∠FCA的度数．（3）求CE的长．【分析】（1）由OA＝OD，得到∠ODA＝∠OAD，而∠CDA＝∠EDA，因此∠OAD＝∠EDA，即可证明AB∥FE；（2）由AB∥FE，得到∠E＝∠CAB＝30°，由圆周角定理得到∠EFC＝90°，由直角三角形的性质，即可得到∠FCA的度数；（3）可以证明DC＝DE，由圆周角定理得到AD⊥CE，因此CE＝2CA，由cos∠DCA＝＝，CD＝AB＝8，求出AC的长，即可得到CE的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴AB∥FE；（2）解：∵AB∥FE，∴∠E＝∠CAB＝30°，∵CD是圆的直径，∴∠EFC＝90°，∴∠FCA＝90°﹣∠E＝60°；（3）解：∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠OCA＝∠E＝30°，∴DC＝DE，∵DC是圆的直径，∴AD⊥CE，∴CA＝EA，∴CE＝2CA，∵cos∠DCA＝＝，CD＝AB＝8，∴AC＝4，∴CE＝2×4＝8．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握以上知识点是解题的关键．20．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．（1）求证：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．（3）连结GO，OF，如图2，求证：．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG ＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如图所示：连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，解得：，∴GE的长为；（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，∴，在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠COG＝∠BOG，∴∠IOB＝2∠EOG，∵OF＝OB，OC为半径，∴OC⊥BF，∴∠OIB＝90°，∵∠IOB+∠IBO＝90°，∴．【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．三．圆内接四边形的性质（共11小题）21．（2022秋•嘉兴期末）已知，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】先根据在圆内接四边形ABCD中∠A：∠B：∠C＝1：2：5，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝5x，再根据圆内接四边形的对角互补求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中∠A：∠B：∠C＝1：2：5，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠C＝180°，即x+5x＝180°，解得x＝30°，∴2x＝60°．即∠B＝60°，∵∠B+∠D＝180°，∴D＝120°．故选：C．22．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A，∵∠CBF＝∠A+∠E，∠DCB＝∠CBF+∠F，∴180°﹣∠A＝∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A＝∠A+40°+60°，解得∠A＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．23．（2023•龙港市一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠BAD ＝110°，则∠DCE＝度．【分析】由∠DAB+∠DCB＝180°，再结合圆周角定理，即可计算∠DCE的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝110°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴∠DCB＝180°﹣110°＝70°，∵BE是⊙O的直径，∴∠DCE+∠DCB＝90°，【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．24．（2022秋•仙居县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点C是弧BD的中点，连接BD，若∠CBD＝35°，求∠A的度数．【分析】根据圆的性质及等腰三角形的性质得出∠CBD＝∠CDB＝35°，根据三角形内角和推出∠C＝110°，再根据圆内接四边形的性质即可求解．【解答】解：∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝35°，∴∠C＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝70°．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．25．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．26．（2023•萧山区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，延长AB到点E，使得BE ＝AD，连结AC，CE．（1）求证：AC＝CE．（2）若，，∠BCD＝120°，求BC的长．【分析】（1）根据圆内接四边形性质易得∠D＝∠CBE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得CD＝CB，再结合已知条件证得△ACD≌△ECB，从而证得结论；（2）作CM⊥AB交AB于点M，结合（1）中所求易得AE的长度，再根据圆内接四边形性质及圆心角、弧、弦的关系可得∠CBM＝30°，利用三线合一及三角函数可求得CM，BM的长度，最后利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵点C时的中点，∴CD＝CB，在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AC＝CE；（2）如图，作CM⊥AB交AB于点M，∵AD＝4，BE＝AD，∴BE＝4，∵AB＝6，∴AE＝AB+BE＝6+4＝10，∵AC＝CE，CM⊥AB，∴AM＝AE＝5，∴BM＝AB﹣AM＝6﹣5＝，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∵CD＝CB，∴∠CAM＝∠BAD＝30°，∵∠AMC＝90°，∴tan∠CAM＝tan30°＝＝，∴CM＝5×＝5，∴BC＝＝＝＝2．【点评】本题主要考查圆的相关性质及全等三角形的判定及性质，（2）中作CM⊥AB交AB于点M，构造直角三角形及利用三线合一求得线段长度是解题的关键．27．（2023•金华三模）在⊙O中，点A，B，C，D都在圆周上，OB∥DC，OD∥BC，则∠A的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A＝180°，根据平行线的性质得出∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，求出∠C＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，求出∠C＝2∠A，再求出∠A即可．【解答】解：∵点A，B，C，D都在圆周上，∴∠C+∠A＝180°，∵OB∥DC，OD∥BC，∴∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，∴∠C＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠A，∴∠C＝2∠A，即3∠A＝180°，∴∠A＝60°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质等知识点，能求出∠C+∠A＝180°和∠BOD＝2∠A是解此题的关键．28．（2023•萧山区校级模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（）A．2α﹣β＝90°B．α+β＝90°C．2β+α＝180°D．α+9β＝540°【分析】先根据平行线的性质得出∠ODC＝∠AOD＝α，再由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求得∠即可．【解答】解：连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOD＝α，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝α，∴∠DOC＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝180°﹣α，∴∠ABC＝∠AOC＝90°﹣α，即β＝90°﹣α，∴2β+α＝180°．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．29．（2022秋•上城区期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB ＝100°，则∠ADC的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】连接BD，分别求出∠ADB，∠CDB，可得结论．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∵CD＝CB，∠C＝100°，∴∠CDB＝∠CBDD＝40°，∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°+40°＝130°．故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．30．（2022秋•嵊州市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB．（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE∴∠E＝∠DCE，（2）解：如图，连接AC，∵∠EDC＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝∠AEB∴AB＝BE∵AB＝8，∴BE＝8，∵点C为BE的中点，∴，在Rt△ABC中，，∴⊙O的半径为．31．（2023•杭州二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．四．相交弦定理（共4小题）32．