高中数学 等差数列及其前n项和 课件

等差数列及其前n 项和

【要点梳理】

要点一、等差数列的定义 文字语言形式

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

要点诠释：

⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）； 符号语言形式

对于数列{}n a ,若1n n a a d --=(n N +∈，2n ≥,d 为常数)或1n n a a d +-=(n N +∈，d 为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d 叫做等差数列的公差。

要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”，必须与n 无关。 等差中项

如果a ,A ,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即2

b

a A +=. 要点诠释：

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a ，b 的等差中项存在且唯一. ②三个数a ,A ,b 成等差数列的充要条件是2

b

a A +=. 要点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式

首相为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为：

推导过程： （1）归纳法：

根据等差数列定义1n n a a d --=可得：1n n a a d -=+， ∴211(21)a a d a d =+=+-，

32111()2(31)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-， 43111(2)3(41)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-，

……

d

n a a n )1(1-+=

当n=1时，上式也成立

∴归纳得出等差数列的通项公式为：d n a a n )1(1-+=（n N +∈）。

（2）叠加法：

根据等差数列定义1n n a a d --=，有：

21a a d -=， 32a a d -=， 43a a d -=，

…

1n n a a d --=

把这1n -个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得1(1)n a a n d -=-， ∴1(1)n a a n d =+-. (3)迭代法：

d n a d d d a d d a d a a n n n n )1()()(12

221-+=++++==++=+=---443

4421ΛΛ

∴1(1)n a a n d =+-. 要点诠释：

①通项公式由首项1a 和公差d 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。

②通项公式中共涉及1a 、n 、d 、n a 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。

等差数列通项公式的推广

已知等差数列{}n a 中，第m 项为m a ，公差为d ，则：

证明：∵1(1)n a a n d =+-，1(1)m a a m d =+-

∴11[(1)][(1)]()n m a a a n d a m d n m d -=+--+-=- ∴()n m a a n m d =+-

由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式1(1)n a a n d =+-可以看成是1m =时的特殊情况。

要点三、等差数列的性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则

①若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时2m n p a a a +=.

②下标成公差为m 的等差数列的项k a ,k m a +,2k m a +,…组成的新数列仍为等差数列，公差为md . ③若数列{}n b 也为等差数列，则{}n n a b ±，{}n ka b ±，（k,b 为非零常数）也是等差数列. ④123456789,,,a a a a a a a a a ++++++……仍是等差数列. ⑤数列{}+n a b λ（λ，b 为非零常数）也是等差数列. 要点四、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式

证明：倒序相加法

n n n a a a a a S +++++=-1321Λ ① 1221a a a a a S n n n n +++++=--Λ ②

①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++L ∵121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+L L ∴)(21n n a a n S += 由此得：2

)

(1n n a a n S +=

证明：将d n a a n )1(1-+=代入2)(1n n a a n S +=可得：2

)1(1d

n n na S n -+= 要点诠释：

①倒序相加是数列求和的重要方法之一。

②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。

要点五、等差数列的前n 项和的有关性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则

①连续k 项的和依然成等差数列，即k S ,2k k S S -,32k k S S -，…成等差数列，且公差为2

k d . ②若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=偶奇，

1

n n S a

S a +=奇偶 ③若项数为2n-1，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1

S n S n =

-奇偶

要点六、等差数列中的函数关系

等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数(或常数函数)

等差数列{}n a 中，11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，令1a d b -=

,则：

（1）当0d =时，n a b =为常数函数，{}n a 为常数列；它的图象是在直线y b =上均匀排列的一群孤立的点。

（2）当0d ≠时，n a dn b =+是n 的一次函数；它的图象是在直线y dx b =+上均匀排列的一群孤立的点。

①当0d >时，一次函数单调增，{}n a 为递增数列； ②当d ＜0时，一次函数单调减，{}n a 为递减数列。

等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）