次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布

次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj

设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。

定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。

显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。

如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。

定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为

g i (y)=⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i

（5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数

⎩

⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2

1()3(>ξP 。

解 母体ξ的分布函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(2x x x x x F

由公式（5.24）得出ξ)3(的密度函数

g 3(y)=

)()](1[)]([)34(!2!4342y f y F y F --- =y y y 2]1[][!

2!4222- =24y 2(1-y 2)

对于y 的其他值g 3(y)=0。分布函数为

)(3y G =⎪⎩

⎪⎨⎧≥<<≤1,110,0

,06y y y y

而概率

P （)3(ξ>21）=1-)2

1(3G =1-(21)6[4-3(2

1)2] =256

243 系1 最大次序统计量)(n ξ的密度函数为

g n (y)=⎩

⎨⎧<<-其他,0),()]([1b y a y f y F n n （5.25） 系2 最小次序统计量)1(ξ的密度函数为

g 1(y)=⎩

⎨⎧<<-其他,0),()]([1b y a y f y F n n （5.26） 这两个系的证明是明显的，这是不叙述了。

下面我们同样以连续型母体分布为例考虑任何两个次序统计量)

(i ξ<)(j ξ的联合分

布。 定理5.6 设母体ξ有密度函数)(x f >0，a ≤x ≤b 。并且1ξ，2ξ，…，n ξ是

取自这一母体的一个子样，则其任意两个次序统计量的)(i ξ<)(j ξ的联合分布密度函数为

g j i (y,z)=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤-*---------其他,0),()()](1[)]()(][)([)!()!()!1(!11b

y a z f y f z F y F z F y F j n i i j i n j n i j i （5.27） 在实际问题中有时要用到一些次序统计量的函数，例如：（1）在第九章的质量管理一节中就要用到子样极差R n =)(n ξ-)1(ξ，即最大与最小次序统计量之差；（2）子样中位数

也是一个常用的函数。若n 是奇数，定义它为)21(+n ξ；若n 是偶数，定义它为

2)22()2(++n n ξξ

要推导次序统计量的函数的分布，原则上并不难，只要运用以前学过的方法和定理就可以了，但要算出具体数值可不是一件容易的事，下面我们简略地提一下次序统计量的分布

问题。设母体ξ具有分布函数F （x ），若F （a p ）=⎰∞-p

a dx x f )(=p,0

定理5.7 设母体ξ具有密度函数)(x f ，a p （0

N （a

p ，n p p a f p )1()(12-） （5.28） 显然，当n →∞时，ξ

)1]([+np =ξ)(k 依概率收敛于a p 。