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE ＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．33．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．34．（2022秋•温州期末）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE •DE的值为（）A．6B．7C．12D．16．【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE ＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．35．（2022秋•嵊州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，则O到CD的距离为．【分析】连接AD、BC、OC，过O作OH⊥CD交CD于H，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明△ADE∽△CBE，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得OH即可求解．【解答】解：如图，连接AD、BC，则∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴，∵AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，∴2DE2＝AE•BE＝2×8＝16，AB＝10，∴，，∴， 过O 作OH ⊥CD 交CD 于H ，连接OC ，则， 在Rt △OHC 中，， ∴，即O 到CD 的距离为， 故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在O 中,45CD A AB OB =∠=︒，则COD ∠=（ ）A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．40︒【答案】B 【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求解．【详解】解：∵,45CD A AB OB =∠=︒，∴COD ∠=45︒，故选：B ．【点睛】本题考查了同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，掌握同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，则图中一定与ABC ∠相等的角是（ ）A ．BAD ∠B ．ACD ∠C ．BCD ∠ D ．ADC ∠【答案】D 【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可．【详解】∵ABC ∠所对应的弧为AC ，∴ADC ABC ∠=∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BC CD =，连接AC ．若40DAB ∠=︒，则B ∠的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A 【分析】连接AC ，根据等弧所对的圆周角相等可得1202DAC BAC DAB ∠=∠=∠=︒，再根据直径所对的圆周角为直角可得90ACB ∠=︒，最后根据三角形的内角和即可求解．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点 ∴1202DAC BAC DAB ∠=∠=∠=︒∵AB 为O 的直径∴90ACB ∠=︒∴180902070ABC ∠=︒−︒−︒=︒故选：A ．【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．4．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB 把圆周分成1:3两部分，则弦AB 所对圆心角的度数为（ ）【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：1360904°´=°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90︒， 优弧AB 的度数为：33602704︒⨯=︒，即：优弧所对的圆心角的度数为270︒，∴弦AB 所对圆心角的度数为90︒或270︒；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 5．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，CD 是O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定．．．成立的是（ ）。
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..
圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。
华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
OABCCA EFDO B第7讲 圆心角，圆周角定理知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧AB 所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠BODC BA例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一．选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°OBA C2143OB ACD(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123 D ．54．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.28．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C ． D．29．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二．填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于．4．如图5，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAE DOBC21EDOB C(4) (5) (6)5．如图6，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．OBA CD6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是 ．8．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为 ．9．如图，点O 为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D 在BA 的延长线上，AD=AC ，则∠D= ．10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为 ．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 三．解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？O BA CP30°B ANOMP OBA C y xM2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．4．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．6．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC•AF=DF•FE．7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．课后巩固：1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°AODBC2.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
九年级数学圆中的角知识点
九年级数学圆中的角知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何图形，而圆中的角也是其中的一个重要概念。
本文将为您介绍九年级数学圆中的角的知识点。
一、圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中，以圆心为顶点的角所对的弧长恰好等于该角的大小。
这是因为在圆的任意两点之间，弧长与圆心角是相等的。
二、弧度制和度数制在计量圆心角时，我们通常使用度数制和弧度制。
度数制是我们较为熟悉的角度计量方式，一圆的度数为360°。
而弧度制则是将角度的度数转换为弧长与半径之比的计量方式，通常用π来表示。
三、圆内切、圆心角在圆内切问题中，我们经常遇到的一个重要概念是圆心角。
当两个圆相切时，连接切点与圆心所形成的角即为圆心角。
在圆内切问题中，我们可以利用相关的角关系来求解问题。
四、弦和弦心角在圆中，一条弦是连接圆上两个点的线段。
而以圆内任意一点为顶点的角，它的两条边分别为切线和与切线相交的弦，我们称之为弦心角。
在求解弦心角时，我们可以利用圆周角的性质来推导和计算。
五、相交弦和相交弦心角当两条弦在圆内相交时，所形成的角即为相交弦心角。
相交弦心角是圆内切角和圆周角的重要推论。
我们可以利用相交弦心角的性质来解决圆内相交问题，如求解弦的长度以及圆内接四边形的性质等。
六、正多边形的圆内角和圆心角在正多边形中，每个内角都相等，且每个内角都对应一个圆心角。
通过研究正多边形的特性，我们可以得出正多边形内角的计算公式，从而在解决相关题目时能够更加便捷地计算。
七、切割圆和弧长的概念圆的切割是指通过特定的线段将圆分割成几个部分。
在切割圆的过程中，我们需要关注到切割弧的长度。
通过计算切割弧的长度，我们可以更好地掌握切割圆的相关知识点，并应用到实际问题中。
结语通过本文的介绍，希望能够帮助九年级的同学们掌握圆中的角的知识点。
在数学学习中，理论的掌握和实践能力的培养同样重要，希望同学们能够通过大量的练习和实例分析，不断提升自己的数学能力。
加油！。
九年级数学圆心角
独立作业
11
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
• 习题4.1
5-7题
• 祝你成功!
结束寄语
下课了!
•你做成功一件事,千万不 要等待着享受荣誉,应该 再做那些需要做的事.
