1 超静定结构分析

超静定结构的分析与求解
姓名李海龙专业土木工程年级 2008级
摘要：本篇文章简要分析了超静定结构的判定方法和解决好景顶结构的基本方法—力法、位移法、力矩分配法。

通过自由度判定超静定结构的次数，是桥梁中解决高次超静定的基本方法。

文章主要分析各种方法解决超静定问题的步骤和需要注意的一些方面。

关键词：超静定结构的分析力法位移法力矩分配法
Abstract:this article briefly analyzes the super statically determinate structure determination methods and solve the basic methods of Hualien roof structure -- force method, displacement method, torque distribution method. Through the freedom of judge super statically determinate structure solved in times of high times bridge is the basic methods of super quiescent set. The paper mainly analyses various methods to solve problems super quiescent steps and set some of the aspects of the needs attention.
Keywords:super statically determinate structure analysis Force method Displacement method Torque distribution method
1 超静定结构分析
1.1超静定结构的判定
1.1.1自由度判定具有多余约束的结构称为超静定结构。

结构具有多余约束的个数，即为超静定次数。

多余约束可以是外部或内部的也可二者兼有。

因而就有外部超静定，内部超静和内外部超静定结构之分。

要快速准确判定结构超静次数必须注意以下几点：1.无论是梁式结构、框架(刚架)结构还是桁架结构都可以首先利用计算自由度公式大概判定结构可能的几何组成形式：W=3m-(2n+r)公式中：W:结构体系计算自由度数。

m:结构体系刚片数(除地基这一特殊刚片外)。

n:结构体系刚片与刚片之间连接铰数(复铰应换算成单铰)，r:结构体系与地基相连的链杆数。

①
1.1.2超静定次数的确定：结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。

在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种②：
（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端
改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。

（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束
（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉
两个约束。

1.1.3超静定结构的特性
（1）多与约束的存在及影响
（a）内力状态单又平衡条件不能唯一确定，必须同时考虑变形条件。

（b）具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。

（c）内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值小。

（d）结构刚度和稳定性都有所提高。

（2）各杆刚度改变对内力的影响
（a）荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。

（b）计算内力时允许采用相对刚度。

（c）设计结构断面时，需要经过一个试算过程。

（d）课通过改变杆件刚度达到调整内力状态的目的。

（3）温度和沉陷的变形因素的影响
（a）在超静定结构中，支座位移、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生内力。

（b）由上诉因素引起的内力，一半与各杆的刚度绝对值成正比。

不应盲目增大杆件的截面尺寸，以其提高结构的抵抗能力。

（c）预应力结构是主动利用内力调节超静定结构的典型范例。

介绍下解决超静定问题的方法
1.2力法
1.2.1基本结构
力法是解算超静定结构最古老的方法之一。

力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算，所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。

以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量，计算时将结构上的多余约束去掉，代之以多余力的作用，将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。

1.1.2解题思路
根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下，在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程，解方程即可求得各多余力。

将多余力视为基本结构的荷载，则可作基本结构内力图，也就是原结构的内力图。

原结构的位移计算亦可在基本结构上进行，这样更为方便。

绘出弯矩图。

类似地，可以解出一些常用的简单结构，可为位移法使用。

1.3位移法
建立解算基本未知量的位移法方程有两种途径：一种是用位移法的基本结构(或称为基本体系)代替原结构求解来建立位移法方程：另一种是直接在原结构上利用转角位移方程写出各杆的杆端弯矩和剪力，然后应用平衡条件来建立位移法方程。

1.3.1基本结构法
1.3.2位移法的基本结构与基本未知量。

1.3.3建立位移法方程
由上述，力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取位移法、力法基本体系；
2）按照位移条件，列出位移法、力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）按 M=ΣMi ·Xi+MP ，M=M 1Z 1+M 2Z 2+…+M p 叠加最后弯矩图。

