根据空间4点坐标求球心坐标

程序设计艺术与方法课程

2012“达内杯”安徽省程序设计竞赛

Problem J 银河系5A风景区

解题报告

题目原文：

Description

巴尔坦星是个银河系中一个著名的观光景点，它之所有著名，是因为巴尔坦星有四颗卫星，而且四颗卫星距离巴尔坦星的距离都是一样的！某天，巴尔坦星上的居民们想知道自己星球所处的具体三维宇宙坐标，因为科技落后，巴尔坦星上的居民只有某个时刻测得的四颗卫星的坐标。现在请你写个程序帮可怜的巴尔坦星居民给自己的星球定下位吧。

Input

第一行是一个整数t，表示有t组测试数据。（t <= 30）

每组数据占四行，表示四颗卫星的坐标。

每行三个实数x, y, z表示该点的坐标为(x,y,z)。

输入数据保证每组的数据都可以确定巴尔坦星，设巴尔坦星的坐标为(ox, oy, oz)，每颗卫星到巴尔坦星的距离都是r。

则以下不等式总是成立：

-500 <= ox, oy, oz <= 500，500 <= r <= 1000。

Output

对于每组数据输出一行；"Case #k: x y z" 。k表示第k组数据，x, y, z 表示巴尔坦星的坐标（均保留到小数点后一位）。

Sample Input

1

1.1 0 0

0.1 1.0 0

0.1 -1.0 0

0.1 0 1.0

Sample Output

Case #1: 0.1 0.0 0.0

解题思路：

本题本质上是一道空间解析几何题，其核心是利用三维空间中不共面的四个点的坐标来求球心坐标。我利用四个点到球心距离相等的性质，列出四个三元二次方程，再两两消去，得到三个三元一次方程，该方程组是一个线性非齐次方程组，

利用系数行列式表示，并且运用克拉默法则，可以解出该方程组，方程组的解就是球心的坐标。

算法：

题中所要求坐标的星球有四颗卫星，可以对应空间中的四个点，因为知道四个卫星的坐标，所以已知这四个点的坐标，可设为A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)，设半径为r ，球心O 坐标为(x,y,z)。利用四点到球心距离相等的性质得到如下四个方程。

(x −x1)2+(y −y1)2 +(z −z1)2 =r 2; (x −x2)2+(y −y2)2 +(z −z2)2 =r 2; (x −x3)2+(y −y3)2 +(z −z3)2 =r 2; (x −x3)2+(y −y3)2 +(z −z3)2 =r 2;

展开得：

x 2+y 2+z 2−2(x1x+y1y+z1z) + x12 + y12 + z12=r 2; ○1 x 2+y 2+z 2−2(x2x+y2y+z2z) + x22 + y22 + z22=r 2; ○2 x 2+y 2+z 2−2(x3x+y3y+z3z) + x32 + y32 + z32=r 2; ○3 x 2+y 2+z 2−2(x4x+y4y+z4z) + x42 + y42 + z42=r 2; ○

4

分别作○1−○2、○3−○4、○2−○3得：

(x1-x2)x+(y1-y2)y+(z1-z2)z=1

2(x12−x22 + y12−x22 + z12−z22);

(x3-x4)x+(y3-y4)y+(z3-z4)z=12(x32

−x42 + y32−x42 + z32−z42);

(x2-x3)x+(y2-y3)y+(z2-z3)z=12

(x22

−x32 + y22−x32 + z22−z32);

其对应的系数行列式可设为：

D=

a b c

a1b1c1

a2b2c2则a=(x1-x2), b=(y1-y2), c=(z1-z2)

a1=(x3-x4), b1=(y3-y4), c1=(z3-z4);

a2=(x2-x3), b2=(y2-y3), c2=(z2-z3);

常数项行列式为：

P

Q

R

则P=1

2(x1

2−x22+ y12−x22+ z12−z22);

Q=1

2(x3

2−x42+ y32−x42+ z32−z42);

R=1

2(x2

2−x32+ y22−x32+ z22−z32);

现设Dx=

P b c

Q b1c1

R b2c2

Dy=

a P c

a1Q c1

a2R c2 DZ=

a b P a1b1Q a2b2R

由线性代数中的克拉默法则可知：

x=Dx / D;

y=Dy / D;

z=Dz / D;

由此即可解出三元一次方程组的解，所得解也就是空间四个点所在球的球心坐标。还原至题中亦即巴尔坦星的坐标。

收获和分析：

我的收获：

在解决问题的过程中，我了解到了方法和知识的重要性，在解决问题的过程中采取合适的方法将事半功倍，而这需要我们平时不断地积累，善于使用专业课所学的知识；还有就是团队协作的能力得到了锻炼，本题的解答，是我和室友共同努力的结晶，是我们团队协作的成果。

关于题目的分析：

解题过程中，我曾一度陷入僵局，早先就列出了三元一次方程组，却是利用高中时所学的代入法，解出了x, y ,z的公式，但解出的公式却有一个致命伤，对输入的很多组测试数据，偶尔有使公式的分母出现0的情况，此时公式便失去了作用，即程序有bug，这个问题是公式法算法中迟迟无法解决的。而就本题而言，采用行列式的解法和克拉默法则后，只有当空间中的四点共面时才会出现无解的情况，而这时才会使系数行列式D值为0；通过数学我们知道，共面的四个点无法确定一个球，所以本题合理的输入不应包括共面的四个点的坐标。有了求解球心的函数之后(以上算法编成一个函数)，开始考虑规范化输入输出，这应当不难解决

源代码：。

#include

#include //fabs()、sqrt()函数

#include //用于控制输出精度

#define maxnum 30

using namespace std;

void solve();

//double distances(double x1,double y1,double z1,double h1,double h2,double h3);

int main()

{

solve();

system("PAUSE");

return 0;

}