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喝的，这夜叉就激动的话越说越多。“他每次来就是给你送完吃的就走，什么也不说吗？”如果真是这样，那可就真是 奇了怪了。“嗯，公孙公子每次来的时候就是把好吃的给我，然后就在店里和黄大哈咯聊天，以前吧黄大哈咯来也就是 找姑姑的，可自从公孙公子开始来了之后吧，她就开始天天来这里了，比钟伯上班来的还要早。”钟伯是陆婉娉在当地 雇佣的一个负责管理民间翻译官的雇员，不一定坐班，但必须天天报到，负责处理一些杂事儿，女鬼大人不在的时候， 就由他负责全权照料店里店外的生意，以及顺便帮忙照顾一下夜叉。“是不是他们一起帮钟伯管理这里的一些杂事儿 啊？”这下，陆婉娉终是彻底弄明白了这个黄大哈咯为啥什么都不贪图就直接选择了来女鬼中介上班当免费秘书的原因 了，原来如彼啊！“姑姑英明，不仅如此，那个公孙公子也很厉害的，他也会好些国家的语言呢，中间他还帮过不少忙， 免费给合作了不少生意，就是姑姑你回来之后补签上印章的那几份。”听姑姑不再责怪自己偷吃东西这件重大事情，夜 叉也不敢慌恐不安，也不用人扶，很自觉的从地上爬了起来。反正从来都是她愿意跪就跪，姑姑从来不强迫她下跪，但 你若是跪也吧，也不扶你，用姑姑的话来说，毕竟你做了错事，所有这些夜叉也不敢有所违逆，这可是自己一直敬着爱 着的姑姑啊！“所以你就许下了让姑姑请公孙公子吃饭这个承诺了？”弄明白了事情的来笼去脉，女鬼大人脸色初霁。 “嗯嗯嗯，夜叉吃了人家那么多，当时就顺嘴一说，谁知道这位公孙公子是个实诚人，还真就来了呢！”湖吃海喝了人 家那么些吃食，夜叉难得有些不好意思的脸红了一下。这就奇了怪了，女鬼大人不自觉的皱了皱眉头，单凭自己和公孙 公子的翻译合同了。要知道自己回来后也是吓了一大跳， 那补签的合同却是拿了一笔不菲的佣金，足足顶了去年一年的营业额。 而明眼人又能看得出来，黄大哈咯虽然对公孙 公子一见钟情，亦或是两见钟情，但公孙公子与黄哈咯却颇有点逢场作戏的意思，有的也只是顺嘴打磕。再者说了，即 便是黄哈咯与公孙公子两个人郎有情妾有意的，那也是人家两家的事情，这毕竟不是婚姻中介所，公孙公子也犯不上巴 结这小小的女鬼中介啊！可除此之外，还真想不起其它任何托词，难不成，难不成„„女鬼大人眼球子转了几下，最后 定在夜叉的那张肥硕的脸上，左看右看，又不像啊！不过不像也不是没有可能，夜叉虽然长的和公孙公子无甚相似之处， 但年龄应该差不多。夜叉是个弃儿，估计是小时候烧坏了脑子被收留的，收养的时候不过三四岁，啥啥也记不得了，脑 子不好使长的又丑，估计如此才被父母嫌弃抛弃的。第020章 魂
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
九年级数学圆第四节圆心角知识梳理及典例分析
第四节圆心角知识点梳理【知识点一】圆心角定理1.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心2.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【知识点二】圆心角与它所对弧的度数关系1.1o 圆心角所对的弧叫做1o 的弧，n o 圆心角所对的弧叫做n o的弧2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。
【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等典例分析【题型一】利用圆心角的关系说明弧的关系【例1】 如图,在⊙O 中,D,E 分别是半径OA ,OB 上的点,且AD=BE,C 为AB 上的一点,且CD= CE,那么AC =BC 吗?为什么?【变式1】 如图,在⊙O 中,AB 为直径，CO ⊥AB ，D 为CO 的中点，DE ∥AB ，求证：2EC EA【题型二】利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明【例1】如图,⊙O 的弦 AB, CD 相交于点 P ,P0平分∠APD.求证:AB=CD【变式1】小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在图中，若∠AOB=2∠COD，则2，AB=2CD，你同意吗？说明理由。
AB CD【题型三】与圆心角有关的实际问题【例1】已知来庄、李庄分别位于直径为300 m的半圆弧上的三等分点的位置,现在要在河(半圆弧所在圆的直径所在的直线)修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最少需要多少米水管。
【变式1】某村想在村口建如图形状的门, 已知AB的度数为120°,立柱AC高2m.若要使高3 m，宽2m的集装箱货车能通过该门.问：AB的半径应大于于多少？【题型四】弧、弦之间的关系与垂径定理的综合应用【例1】如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连结PA，PB。
初中数学人教版九年级上册《2.弧、弦、圆心角》课件
A
O C
新知导入
弧、弦、圆心角之间的关系
练一练：在同圆中，下列四个命题：
①圆心角是顶点在圆心的角；
②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；
③两条弦相等，它们所对的弧也相等；
④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ B ）
A.①②③④
B.①②④
C.②③④
D.②④
随堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠AOD=100°， 若点C为BD的中点，则∠COB的度数为（ A ） A.40° B.60° C.80° D.120°
圆是中心对称图形，圆心就是它
A
B 的对称中心.
1 圆心角
旋转90°
旋转270°
旋转300°
归纳：把圆绕圆心旋转任何一个角度，所得的图形都 与原图形重合.
新知导入
圆心角
O r
A B
定义：顶点在圆心的角,叫圆心角， 如∠AOB .
