不等式证明例题讲解

不等式证明例题讲解
例1．已知a ，b ∈R ，求证a 2 + b 2≥ab + a + b －1．
证明：∵ (a 2 + b 2)－(ab + a + b －1)
()()()[]
01121222≥-+-+-=b a b a ， ∴ a 2 + b 2≥ab + a + b －1，当且仅当a = b = 1时等号成立．
评述 这是一个用求差比较法证明的不等式，对差式的变形是拆项和配方，以利用实数的性质：a 2≥0． 此不等式的证明还可采用函数的方法：
设f ( a ) = ( a 2+b 2 )－(ab + a + b －1) = a 2－(b + 1)a + b 2－b + 1，这是一个a 的二次函数式，由于二次项系数大于0，且∆= (b +1)2－4(b 2－b +1) =－3(b －1)2≤0，故 f ( a )≥0对一切a ∈R 恒成立．
例2．已知a ，b 为不相等的正数，求证：
()a b b
a b a b a ab b a >>+2．
分析 由于a ，b 为不等正数，所证不等式中各式都是幂与积的结构，可选用求商比较法．
证明：a ，b 为不等正数，不失一般性，设a > b > 0．
()
2222b a a b b a b a b
a b a b a ab b a ---+⎪⎭⎫ ⎝⎛== ∵ a > b > 0．
∴ 1>b a ，02
>-b a ． 由指数函数性质可知 12>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-b
a b a ，故 ()2b a b a ab b a +>． 同理 ()
12222>⎪⎭⎫ ⎝⎛==
---+b a a b b a a b b a b a b a b a ab ．故 ()a b b a b a ab >+2． 综上可得 ()a b b
a b a b a ab b a >>+2．
例3．已知a ，b ，c ∈R +，求证：
a
c c b b a c b a +++++≥++111212121 分析 直接作差，再通分变形，所得分式很繁，使判定差式符号十分困难．为此将含三个字母的差式作分项变形，以使每一差式只含两个字母，就会使判定差式符号变得容易．
证明：∵ a ，b ，c ∈R +，
∴ )
(44)()(14141b a ab ab b a a b a b b a b a +-+++=+-+
()()042≥+-=b
a a
b b a ． 同理 ()()04141412
≥+-=+-+c b bc c b c b c b ， ()()04141412
≥+-=+-+a c ca a c a c a c ． 三式相加，可得：
0111212121≥+-+-+-++a
c c b b a c b a ， 即a
c c b b a c b a +++++≥++111212121 评述 采用比较法证明不等式时，对差式或商式的变形至关重要．
例4．已知a ，b ，c ∈R ，求证：
()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222．
分析：此不等式的左边是关于a ，b ，c 的三个根式，而右边是关于a ，b ，c 的整式，采用恒等变换难以化简各个根式．为此应选用适当的放缩变换．使各根式的被开方式化为完全平方式．就有可能通过化简根式证明不等式．
证明：∵ a 2 + b 2 ≥ 2ab ，
∴ 2 (a 2 + b 2) ≥ a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2
即 ()2222b a b a +≥
+． 两边开方，得 ()b a b a b a +≥+≥+2
2||2222， 同理可得 ()c b c b +≥+2222， ()a c a c +≥+2222． 三式相加，得 ()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222．
评述 此不等式的证明采用的是综合法，在由因导果的推理过程中，选用了合理的放缩变换，而这一变换是在分析了不等式两边的差异后寻求到的．
例5．已知x ，y ，z ∈R ，且x + y + z =1，求证：3
1222≥++z y x ． 分析 条件与结论有次数上的差异，升次或降次可拉近两者的距离．条件与结论均含三个字母，利用等式x + y + z =1 可实施等量代换，以取得消元的效果．
证法一：∵ x + y + z =1 ．
∴ (x + y + z )2 =1．
()[]22222233
1z y x z y x ++=++ ()()()[]2222222223
1x z z y y x z y x ++++++++= ()
zx yz xy z y x 2223
1222+++++≥ ()31312=++=z y x ． 证法二：由x + y + z =1 得 z = 1－x －y ，因此
()2222221y x y x z y x --++=++
()1222+--++=y x xy y x
()[]
11222+-+-+=y y x y x
1412321222+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y y x ()131121321222+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y x ()31136121222
