抛物线知识点归纳总结
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第二章 2.4 抛物线
焦 点弦 长
AB
12()x x p ++
12()x x p -++
12()y y p ++
12()y y p -++
焦点弦
AB 的几条性质
11(,)
A x y 22(,)
B x y
以AB 为直径的圆必与准线l 相切
若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=
若AB 的倾斜角为α
，则22cos p
AB α
= 2124
p x x =212y y p =-
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===•• 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+
1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，
，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线
的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
o
x ()22,B x y F
y ()11,A x y
直线l ：b kx y +=抛物线
，)0( p
① 联立方程法：
⎩⎨⎧=+=px
y b
kx y 22
⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，
2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆+=2
1 或2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=
， 2
2
10y y y += ② 点差法：
设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得
12
12px y =2222px y =
将两式相减，可得
)(2))((212121x x p y y y y -=+-
2
121212y y p
x x y y +=
--
a. 在涉及斜率问题时，2
12y y p
k AB +=
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，
021*******y p
y p y y p x x y y ==+=--， 即0
y p k AB =
，
同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点
),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜
率存在，且不等于零）