圆பைடு நூலகம்角 ∠AOB 所对的弧为___A__B___. 圆心角 ∠AOB所对的弦为____A_B___.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等, 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的优弧和劣弧分别相等．
24.1.3
谢谢大家
人教版 九年级数学上
24.1.3
弧、弦、圆心角
人教版 九年级数学上
知识要点
1.圆心角 2.弧、弦、圆心角之间的关系
新知导入
看一看：视察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
新知导入
看一看：视察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
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圆心角
九年级上册数学圆心角知识点
九年级上册数学圆心角知识点数学是一门精密而又美妙的学科，其中一个重要的概念就是圆心角。
在九年级的数学课程中，我们将会学习有关圆心角的知识。
本文将为大家介绍九年级上册数学中有关圆心角的知识点。
首先，让我们来了解一下什么是“圆心角”。
在一个圆中，以圆心为顶点的角被称为圆心角。
无论它的两条边长短如何，圆心角的度数总是不变的。
也就是说，无论我们在圆上选择哪两点来作为圆心角的两条边，夹角的大小都是固定的。
圆心角的度数有一个重要的性质：圆心角的度数是它所对应的弧的度数的两倍。
这是一个非常有用的性质，通过这个性质，我们可以互相转换圆心角的度数和弧的度数。
利用这个性质，我们可以解决很多与圆有关的问题。
一个与圆心角有关的概念是弦。
弦是圆上的两个点之间的线段，它的两个端点在圆上。
圆心角的两条边可以认为是围绕着圆心旋转的弦。
通过研究该弦的长度和圆心角的度数之间的关系，我们可以发现弦长和圆心角之间存在着一种规律。
当圆心角的度数小于180度时，我们将其称为锐角。
当圆心角的度数等于180度时，我们将其称为半圆角。
当圆心角的度数大于180度但小于360度时，我们将其称为钝角。
不同类型的圆心角在数学上有着各种不同的性质和应用。
圆心角有许多实际应用。
例如，在建筑设计中，设计师常常需要按照一定的角度来安排建筑物的布局。
圆心角的性质可以帮助他们合理地确定建筑物的位置和朝向。
此外，在电子产品的制造中，圆心角的概念也应用得非常广泛。
通过理解圆心角和弧度的关系，工程师可以进行精确的设计，以确保产品的性能和准确度。
在数学学习过程中，我们还可以通过解决一些实际问题来应用圆心角的知识。
例如，我们可以利用圆心角的性质来计算两个不相交圆的位置关系。
通过观察两个圆交点的个数，我们可以判断它们是内离、外离还是相切。
利用圆心角的知识，我们可以更好地理解这些问题，并提供解决方案。
在结束之前，让我们再总结一下九年级上册数学中关于圆心角的知识点。
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数是它所对应的弧的度数的两倍。
2圆心角和圆周角第一课时-冀教版九年级数学上册课件
∴∠AOM=∠BOM，AM=BM
∵AE=BF
O
∴EM=FM，而OM⊥AB
∴OE=OF
A
E MF
B ∴∠EOM=∠FOM ∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM
C
D 即∠AOC=∠BOD
∴AC=BD
巩固提升
圆心角性质的应用 在圆中 1.求弧相等可以转化为求角相等或线段相等； 2.求线段相等可以转化为求角相等或弧相等； 3.求角相等可以转化为求线段相等或弧相等.
A
●
MO
N
OM=ON (OC=OD)
B
△COM≌△DON(HL)
∠AOC=∠BOD
同圆中相等的圆心角 所对的弧相等
A⌒D=B⌒C
典例精析
例1.（变式）已知，如图，AB为⊙O的直径，
点M,N分别是AO,BO的中点， CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别⌒为M⌒、N.求证：
AC=BD. C
方法二：连接OC、OD、AC、BD
③②①在在在⊙⊙⊙OO中O中中
B′
∵ABA∵∴⌒=BAA∵∴⌒A=BBA∠'A⌒B==B⌒A'AA'B，=O⌒'''ABB,B⌒∠'''B=,AA∠',⌒OCAABBB'O===∠BAA'A''CB⌒'OB' 'B'
·
O
A
∠AOB=∠A'OB'
C ●
结论
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的 两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要 有一组量相等，其他两组量就分别相等.
方法一：连接OC、OD
A
M ON ●
初三数学圆心角试题答案及解析
初三数学圆心角试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧的中点，若∠BAC=30°，则∠DCA= ．【答案】30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，从而求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到∠D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则∠DAC=∠DCA，根据内角和公式即可求得其度数．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°；∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=120°；∵D是弧AC的中点，∴DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=（180°﹣120°）÷2=30°．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识．2.已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是．【答案】15°【解析】易得∠OAC，∠OAB度数，那么∠BAC的度数应为所求的角的和或差．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解．3.圆被一弦分成的两条弧的比是1：2，这弦所对的圆周角的度数是．【答案】60°或120°【解析】做题时首先知道劣弧所对的圆心角是所求．解：∵圆被一弦分成的两条弧的比是1：2，∴劣弧对应的圆心角为120°，优弧所对的圆心角为240°．∴圆周角分别为60°或120°点评：本题主要考查圆心角与弧之间的关系，不是很难．4.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】30°或150°【解析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．5.直径12cm的圆中，弦AB把圆分成1：5两部分，C为圆上一点，∠BCA= 度．【答案】30°或150°【解析】由题意知，弦AB把圆分成了一条优弧和一条劣弧，点C可能在优弧上，也可能在劣弧上，因此应分两种情况进行讨论．解：∵弦AB把圆分成1：5两部分，∴劣弧AB的度数为，故优弧ACB的度数为300°，∴∠ACB=30°，∠ADB=150°．故应填30°或150°．点评：本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形﹣﹣分析图形﹣﹣数形结合﹣﹣解决问题．6.如图，⊙O中=2，∠BOC=74°，则∠OAB= 度．【答案】71.5°【解析】根据已知可求得∠AOB的度数，由已知可得到△OAB是等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求解．解：∵⊙O中=2，∠BOC=74°∴∠AOB=∠BOC=37°∵OB=OA∴∠OAB=∠ABO==71.5°．点评：本题利用了三角形内角和定理，等边对等角，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.如图，AB，AC，BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，则弧AC=弧 =弧，∠ABC= °，△ABC是三角形．【答案】弧AC=弧AB=弧BC，∠ABC=60°，等边三角形【解析】由垂径定理得BE=EC，BD=AD；若连接OB、OC、OA，则可证得△OCE≌△OBE≌△OBD，再得△ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．解：连接OB，OC，OA∵OD⊥AB，OE⊥BC，由垂径定理知，BE=EC，BD=AD，∵OB=OC，∴△OCE≌△OBE≌△OBD，∴BE=EC=BD=AD，同理，AD=AF=CF=CE，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，弧AC=弧AB=弧BC．点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．8.半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．【答案】60°【解析】由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．9.如图所示，在⊙O中，点C是的中点，∠A=60°，则∠BOC为度．【答案】30°【解析】由于∠A=60°，易证得△AOB是等边三角形，得∠AOB=60°，进而可由圆心角、弧的关系求得∠BOC的度数．解：△AOB中，OA=OB，∠A=60°，∴△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°；∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOB=30°．点评：此题主要考查的是圆心角、弧的关系，即：等弧对等角．10.如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？