不等式证明例题讲解

不等式证明例题讲解

例1．已知a ，b ∈R ，求证a 2 + b 2≥ab + a + b －1．

证明：∵ (a 2 + b 2)－(ab + a + b －1)

()()()[]

01121222≥-+-+-=b a b a ， ∴ a 2 + b 2≥ab + a + b －1，当且仅当a = b = 1时等号成立．

评述 这是一个用求差比较法证明的不等式，对差式的变形是拆项和配方，以利用实数的性质：a 2≥0． 此不等式的证明还可采用函数的方法：

设f ( a ) = ( a 2+b 2 )－(ab + a + b －1) = a 2－(b + 1)a + b 2－b + 1，这是一个a 的二次函数式，由于二次项系数大于0，且∆= (b +1)2－4(b 2－b +1) =－3(b －1)2≤0，故 f ( a )≥0对一切a ∈R 恒成立．

例2．已知a ，b 为不相等的正数，求证：

()a b b

a b a b a ab b a >>+2．

分析 由于a ，b 为不等正数，所证不等式中各式都是幂与积的结构，可选用求商比较法．

证明：a ，b 为不等正数，不失一般性，设a > b > 0．

()

2222b a a b b a b a b

a b a b a ab b a ---+⎪⎭⎫ ⎝⎛== ∵ a > b > 0．

∴ 1>b a ，02

>-b a ． 由指数函数性质可知 12>⎪⎭

⎫ ⎝⎛-b

a b a ，故 ()2b a b a ab b a +>． 同理 ()

12222>⎪⎭⎫ ⎝⎛==

---+b a a b b a a b b a b a b a b a ab ．故 ()a b b a b a ab >+2． 综上可得 ()a b b

a b a b a ab b a >>+2．

例3．已知a ，b ，c ∈R +，求证：

a

c c b b a c b a +++++≥++111212121 分析 直接作差，再通分变形，所得分式很繁，使判定差式符号十分困难．为此将含三个字母的差式作分项变形，以使每一差式只含两个字母，就会使判定差式符号变得容易．

证明：∵ a ，b ，c ∈R +，

∴ )

(44)()(14141b a ab ab b a a b a b b a b a +-+++=+-+

()()042≥+-=b

a a

b b a ． 同理 ()()04141412

≥+-=+-+c b bc c b c b c b ， ()()04141412

≥+-=+-+a c ca a c a c a c ． 三式相加，可得：

0111212121≥+-+-+-++a

c c b b a c b a ， 即a

c c b b a c b a +++++≥++111212121 评述 采用比较法证明不等式时，对差式或商式的变形至关重要．

例4．已知a ，b ，c ∈R ，求证：

()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222．

分析：此不等式的左边是关于a ，b ，c 的三个根式，而右边是关于a ，b ，c 的整式，采用恒等变换难以化简各个根式．为此应选用适当的放缩变换．使各根式的被开方式化为完全平方式．就有可能通过化简根式证明不等式．

证明：∵ a 2 + b 2 ≥ 2ab ，

∴ 2 (a 2 + b 2) ≥ a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2

即 ()2222b a b a +≥

+． 两边开方，得 ()b a b a b a +≥+≥+2

2||2222， 同理可得 ()c b c b +≥+2222， ()a c a c +≥+2222． 三式相加，得 ()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222．

评述 此不等式的证明采用的是综合法，在由因导果的推理过程中，选用了合理的放缩变换，而这一变换是在分析了不等式两边的差异后寻求到的．

例5．已知x ，y ，z ∈R ，且x + y + z =1，求证：3

1222≥++z y x ． 分析 条件与结论有次数上的差异，升次或降次可拉近两者的距离．条件与结论均含三个字母，利用等式x + y + z =1 可实施等量代换，以取得消元的效果．

证法一：∵ x + y + z =1 ．

∴ (x + y + z )2 =1．

()[]22222233

1z y x z y x ++=++ ()()()[]2222222223

1x z z y y x z y x ++++++++= ()

zx yz xy z y x 2223

1222+++++≥ ()31312=++=z y x ． 证法二：由x + y + z =1 得 z = 1－x －y ，因此

()2222221y x y x z y x --++=++

()1222+--++=y x xy y x

()[]

11222+-+-+=y y x y x

1412321222+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y y x ()131121321222+⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y x ()31136121222

+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y x 3

1≥． 评述 这是一个条件不等式的证明问题，抓住条件与结论的特征和差异，就能设计出有效的变形策略．由于结论中不等式的左边是二次齐次式．实施配方是很自然的．

例6．已知a ，b ，c 是不等正数，且abc = 1，求证：c

b a

c b a 111++<++． 分析 所证不等式的两边有根式与分式的差异，在题设的abc =1的条件下，或将左式c b a ++变形为ab ca bc 111++，或将左式c

b a 111++变形为b

c + ca + ab ，都有可能拉近左、右两式的距离，找到进行不等式变换的途径．

证法一：∵ a ，b ，c 是不等正数，且abc =1，

∴ ab

ca bc c b a 111++=++ 2

11211211b a a c c b +++++<