新版人教A版高一数学必修三第三章概率 3.3 3.3.1 3.3.2 几何概型 均匀随机数的产生

[解] 设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1 ＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到 [－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8<a<8，－7<b<7 的点(a，b)的个数 N.满足 1<a2＋b2<4 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)＝NN1即为所求概率的近似值．
的概率是13，则小狗图案的面积是
(
)
A．π3
B．43π
C．83π
D．163π
解析：选 D 设小狗图案的面积为 S1，圆的面积 S＝π×42
＝16π，由几何概型的计算公式得SS1＝13，得 S1＝163π.故选 D.
4．在区间[－1,1]上随机取一个数 x，则 x∈[0,1]的概率为 ________． 解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率 为1－1－－01＝12. 答案：12
子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴
影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖 30
次，则飞镖落在阴影部分的次数约为 ( )
A．5
B．10
C．15
D．20
解析：选 A 阴影部分对应的圆心角度数和为 60°，所以
飞镖落在阴影内的概率为36600°°＝16，飞镖落在阴影内的次
数约为 30×16＝5.
2．已知集合 M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合
[典例] 解放军某部队进行特种兵跳伞 演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的 矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为1 m、2 m、5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概 率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都 需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数 即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积 型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机 数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均 匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置， 所求事件的概率为点的个数比．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13.
1．解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可 能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算． 2．与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表 示，则其概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域长度.
高考内容改革新变化
主要变化：高考评价新体系
一核四层四翼的高考评价标准 ---高考命题新定调
“ 一 核 ” 是 总体框 架，体 现了高考核心功能；“ 四 层 ” （考查目标）与 “ 四 翼” （考查要求）是 “ 一 核”的 有机组 成部分 ，共同 构成了 实现高 考评价 功能的 理论体 系。
新高考命题的预测
[活学活用] 一个路口的红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒， 绿灯亮的时间为 40 秒，当你到达路口时，看见下列三种 情况的概率各是多少？ (1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．
解：在 75 秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于 几何概型． (1)P＝红灯 全亮 部时的时 间间＝30＋3400＋5＝25. (2)P＝黄灯 全亮 部时的时 间间＝755＝115. (3)法一：P＝不是全 红部灯时亮的 间时间＝黄灯亮全或部绿时灯间亮的时间＝4755＝35. 法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.
与面积和体积有关的几何概型
[典例] (1)(福建高考)如图，矩形 ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为 (1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝
x＋1，x≥0， －12x＋1，x<0
的图象上．若在矩形
ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A.16
B.14
3
1
C.8
D.2
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)_试__验__模__拟__的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试 验，并统计试验结果． (2)_计__算__机__模__拟___的方法：用 Excel 的软件产生[0,1]区间 上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
[小试身手]
1．一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶
3．几何概型概率公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式为：
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度__面__积__或__体__积___. 4．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是R__A_N__D_函数． (2)Excel 软 件 产 生 [0,1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为 “_r_a_n_d_(_)_”．
[活学活用] 现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用
随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
解：(1)利用计算器或计算机产生两组 0 至 1 区间内的均匀随 机数 a1，b1(共 N 组)； (2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)； (3)数出满足不等式 b＜2a－43，即 6a－3b＞4 的数组数 N1.所求 概率 P≈NN1. 可以发现，试验次数越多，概率 P 越接近12454.
[活学活用] 1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则
此点落在正方体内部的概率为
()
A.
6 π
B.2π3
C.