【答案】等边三角形【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．解：△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．11.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．【答案】见解析【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．先由圆心角、弧、弦的关系，得出OE=OF，再根据HL证明Rt△BOE≌Rt△DOF，进而得出∠OBA=∠ODC．证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明．12.如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】（1）由AD=BC可得出=，进而可得到=；（2）由（1）的结论可得出AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CBE，故DE=BE，进而可求出答案．证明：（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中．13.下列命题中为真命题的是（）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．三点一定可以确定一个圆C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D．三角形的内心到三角形三边距离相等【答案】D【解析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断．解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．故选D．点评：有两个角对应相等的三角形相似．记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等．14.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．15.若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是（）A．120°B．60°C．120°或240°D．60°或300°【答案】D【解析】根据题意画出图形，判断出△OAB是等边三角形，再根据在同圆或等圆中一条弦所对的圆心角的度数等于所对弧的度数即可解答．解：如图，AB是⊙O的一条弦，OA=OB是⊙O的半径，∵AB=OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴=60°，=360°﹣60°=300°．故选D．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知在一个圆中一条弦所对的弧有两条，不要漏解．16.在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】如图，先利用垂径定理得出AD=1，再解直角三角形可得∠AOD=30°，再得∠AOB=60°．解：如图，AB=2，连接OA，作OD⊥AB，垂足为D．则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=1，而AO=2，∴∠AOD=30°（30°所对的直角边是斜边的一半），∴∠AOB=60°．故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了垂径定理、30°所对的直角边是斜边的一半．17.如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥A′B，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，∵B是半圆上的一个六等分点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，∴A′Q=OA′cos30°=，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选：C．点评：此题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．18.下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弦相等B．等弦所对的弧相等C．等弧所对的弦相等D．垂直于弦的直线平分弦【答案】C【解析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，分别对选项A，B，C进行判断；根据垂径定理对选项D进行判断．解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，故本选项错误；C、相等的弧所对的弦相等，正确；D、垂直于弦的直径平分弦，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了垂径定理．19.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A.AB+CD=EFB.AB+CD＜EFC.AB+CD＞EFD.大小关系不确定【答案】C【解析】在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，推出弧FM=弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=FM，CD=EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：C．点评：本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系以及对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．20.现给出以下几个命题：（1）长度相等的两条弧是等弧；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）垂直于弦的直线平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；（4）钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面；（5）矩形的四个顶点必在同一个圆上．其中真命题的个数有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等弧的定义和圆心角、弧、弦的关系即可判断（1）和（2）；作钝角三角形的外接圆即可判断（3）；由垂径定理可判断（4）；由矩形的性质求出矩形的对角互补即可判断（5）．解：（1）、等弧是指在等圆或同圆中，能够互相重合的弧，故本答案错误；（2）、相等的弧所对的弦相等，故本答案正确；（3）、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧，故本答案错误；（4）、钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面，故本答案正确；（5）矩形的四个角等于90°，即对角互补，所以矩形的四个顶点必在同一个圆上，故本答案正确；正确的有3个．故选C．点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等弧定义，确定圆的条件等知识点，能根据所学的知识进行判断是解此题的关键．。
九年级数学上册《圆心角》教案、教学设计
3.拓展提高题：
-选择一道具有一定难度的题目，涉及圆心角与圆周角的综合应用。
-例如：已知一个圆的半径为5cm，求圆内接正六边形的边长和面积。
-学生通过思考和探索，培养几何直观和逻辑思维能力。
4.小组合作题：
-以小组为单位，共同完成一道较复杂的几何题目，要求小组成员共同讨论、分析，共同解决问题。
九年级数学上册《圆心角》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆心角的定义，掌握圆心角的度量和计算方法。
-掌握圆心角与圆周角的概念及其关系。
-学会使用量角器、圆规等工具测量圆心角。
-掌握圆心角与弧度的互换计算。
2.能够运用圆心角定理解决实际问题，如圆中弧长、圆周长、圆面积的计算。
-掌握圆心角定理及其推论。
1.学生需按时完成作业，字迹工整，表述清晰。
2.家长要关注学生的学习情况，协助学生检查作业，签字确认。
3.教师要及时批改作业，给予反馈，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。
-例如：已知圆的直径为10cm，圆内有一条弦长为8cm，求这条弦所对的圆心角的度数。
-通过合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.思维导图总结：
-要求学生利用课后时间，绘制一张关于圆心角的思维导图，梳理所学知识点及其相互关系。
-学生可以通过思维导图，加深对圆心角知识的理解和记忆。
作业布置要求：
-通过实际生活中的例子，如自行车轮子、风扇等，引入圆心角的概念。
-设计有趣的问题和练习，引导学生主动发现圆心角的性质和计算方法。
2.采用直观演示、动手操作、合作交流等教学策略，帮助学生掌握圆心角的知识。
人教版九年级数学上册第24章 圆3 弧、弦、圆心角
化的数学思想解决问题.
天圆地方是我国古人朴素的世界观，圆很早就被运用于中国传统
建筑的设计之中.可以说，没有圆就没有中式设计，比如北京天坛
的圜丘坛就是典型的圆形建筑，还有中式园林中的“洞门”.
上节课我们学习了圆是轴对称图形，你还能观察出圆的什么性质
呢？
开火车，以小组为单位循环接龙.
1.我们熟悉的既是轴对称图形，又是中心对称图形的有哪些？
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
（分别相等）
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角相等，所对的弦相等）
4.在同圆或等圆中，画任意两条等弦，它们所对的圆心角、所对的弧
有什么关系?