+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y x 3
1≥． 评述 这是一个条件不等式的证明问题，抓住条件与结论的特征和差异，就能设计出有效的变形策略．由于结论中不等式的左边是二次齐次式．实施配方是很自然的．
例6．已知a ，b ，c 是不等正数，且abc = 1，求证：c
b a
c b a 111++<++． 分析 所证不等式的两边有根式与分式的差异，在题设的abc =1的条件下，或将左式c b a ++变形为ab ca bc 111++，或将左式c
b a 111++变形为b
c + ca + ab ，都有可能拉近左、右两式的距离，找到进行不等式变换的途径．
证法一：∵ a ，b ，c 是不等正数，且abc =1，
∴ ab
ca bc c b a 111++=++ 2
11211211b a a c c b +++++<
c
b a 111++=． 证法二：∵ a ，b ，
c 是不等正数，且abc =1．
∴ c
b a 111++= b
c + ca + ab 2
22bc ab ab ca ca bc +++++= c ab bc a abc 222++> =c b a ++．
评述 例4—例6都是采用综合法由因导果证明不等式，为能有效地揭示条件与结论之间的因果关系，需要着力分析已知与求证之间的差异和联系，不等式两边之间的差异和联系．在此基础上实施有效的等式变换与不等式变换．
例7．已知a ，b ∈R +，且a + b =1，求证：3a + 3b < 4．
分析 此题中已知条件的结构简单，而求证的不等式结构复杂，利用a + b =1 消元，将结论化为一元不等式后逐步化简，寻求使其成立的充分条件．
证明：由于a + b =1，a ，b ∈R +．
3a + 3b < 4 ⇐ 3a + 31-a < 4 ⇐()0333432<+⋅-a
a a ⇐()033432<+⋅-a a
⇐ (3a －1) (3a －3) < 0
⇐ 1< 3a < 3
⇐ 0 < a < 1 ．
而在 a ，b ∈R +，且a + b =1的条件下，0 < a < 1一定成立，故3a + 3b < 4成立．
例8．已知a + b > 0，求证：
()()()
1lg 1lg lg 222+++≤+b a b a
证明：由于a + b > 0，a 2 + 1 > 0，b 2 + 1 > 0 ()()()1lg 1lg lg 222+++≤+b a b a
⇐ ()()()[]
11lg lg 222++≤+b a b a ⇐ (a + b )2 ≤ ( a 2 + 1) ( b 2 + 1 )
⇐ a 2 + 2ab + b 2 ≤ a 2 b 2 + a 2 + b 2 + 1
⇐ a 2 b 2 －2ab +1 ≥ 0
⇐ (ab －1)2 ≥ 0
不等式 (ab －1)2 ≥ 0一定成立，故()()()
1lg 1lg lg 222+++≤+b a b a 成立． 例9．设函数f ( x ) = tan x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，x ．已知x 1，x 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，且x 1≠x 2，求证()()[]⎪⎭
⎫ ⎝⎛+>+2212121x x f x f x f ． 证明 ()()[]⎪⎭
⎫ ⎝⎛+>+2212121x x f x f x f ⇐
()2tan tan tan 212121x x x x +>+ ⇐ 2tan cos sin cos sin 21212211x x x x x x +>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ ⇐ ()()()
21212121cos 1sin cos cos 2sin x x x x x x x x +++>+ ⇐
()()()()()2121212121cos 1sin cos cos sin x x x x x x x x x x +++>-+++ ( * ) 由于x 1，x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，且x 1≠x 2，可知x 1 + x 2∈(0，π)，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈-2221ππ，x x ，且 x 1－x 2≠0，因此：
sin (x 1 + x 2) > 0，0 < cos ( x 1 + x 2 ) + cos ( x 1－x 2 ) < 1 + cos ( x 1 + x 2 )．由此可知，不等式（*）一定成立，故不等式()[]⎪⎭
⎫ ⎝⎛+>+2)(212121x x f x f x f 成立． 评述 例7—例9 都是采用分析法执果索因证明不等式．从所需证明的不等式出发，逐步寻求使其成立的充分条件的过程，同时具有简化结论的作用，用分析法比较适宜．例9中的“切”化“弦”就是一种简化．
例10．已知a ，b ，c ∈R ，且 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证a ，b ，c 全是正数．