1.4力矩分配法
计算超静定钢架，不论采用力法或位移法，都要组成和解答典型方程，当未知量较多时，解算联立方程的工作是非常重要的。

为了寻求计算超静定刚架更简洁的途径，出现了各种渐进法，例如力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等。

这些都是了为了避免结算大量的方程而出现的计算方法。

1.4.1 固结节点 加入刚臂，各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时有刚臂
承担。

1.4.2 放松结点 取消刚臂，让结点自由转动。

这相当于在结点上又加入一个反号的平衡
力矩，于是不平衡力矩被抵消而结点获得平衡。

此反号的不平衡力矩将按进度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到den 配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端得到传递弯矩。

2 超静定结构的求解
2.1 力法求解
如图（a ）(b)所示，有一个多余约束的超静定结构，只要满足
BY F 1
为任意值，方程都是满足的。

因此必须设法补充方程。

∑-=
-+=i
By i i A By Ay l
F a F
M
F
F F F 1P 11P2P11
例1：求解图示单跨梁
图(a)为原结构，图（b ）为结构转化后的基本单位。

图（c ）为未知力产生的位移，图（d ）为荷载产生的位移。

根据两者产生的位移之和与实际位移相等的原则得出：
——这就是力法的核心思想。

当结构有俩次的超静定的时候就用下面公式：
式中 分别表示当Xl=1单独作用于基本结构时，沿Xl 、X2和Xn 方向的位移。

分别表当X2=1单独作用于基本结构时，沿Xl 、X2和Xn 方向的位移。

分别表示当荷载单独作用于基本结构时，沿Xl 、X2和Xn 方向的位移。

分别表示去掉多余联系处Xl 、X2、Xn 方向的总位移
2.1.1力法总结
2.1.2解除多余约束，转化为静定的基本结构。

多余约束代以多余未知力——基本未知力。

2.1.3分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——
力法典型方程。

2.1.4从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。

超静定结构分析通过转化
为静定结构获得了解决将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。

这是科学研究的基本方法之一。

力法从未知力/缀余力入手，力法的基本原理，是对于超静定结构中任意两点的相对变形都是0，也就说所有的力在该位置上产生的变形之和为0，因此力法可以称之为位移协调法。

位移法与之相对应，即对于处于平衡状态下的结构体系来讲，结构中的任意一点获任意组成部分也是处于平衡状态的，因此该点或部分必然存在内力的平衡，以内力平衡为基础所构建的线性方程组来求解结构内力，也是一种极佳的方法。

因为结构的内力与变形之间存在着必然的、确定的联系，因此结构的内力平衡一般从位移为未知量来入手，最终求得结构内力。

这种以位移为初始未知数求解结构内力的方法称为位移法。

2.2 位移法求解
2.2.1位移法的计算要以以下基本假定为前提：
忽略轴力产生的轴向变形的影响，杆件变形前的直线长度与变形后的曲线长度等。

弯曲变形是微小，并忽略剪切变形的影响，杆件变形后的曲线长度与弦线长度相等。

因此可以得到：
11111
=∆=∆+∆=∆P
推论1：尽管杆件产生弯曲变形，但直杆件两端点之间的沿杆的轴线方向的距离变形前后仍保持不变。

推论2：直杆的一端不变动而杆发生弯曲变形时，杆的另一端的线位移与杆原轴线相垂直。

推论3：杆件轴挠曲线上某点之切线的倾角ϕ（与杆原轴线夹角）便是该点横截
面的转角③。

2.2.2位移法的基本求解步骤：
①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。

②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。

③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。

④解方程，求出结点位移。

⑤用公式叠加最后弯矩图。

并校核平衡条件。

⑥根据M 图由杆件平衡求Q ，绘Q 图，再根据Q 图由结点投影平衡求N ，绘N 图。

2.2.3位移法求解例：
例题：用位移法计算如下图示超静定刚架并绘弯矩图。

EI 为常数。

图如下所示
得最终叠加最后得求解系数和自由项图图作列出基本方程作基本结构如图所示解M ，M M X M ，i
Z F i k ，、M M k F Z ，P P P P
+==
-
===
11111111
111253
10
8:
2.2.4 位移法总结
下面公式是位移法的典型方程：
需要注意的几点：
1．位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移 共同作用下产生的附加约束中的反力等于零。