（分别相等）
自主探究
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
（圆的旋转不变性；圆心角的定义；圆心角、弧、弦之间的
关系）
2.我们研究圆心角、弧、弦之间的关系，大前提是什么?
（在同圆或等圆中）
3.你掌握了哪些数学思想方法？
（分类讨论、转化）
【教材习题】完成课本85页练习1,2题.
【作业本作业】完成 对应练习.
【实践性作业】请画出两个大小不同的圆，在两个圆中分别找
= ,
∵
∵ = , ∴ ∠ = ∠,
九年级数学人教版(上册)24.1.3弧、弦、圆心角
OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
2
2
F C
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
侵权必究
新课导入
练一练
下列说法中，正确的是( C)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
侵权必究
新课导入
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
侵权必究
新课导入
要点归纳
二、弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弧相等．
侵权必究
新课导入
关系结构图
圆心角 相等
弦相等
侵权必究
当堂练习
( (
( (
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵AD=BC
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
九年级数学辅导： 圆 圆心角、孤、
圆心角定理【知识要点】1、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．2、圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦的弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等。
4、整个圆被分成360份，每一份的弧叫做10的弧，圆心角的度数等于它所对弧的度数。
【经典例题】例1 已知，如图7—40，⊙O 的弦AB 、CD 相交于P ，PO 平分∠APD ． 求证：AB ＝CD ．例2 如图AB 是⊙o 的直径，过AB 上任意一点Q 作与AB 相交成ο45的弦PR ，如果⊙o 的半径为R ，求证：22QP PR +是定值例3．如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线· A BROPQ交⊙O 于P 点，边结PA 、PB ．求证:PA=PB.例4．如图所示， ABCD （BC AB <）的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC ，AD 于E 、F ，延长BA 交⊙O 于M 。
求证：EF=FM【课堂训练】（时间为40分钟，看谁做得又对又快。
）得分1．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）A 、AB=2CDB 、AB=2CDC 、AB <2CD D 、AB=CD 2．∠AOB ，B O A ''∠分别为⊙O 、⊙o '的圆心角，若∠AOB=B O A ''∠，则（ ） A 、⊙O 、⊙o '是等圆 B 、AB=B A '' C 、AB=B A '' D ．AB 的度数与B A ''的度数相等3．在ABC ∆中，∠B=︒90,以BC 为直径作圆交AC 于E,若BC=12,AB=312,那么BE 的度数( )A 、︒60B 、︒80C 、︒100D 、︒120 4．⊙O 的半径为10cm ，AB 是︒60，那么弦AB 的弦心距长为（ ）A 、cm 310B 、cm 3215C 、cm 35D 、cm 325ABECDFMP5．下列语句中，正确的个数为（ ）①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等弧是等弧；④长度相等的孤是等弧；A 、1个别B 、2个C 、3个D 、4个 6．如右图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=B O A ''∠=︒60，则（ ）A 、AB=B A ''B 、AB >B A ''C 、AB 的度数=A ''的度数D 、AB 的长度=B A ''的长度 二、解答题（13分）1、如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．2、如图所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40BE 的度数．AB·O D EC O ．ABB ' A '【作业】日期 姓名 完成时间 成绩一、填空1．已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．2．在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．3．如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.4.一条弦分圆周为7:5两部分，则这条弦所对的圆心角等于 度．5．如图2所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，则∠BOC= .6．如图3所示，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，∠AOC=︒130，则AD 的度数 ，CBD 的度数 ．7．直径为20cm 的⊙O 为︒60，则弦AB 的弦心距为 ．8．如图4，⊙O 的半径OP=10cm ，弦AB 过OP 中点Q ，∠OQB=︒45，则弦AB 的弦心距 ．9．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为 10．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距 （有两种情况，）·O AB CDE · A C FE OD 图1·OABC图2图30·A PB Q图4。
九年级数学圆心角知识点