分析 此题的已知条件结构比较复杂（分别是a ，b ，c 的和、两两乘积之和，以及积均为正数），而结论只是a ，b ，c 的符号．求证的结论及对结论的否定的结构都比较简单，因此可从对结论的否定的假设出发进行推理，并推出矛盾，从而推证结论成立，即采用反证法．
证明：假设a ，b ，c 不全是正数，则由abc > 0可知a ，b ，c 三个实数中有两个负数，一个正数．不失一般性，设a < 0，b < 0，c > 0．
∵ a + b + c > 0，
∴ c >－( a + b ) > 0．
两边同乘以负数a + b ，得c (a + b ) < －( a + b )2
即ca + bc < －a 2－2ab －b 2
由此可得 ab + bc + ca < －a 2－ab －b 2 = －(a 2 + ab + b 2) < 0，与已知ab + bc + ca > 0矛盾，假设错误，故a ，b ，c 全是正数．
评述 采用反证法证明不等式的关键步骤有两个，一是提出与结论相反，即对结论的否定的假设；二是由假设出发，进行正确的推理，推出矛盾．
此命题的逆命题“若a ，b ，c 全是正数，则a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”也是真命题，因此可得出“a ，b ，c 全是正数的充要条件是a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0”的结论．
例11．求证：当n ∈N ，n ≥2时，
n n 121312112
22-<++++
Λ． 证明：1˚ 当n =2时，左边=45411=+，右边=23212=-，不等式成立． 2˚ 假设当n = k （k ≥2）时不等式成立：
k k 12131211222-<++++
Λ． 则 ()()
22222111211131211++-<++++++k k k k Λ ∵ ()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21112112k k k ()2
11111+-+-=k k k ()()()()
011111222>+=+-+-+=k k k k k k k k ， ∴ ()1
1211122+-<++-k k k ． 由此可得 ()112111312112222+-<++++++
k k k Λ，说明当n = k +1时不等式仍成立． 由1˚、2˚可知不等式对一切不小于2的自然数n 都成立．
评述 此题采用数学归纳法证明是很自然的、有效的．但数学归纳法并不是惟一的证法．采用放缩变换也可证明此不等式．
∵ n ∈N ，n ≥2，
∴ 232121211n
++++Λ ()n n ⋅-++⋅+⋅+<113
212111Λ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n 11131212111Λ
n
12-=． 例12．已知i ，m ，n 是正整数，且1< i ≤ m < n ．
（1）证明 i n i i m
i P m P n <； （2）证明 (1+ m )n > (1 + n )m ．
分析 i m P ，i n P 是两个排列数，各是i 个连续正整数的积．第（1）问应采用商值比较法．第（2）问所需证明
的不等式两边都是二项式，应从其展开式的项数及对应项的大小入手进行证明．
证明：（1）∵ i ，m ，n 是正整数，且1< i ≤ m < n ．
∴ ())1(1+--⋅=i m m m P i m
ΛΛ， ())1(1+--⋅=i n n n P i n ΛΛ
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=111
1i n i m n m n m m n P m P n i i n i i m i ΛΛ ()()()()1111+-+---⋅⋅⋅=
i n m i m n n m m n n m m n ΛΛ ① ∵ m < n ，
∴ 对整数 k = 1，2，…，i －1，
n (m －k )－m ( n －k ) = k ( m －n ) < 0
即 0 < n (m －k ) < m ( n －k )．
∴ ()()
10<--<k n m k m n ． 代入①式，可得
1<i n i i m i P m P n ，故 i n i i m i P m P n <．
（2）∵ m < n ， ∴ 由二项式定理得
()n n
n m n m m n m n n n C m C m C m mC C m m ++++++=+++ΛΛ111001 ()m n m m m m C n nC C n n +++=+Λ
1001．
∵ i m i m C i P !=，i n i n C i P !=
∴ 由i n i i m i P m P n < 可得 i n i i m i C m C n < 由此可得
()()m
n n m +-+11
()()()
011110000>+++-++-+-=++n n n m n m m m m m n m m n m n C m C m C n C m nC mC C n C m ΛΛ 故 (1+ m )n > (1 + n )m ．
评述 这是一道与排列、组合、二项式定理相综合的两个不等式的证明问题，分别采用了求商比较法和求差比较法．把握住商式和差式的结构特征，并进行合理的变形是证明不等式的关键．。