3 π
D.23π3
解析：选D 由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是
正方体的体对角线，故球的半径R＝
3 2
.球的体积V2＝
4 3
πR3＝
23π.则此点落在正方体内的概率为P＝VV12＝
创设具有挑战性的学习任务去引发学生的思维火花，激发思维碰撞，在高 层次的思维训练中完善思维品质。 数学提高班的学习指向高阶思维学习！
处理好测试选题与学生思考消化的关系，注重学生自主交流合作与展示， 注重资源引进与高考研究！ 高考是一种成熟、规范性的考试，在高考试卷中，容易题、中档题和难题( ( 即 综合度、难度较大的题) ) 分别占 30% 、 50% 和 20% 左右，也就是说容易 题及中等难度的题占高考数学总分数的 80% ，即 120分左右。如果学生平时 的模考和练习中的得分没有上 120 分，不是由于难题不会做导致的，更多的 是压根就没把握好中等难度的题。 因此 “ 抓基础、抓常规、抓落实 ” 应依然作为我们后期复习的首要任务 。 高考备考要从 “ 小 ” 做起，成也在小，败也在小！ 临场发挥与规范答题是决定尖子生的高度!
复习成功的关键在于
01 抓思维训练 02 勤于方法总结 03 善于提炼观点
具体措施在：
1.狠抓基础，在主干内容上下足功夫，重概念的生成 2.重点突出，在知识交叉点上着重训练，重视试卷分析 3.精准指导，在图形使用上反复强调，重结构式结论
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关于尖子培养的几点感悟
关于尖子生培养的几点感悟
• 尖子班不是全力去拼竞赛，而定位于竞赛、自主、高考三位一体的培养； • 数学提高班的学习是绿色的、健康的； • 这是一项思维挑战的学习：
M 中任取一个元素 x，则 x∈M∩N 的概率是
()
A.19
B.18
C.14
D.38
解析：选 B 因为 N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又 M
＝{x|－2≤x≤6}，所以 M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的
概率为62＋－21＝18.
3．如图所示，半径为 4 的圆中有一个小狗图案， 在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内
答案：23
(2)解：设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达，则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点， 且 T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
• 创新趋于常态，题型不断出新，体现课本与课标的指导作用，保持一致性 ；
• 真实情境数据验证更加科学和合理； • 淡化压轴思想，努力说明哪一部分都有可能压轴！
•
衷心祝愿各位百尺竿头，更进一步！
几何概型
3．3.1& 3.3.2 几何概型 均匀随机数的产生
预习课本 P135～140，思考并完成以下问题
(1)什么是几何概型？ (2)几何概型的两大特点是什么？ (3)几何概型的概率计算公式是什么？ (4)均匀随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？
[新知初探]
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长__度__ _(面__积__或__体__积__)_成比例，则称这样的概率模型为几何概率模 型，简称_几__何__概__型__． 2．几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果有_无__限__多__个__． (2)每个结果出现的可能性_相__等__．
与长度有关的几何概型 [典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________． (2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达 车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超 过 10 min 的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为 3，由|x|≤1，得 x∈ [－1,1]，而区间[－1,1]的长度为 2，x 取每个值为随机的， ∴在[－1,2]上取一个数 x，|x|≤1 的概率 P＝23.
1 3
＝23π3.
2π
2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中
AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概
率是
()
A.π2
B.π4
C.π6
D.π8
解析：选B 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，
则P(A)＝长阴方影形面面积积＝121π×·122＝π4.
用随机模拟估计面积型的几何概型
[解析] (1)依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的
坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，
阴影部分的面积S阴影＝
1 2
×3×
1＝
3 2
，根据几何概型的概率求
3 解公式，得所求的概率P＝S矩S形阴A影BCD＝26＝14，故选B.
(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的
体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内
部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小
于1或等于1的概率为：
23π 2π
＝
1 3
，故点P到点O的距离大于1的
概率为：1－13＝23.
[答案] (1)B (2)23
1．与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表 示，则其概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积. 2．与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表 示，则其概率的计算公式为 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的体区积域体积.
• 去年高考延续了五年的总体要求并在创新上有较大的突破； • 难度把控趋于稳定，基本控制在0.55左右； • 充分体现国家意志“一核”、“四层”、 “四翼”， “一核”是总体框架
体现了高考核心功能；“四层”是考查目标，与“四翼” 是考查要求。突 出传统文化及党的教育方针：“德智体美劳”五育并举； • 学科思维考察更加凸显，体现数学学科的理性思维特点；