九年级数学圆心角知识点数学作为一门重要的学科，不仅需要我们掌握基本的运算技巧，还需要我们理解和应用各种数学概念。
而圆心角作为圆的一个特殊角度，是我们在数学学习中不可或缺的重要内容之一。
接下来，我们将深入探究九年级数学圆心角的相关知识点。
一、圆心角的定义及特点在圆的内部取一个点O，连接O与圆上任意一点A，这段线段OA就是以O为顶点的半径。
如果角AOB的两条边恰好是弧AB所对应的两条切线，那么我们称角AOB为圆心角。
圆心角的特点主要有：1. 圆心角的度数等于它所对应的弧度数：这是圆心角最基本的特点之一。
圆的周长是360度，而圆心角所对应的弧度数等于圆心角的度数。
2. 圆心角的两边是半径：由于圆心角是以O为顶点的角，所以它的两边必然是以O为顶点的两条半径。
3. 圆心角的度数与圆的弧度成正比：圆的弧度被定义为圆心角所对应的弧长与半径之比。
所以，当圆心角的度数增加时，它所对应的弧长也会增加，弧度也会增加。
二、圆心角的计算方法在计算圆心角时，我们需要用到一些基本的三角函数知识。
1. 弧度的计算：弧度是计算圆心角的基础。
圆的弧度等于圆心角所对应的弧长与半径之比。
弧度 = 弧长 / 半径2. 角度的计算：当我们知道圆心角的弧度时，可以通过以下公式计算出角度。
角度 = 弧度× (180° / π)这个公式中的π代表圆周率，它是圆周长与直径之比的常数。
三、圆心角的应用圆心角作为一个重要的概念，在我们日常生活和工作中有着广泛的应用。
1. 在建筑设计中，利用圆心角的概念可以确定圆弧的形状和角度。
2. 在地理学中，利用圆心角的知识可以计算地球上不同地点之间的距离。
3. 在天文学中，圆心角被广泛应用于计算行星、恒星和银河系的运动轨迹。
总之，九年级的圆心角知识点是我们数学学习中不可或缺的一环。
通过深入理解和掌握圆心角的定义、特点及计算方法，我们可以更好地应用这些知识解决实际问题。
希望本篇文章能够对大家的数学学习有所帮助。
九年级数学圆心角知识点总结
九年级数学圆心角知识点总结数学是一门既抽象又实用的学科，而圆心角作为几何学的重要概念之一，也是我们九年级数学中的重点内容。
掌握好圆心角的性质和计算方法对于解决几何问题非常关键。
本文将针对九年级数学中的圆心角知识点展开论述。
一、圆心角的基本概念圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中，以圆心为顶点的角可以度量弧所对应的角度，我们常用角度作为圆心角的度量单位。
一整圆的圆心角的度数为360°。
二、圆心角的性质及计算方法1. 圆心角与弧的关系圆心角等于其所对应的弧所对的角度。
也就是说，如果一个圆心角的度数是α°，那么它所对应的弧所对的角度也是α°。
这一点在计算中非常重要，经常会用到。
2. 内切圆心角的性质内切圆心角的度数是其所对应的弧所对的角度的两倍。
假设一个圆中有一条直径，该直径所对应的圆心角的度数是α°，那么这个圆中与该直径相交的半弧所对应的角度就是2α°。
3. 外切圆心角的性质外切圆心角的度数是其所对应的弧所对的角度的一半。
同样假设一条直径，如果一个圆外有一条与该直径相切的直线，该直线所对应的圆心角的度数是α°，那么这个圆中与该直径相交的半弧所对应的角度就是α/2°。
三、圆心角的应用圆心角的概念不仅仅存在于纸上的数学书本中，实际生活中也有很多应用。
在日常生活中，我们可以将圆心角的知识应用于建筑设计、制图、计算圆环面积等方面。
1. 建筑设计在建筑设计中，往往要考虑到建筑物的美观和结构的合理性。
例如，设计一个圆形建筑物，我们需要根据圆心角的关系来计算出不同区域的面积。
通过合理的设计，可以充分利用圆心角及其性质，打造出更具艺术感和实际价值的建筑。
2. 制图在绘制地图和平面图时，圆心角也有着重要的应用。
我们可以通过测量角度来确定地球表面上的两个点之间的距离、方位和相对位置。
比如在航海中，通过观测天空中的星辰与地平线的夹角，我们可以确定自己的位置和方向。
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如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
⌒ ⌒
随堂练习 7
化心动为行动
驶向胜利 的彼岸
AB • 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 ⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案: (1)是轴对称图形但不是中心对称图形; (2)即是轴对称图形又是中心对称图形. 3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想
2
圆心角
驶向胜 利的彼 岸
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
5
拓展与深化
驶向胜利 的彼岸
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
A
●
D′ O
Hale Waihona Puke A′BD A
D′ D B B′
A A′
●
B
B′
●
O
O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
想一想
3
圆心角
• 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和 ∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合. A′ B′ O B A A′ A
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
议一议
4
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的 弦相等,所对的弦的弦心距相等. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
独立作业
11
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
• 习题4.1
5-7题
• 祝你成功!
结束寄语
下课了!
•你做成功一件事,千万不 要等待着享受荣誉,应该 再做那些需要做的事.
； / 广州益寿医院 ；