实质上是原 结构应满足的平衡条件。

2．位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力。

其中：RiP 表示基本体系在荷载作用下产生的第i 个附加约束 中的反力；称为自由项。

rijZj 表示基本体系在Zj 作用下产 生的第i 个附加约束中的反力；
3．主系数rii 表示基本体系在Zi=1作用下产生的第i 个附加约束中 的反力；rii 恒大于零；
4．付系数rij 表示基本体系在Zj=1作用下产生的第i 个附加约束中 的反力；根据反力互等定理有rij=rji ，付系数可大于零、等于零或小于零。

5．由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方 程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件。

2.3 力矩分配法求解
以位移法为基础，逐次渐近地求解结构刚结点力矩的一种数值方法。

2.3.1力矩分配法的基本思路
①固定结点,在结点上加一刚臂控制转动，分别求出各杆端由荷载产生的固端弯矩，作用于一结点上的各杆固端弯矩的代数和称为不平衡力矩；
②放松结点，取消本不存在的刚臂，让结点转动，将不平衡力矩按各杆的分配系数求得各杆的分配力矩；
111
1221110
i i n n P r Z r Z r Z r Z R +++++= 211
2222220i i n n P r Z r Z r Z r Z R +++++=
11
220
n n ni i nn n nP r Z r Z r Z r Z R +++++=
图 1
解：
(1) 计算各杆端分配系数。

为了计算方便，令
14
AB AC EI
i i ==
=，则2AD i =。

则由式(8-2)有 43413129Aj
AB AC AD S
i i i =++=⨯+⨯+=∑
由式(8-4)得
410.4459AB μ⨯=
= 310.3339AC μ⨯== 2
0.2229
AD μ== (2) 计算固端弯矩。

()
()
2
2
30kN m 4m 40kN m
12
30kN m 4m 40kN m
12
F BA F AB M M ⋅⨯=-
=-⋅⋅⨯=+
=+⋅
350kN 4m
75kN m 8
F AD M ⨯⨯=-
=-⋅
50kN 4m
25kN m 8
3
40kN 4m 30kN m 16
F DA F AC
M M ⨯=-
=-⋅=+⨯⨯=+⋅
(3) 进行力矩的分配和传递。

结点A 的不平衡力矩为
()403075kN m 5kN m F Aj
M
=++-⋅=-⋅∑
将其反号并乘以分配系数即得各近端的分配弯矩，再乘以传递系数即得各远端的传递弯矩。

在力矩分配法中，为了使计算过程的表达更紧凑、直观，避免罗列大量计算式，整个计算可直接在图上书写(或列表计算)，如图8.3b 所示。

(4) 计算杆端最后弯矩。

将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩叠加，便得到各杆端的最后弯矩。

据此即可绘出刚架的弯矩图，如图1所示。

3 总结
在土木工程桥梁中超静定的组合基本上是比比皆是，解决好超静定问题是现代安全、经济、适用所必须的工作。

文章分析了超静定结构的判定和简要介绍了解决超静定力法、位移法、力矩分配法，希望有助于提高我们在超静定问题上的能力。

参考文献
[1] 李廉锟. 结构力学高等教育出版社 2010.7
[2] 城建系土木工程专业本科学生资料 2008
[3] 曹双寅邱洪兴王恒华编《结构可靠性鉴定与加固技术》
[4] 孔七一. 工程力学［M］.北京:人民交通出版社,2005.
[5] ;《公路桥涵设计》（JTJ 021-89）。