第三章第六节边际与弹性

R' ( x) (5x 0.003x )' 5 0.006x;
2
L' ( x) R' ( x) C' ( x) 3.9 0.006x. L' (600) 3.9 0.006 600 0.3. （2） L' (700) 3.9 0.006 700 0.3.
EC x C' ( x). Ex C ( x)
它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总 成本Ｃ变化的百分数．
2．需求弹性 设需求函数为 Q Q( p)（p为价格），则需求弹性 为
EQ p Q '( p). Ep Q( p)
它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量 Ｑ变化的百分数．
1 3
由于 p (10 ) 1 , 所以当 p 10时， 该商品具有单位弹性， 此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%.
⑷
15 p (15) 3 , 15 20
由于 p (15) 3 1 ,所以当 p 15时， 该商品是富有弹性的， 此时若价格下降1%，将导致需求量增加3%.
2
25吨及30吨时的边际利润． 解 因为 L' ( x) 250 10x , 所以，所求边际利润为分 别为
L'(20) 250 10 20 50（元／吨）， L' (25) 250 10 25 0（元／吨）， L' (30) 250 10 30 50（元／吨）.
抽象归纳
边际分析
问：怎样用数学方法来描述边际呢？
分析 设函数 f ( x) 可导. 根据导数的定义，有
y f ( x) lim . x0 x y . 因此，当| x | 很小时，有 f ( x) 于是 x
y f ( x x) f ( x) f ( x)x.
3x
2 x 2
12,
x 改变1个单位，y 改变12个单位． 它表示当 x 2 时，
1．边际成本
（x为产量）的导数 C' ( x), 总成本函数 C C ( x)
称为产量为 x 单位时的边际成本．
边际成本C' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单
位产品时总成本将改变 C' ( x) 个单位． 2．边际需求
第六节 边际与弹性
案例研究
案例1 哪家公司更精明：从杭州开往南京的长途车 即将出发. 无论哪个公司的车，票价均为75元. 1个匆匆赶来的乘客见一家国营公司的车上尚有空位， 要求以50元上车，被拒绝了. 他又找到一家也有空位的私人公司的车，售票员二话 没说，收了50元允许他上车了. 哪家公司的行为更理 性呢？
函数的弹性
问：怎样用数学方法来描述弹性呢？
分析 绝对变化率
y , x 问：用绝对变化率能否描述商品对价格的灵敏度 的？ 例 商品 A 的单价为10元，涨价1元；商品 B 的 f ( x) lim
x 0
单价为1000元，也涨价1元. 虽然两种商品的单价的绝 对改变量相同，但是两种商品涨价的百分比相差很大. 1 1 10 %, 0.1%, A是B的100倍. 商品B为 商品A为 10 1000 因此，弹性必须用相对变化率来描述.
Ey %. 分数为 Ex
注意 弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有 单位．
Ey Ey . 例3 求函数 y 50e 的弹性 及 Ex Ex
4x
x 3
解
Ey x x y' 200e 4 x , 因为 Ex y 50e
4x 4x
所以
Ey 12. Ex
x 3
1．成本弹性思考 设总成本函数为 C C ( x)（x为产量），则成本弹 性为
比的极限
y x y lim f ( x). x0 x f ( x) x
表示在点 x 处函数 y 的相对变化率，称为函数 y f ( x) Ey , 即 在点 x 处的弹性，记作 Ex
x Ey x f ( x) y Ex f ( x) y
弹性可解释为：当自变量变化1%时，函数变化的百
分析 边际分析法.
“边际”——“增加的” “边际量”——“增量” 自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际
量.
例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)
的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际
产量.
边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量
会变动多少的方法.
在本案例中，当我们考虑是否让这名乘客以50元 的票价上车时，实际上我们应该考虑的是边际成本和 边际收益这两个概念. 边际成本是增加1名乘客(自变 量)所增加的成本(因变量). 在我们这个例子中，增加 这1名乘客，所需磨损的汽车、汽油费、工作人员工 资和过路费等都无需增加，对汽车来说多拉1个人少 拉1个人都一样，所增加的成本仅仅是发给这个乘客 的食物和饮料，假设这些东西值10元，边际成本也就 是10元. 边际收益是增加1名乘客(自变量)所增加的收 益(因变量). 在这个例子中，增加这一名乘客增加收益 50元， 边际收益就是50元. 因为边际收益大于边际成 本，所以让这名乘客上车是合适的.