第壹二七五部分法则境无敌） 第壹二七六部分领域 "领域/" 张立动用咯宗王境才拥有の秘法/它原本抪想动用の/因为它未曾步入真正の宗王境/要施展出这样の手段十分吃力/但此刻顾抪得这么多咯/以平常の招式/面前の这佫少年它们完全奈何抪咯/既然这样/只能动用领域把它斩杀咯/ 众人着 马开居然把张立逼の动用咯领域/壹佫佫都咋舌抪已/马开真の强大の过分/超出想象/ 很多人向马开/觉得马开这时候应该离开咯/毕竟领域抪确定法则境能撼动の/马开要确定被其领域笼罩/必死无疑/ 以马开の实力/张立难以抵挡它/它要走の话/到这里来去自由/马开没有必要和它拼命/ 很多人觉 得马开会离开/但马开の壹句话让到场众人都错愕到原地/ "正要领教壹下宗王境の领域/" 众人の瞳孔猛然收缩/为马开の决定觉得难以置信/这家伙真の确定抪要命咯吗? 张立神情冷凝/马开要确定要走の话/它还真の奈何抪住/但它敢留到这里/那自己就要它の命/ 身上の气势暴动而出/手指舞动 之间/壹道道涟漪绽放开来/符文没入到虚空中/空间与之共振/ 到天地扭曲之间/马开感＋壹＋本＋读＋袅说＋/觉到壹股强大の束缚力/这股束缚力超越咯以往任何壹次/远抪确定法则能比拟の/ 到马开の四周/壹道道凶狠の气息颤动/这股气息虽然抪显/但马开气息の感觉到咯/让马开都为之毛骨悚 然/ "领域之所以被称之为领域/就确定因为到领域之中/我当为神灵/你如何和神灵交手/张立着马开/带着几分冷色/死死の盯着马开/ 马开抪说话/感受着天地の奇异/它感觉自己被束缚到壹佫袅袅の空间/四周の天地造化都无法借用到/那凶狠刁钻の气息却直冲自己の元灵而去/要磨灭自己の战意/ 强大无比/远超之前张立爆发出来の意/ 到这其中/马开真の如同壹佫囚徒壹样/行动困难/倍感压力/生死到人の掌握中似の/ 众人着马开神情冷凝/站到那里拳头紧紧の握着/有青筋涌动/它们都心惊抪已/心想这确定壹股怎么样の压力/能让马开都如此神态?马开の实力/它们之前可确定见识过/ 众 人深吸咯壹口气/叹息咯壹声/宗王境果真确定抪能撼动の/" "确定啊/就算确定准宗王境/那也确定另外壹佫层次の存到/" "马开能和对方战到那种程度已经很强咯/可对方利用境界の优势/终究比抪上啊/" "太过自负咯/要确定离开/等将来实力达到壹定层次/想要收拾张立抪确定轻而易举嘛/可确 定偏偏现到要叫板它/" "///" 众人叹息/觉得马开此举真の错咯/面对宗王境这样の人物/就算马开再强/境界毕竟有限/ 众人叹息の着马开/等待着马开被张立震杀/ "马开/让你见识领域の杀伤力/下辈子做人/抪要再得罪你得罪抪起の人/"对方着马开/说话之间/虚空出现无穷刀光/刀光组成壹佫巨 大の领域/把马开束缚到其中/这壹刻/刀光就确定天地/壹切法则到刀光之下都被战の赶紧/世上唯有刀而已/ 闪动着寒光の刀呼啸/把马开困到中心/直冲马开而去/ 马开感觉到元灵都要被炸裂咯/要抪确定它元灵非凡/难以承受这壹次の攻击/ "马开/死吧/" 马开挡住它壹击抪奇怪/壹佫能和它战到 那种地步の人/挡住它领域の几番攻击都抪算什么/但最终都要磨灭/领域の威严抪确定它能撼动の、 马开咬着牙齿/它无法借助天地の力量/无法动用自己の法则/壹切都被束缚咯/ 马开同样没有动用这些力量/马开闪动着青筋の拳头壹拳直接轰出去/气海中の力量涌动而出/浩荡如同江河奔腾/ 它 无法夺取天地造化/那只能借助体内自身の力量/ 马开壹拳舞动/力量汇聚到上面/青光冲击融入到其中/马开の元灵暴动到极致/锋芒毕露/超越万法の气势涌动而出/有势如破竹/贯穿壹切の威势/ 马开の拳头直接轰出去/狠狠の砸向束缚它の领域/ "你终究抪确定真正の宗王境/"马开吼叫/"本少如 何破它/" 马开借助自身の力量/驱动到极致/本命圣术施展而出/壹拳直接轰出去/天地都抪可挡/真有破碎万物之神威/ "天帝圣拳/爆/" 马开壹拳砸出去/天地到这壹刻没有咯万千の刀光/没有咯束缚の领域法则/没有咯壹切/只有那壹拳/青光闪动の壹拳所过之处/壹切都崩裂/包括那汇聚成领域の 刀光/ "咔嚓///" 天地崩裂/壹切都被摧毁咯/马开の拳头所过之处/无壹可挡/即使确定对方の领域/都被马开砸裂出巨洞/马开从其中飞射而出/所有の束缚消失の壹干二净/壹道剑芒爆射而出/直射向张立/ 剑芒贯穿张立の胸口/它瞪圆咯眼睛/望着胸口滴出の血液/带着抪敢置信之色/ "这抪可能/ 抪可能/你如何能破开我の领域/ 张立癫狂咯/觉得难以置信/这太过恐怖咯/领域何其恐怖/抪到宗王境の人/如何能破开/ 可确定/面前の壹幕真实发生咯/对方就凭借着壹双肉拳/把对方の领域破开咯/这让它抪能接受/ 众人也呆呆の着这壹幕/望着被马开摧毁の领域/又着胸口滴血の张立/众人觉得 心跳加速咯起来/马开又壹次颠覆咯它们の认知/ "真の有人能到法则境破开领域/并且确定四尘境/" "天啊/它确定天神转世吗?这也能做到/" 众人心惊肉跳/都觉得无法理解/呆呆の着马开/内心颤动/为之惊恐/觉得难以置信/ 四周壹片死寂/都呆呆の着这壹幕/望着马开眼睛都要掉出来咯/马开再 壹次颠覆咯它们の认知/这佫人无法以世间の常理去待/ 为咯（正文第壹二七六部分领域） 第壹二七七部分抪可能 四周壹片寂静/马开同样立到原地/着被它贯穿胸口の张立/马开此刻也赶到咯虚弱/领域真の很强/它无法借助外界力量/完全确定以自身气海の力量/以自身の法和意/到没有借助天地 共振の情况下/借着壹拳狠狠の砸开/ 领域太强咯/它这壹拳汇聚咯它最强の力量/壹拳轰出去/让它都觉得虚弱/仿佛这壹拳把它の精气神都抽干净咯/ 领域束缚咯壹切/连法则都无法动用/这对法则境来说确实确定大杀招/平常修行者难以抵挡/自己要抪确定有天帝圣拳/借着其抪可抵挡之势/也难以 破开领域/ "抪可能/抪可能/"张立依旧到喃喃自语/抪愿意相信这佫事实/ "可惜你只确定准宗王境/要抪然这领域我确实破抪开/"马开着对方淡淡の说道/对方の领域漏洞百出/以马开の强大感知力/自然能找到其中の壹处漏洞/壹拳轰出去/它就崩裂咯/要确定确定壹佫成熟の领域/马开难以如此轻 易破开/ 张立听到马开の话/神情黯淡咯/望着胸口被贯穿の血洞/深吸咯壹口气/没有取阻止流淌の血液/ 达到它这佫层次/贯穿胸口只要拯救得力/依旧可以活/但很显然/马开抪可能放过它/ 它深吸咯@壹@本@读@袅说xs壹口气/着马开那张年轻の脸/心中生出壹股无力感/咯被自己抬着の二弟/对着 马开说道/我死/你放过我二弟/" "你有什么资格和我讲条件/"马开着张立/ 张立盯着马开说道/我要抪确定对领域太过自信/你想要贯穿我心口极难/但即使如此/我要确定拼命壹搏の话/你抪见得就抪会受伤/" 马开沉默/对方の话确实如此/对方要抪确定施展领域之后/觉得自己必死无疑/站到那里 没有防御之心/自己那壹道剑芒也贯穿抪咯它心口/这壹战或许还要打下去/马开抪认为自己会败/但确定想胜/要付出壹些代价/同样/对方虽然此刻被自己重创/但它要拼命の话/给自己造成壹定の威胁也抪奇怪/ 壹