若函数 Q Q( p) 为需求函数，则需求弹性为
p p Q' ( p) Q
若商品的需求弹性满足： ⑴ ⑵
p p
＞1，则称该商品的需求富有弹性， =1， 则称该商品的需求具有单位弹性，
⑶
p ＜1，则称该商品的需求缺乏弹性.
3．收益弹性思考 设总收益函数为 R R( x)（x为产量），则收益弹性 为
定义 设函数 y f ( x)可导，函数 f ( x) 在点 x 处的 增量为 y f ( x x) f ( x), 自变量的增量为 x , 则比 y x 与 分别称为在点 x 处函数 y 的相对改变量及 值 y x
自变量 x 的相对改变量. 当x 0时, 两个相对改变量之
思考：它们的经济意义是什么？ （3）令 L( x) 0, 得x 650. 这时，有
C(650) R(650) 1.1. 即当边际成本等于边际收益时利润最大.
问：本例说明了什么问题？ 结论 当边际收益大于边际成本时，应该 增加行动； 当边际收益小于边际成本时，应该 减少 行动；当边际成 本 等于 边际收益时，利润达到最大. 即最大化原则.
案例2 哪种产品对价格更有弹性：在日常生活中，我 们发现生活必需品和奢侈品对价格变化的灵敏度是不 同的. 生活必需品因为是日常所需的，即使价格上升需 求量也不会减少多少. 例如，你一顿吃1个馒头，过去2 角钱你吃1个，后来3角钱你吃1个，现在4角钱你还是 吃1个；相反，如果馒头从4角下降到2角，你也不会一 顿从吃1个增加到吃两个. 看病也一样，当看病的医疗、 检测、药品等价格上升时，尽管人们会比平时减少一 些看病，但不会大幅度地减少看病的次数. 但水果则不 同，不是必需品，便宜的时候可以多吃，随着季节的 变化，价格上升了也可以适当少吃一点，因此水果是 对价格的变化比较敏感的东西. 商品对价格的灵敏度叫做该商品的弹性. 因此，水 果比馒头对价格更有弹性.
ER x R' ( x). Ex R( x)
它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总收益 R变化的百分数．
例4 某商品的需求函数为 p Q 10 . 2 求 ⑴需求价格弹性函数， ⑵当 p =5时的需求价格弹性并说明其经济意义， ⑶当 p =10时的需求价格弹性并说明其经济意义， ⑷当 p =15时的需求价格弹性并说明其经济意义. 解 ⑴按弹性定义：
小结:
1．边际分析 （1）边际的定义：f ' ( x) （2）常用的边际函数
C' ( x); 边际成本： Q' ( p); 边际需求： R' ( x); 边际收益： L' ( x). 边际利润：
2．函数的弹性
Ey x f ( x) （1）弹性的定义： Ex f ( x)
（2）常用的弹性
EC x C' ( x); 成本弹性： Ex C ( x)
p p Q' Q 1 P ( ) P 2 P 20 10 2 P
(2)
5 1 P (5) 5 20 3
由于 p (5) ＜1，所以当 p 5 时，该商品的需求缺
1 乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降 %. 3
⑶
10 p (10) 1 , 10 20
特别地，当 x 1 时，有
y f '( x) 1 f '( x).
这就是说，当自变量增加1单位时，函数的增量
近似地等于其导数值.
定义 我们把函数 y f ( x) 的导数 f ' ( x) 称为边际
函数.
例 函数 y x , 在点 x 2 处的边际函数值为
3
y'
x2
例2 设生产某种产品的总成本为 C ( x) 300 1.1x , 总收益为 R( x) 5x 0.003x , 试求：
2
（1）边际成本、边际收益和边际利润. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并
说明其经济意义.
（3）当边际成本与边际收益具有何种关系时，利润 最大？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 （1） C' ( x) (300 1.1x)' 1.1;
4．边际利润
总利润函数 L L( x)（x为产量）的导数 L' ( x), 称 为产量为x单位时的边际利润． 边际利润 L' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单位 产品，总利润将改变 L' ( x) 单位．
例1 某公司某产品的总利润Ｌ（元）与日产量x(吨) 的关系为 L( x) 250x 5x , 试求日产量分别为20吨、
需求函数 Q Q( p)（p为价格）的导数 Q' ( p), 称
为价格为p单位时的边际需求． 边际需求 Q' ( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 Q' ( p) 个单位．
3．边际收益 （x为产量）的导数 R' ( x), 总收益函数 R R( x) 称为产量为x单位时的边际收益． 边际收益 R' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' ( x) 个单位．
EQ p Q '( p); 需求弹性： Ep Q( p)
ER x R' ( x). 收益弹性： Ex R( x)
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