平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用

对平面内任意的两个向量a,b(b O),a//b 的充要条件是：存在唯一的实数

，使a b

uuv IV UJV

的0,存在唯一的一对实数 x,y 使得：OP xOA yOB 且x y 特别地有：当点P 在线段AB 上时，x 0,y

当点P 在线段AB 之外时，xy 0

笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得 十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式的妙用，供同行交流。

例1 (06年江西高考题理科第 7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项

和为 S ，若

UUJ uur

iuu

OB a 1OA a 200OC ，且A 、B 、C 三点共线，(设直线不过点0),则Soo

=( )

A.

100 B. 101 C. 200 D.

201

解:由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,二S 200 200(a ~a20

°)

100,故选Ao

2

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经 典的咼考题。

例2已知P 是 ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.y

点共线定在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点

由该定理可以得到平面内三点共线定理:

1

。

的最小值是 ___

解：Q点P落在VABC的边BC上B,

JUJ uur

xAB yAC P,C三点共线

JJJ Q

AP 且

x>0,y>0

1 4 (—-) x y 1

(

x

4

)(x y

Q x>0,y>0 由基本不等式可

知:

4x 5 丫

x

4x

y

y

4

y4x2：y4x

x y:x y

4，取等号时y

y) 1 -

x

y 4x 2 2 1 2

y 4x y 2xQ x 0, y 0 y 2xQx y 1 x -,y ，符合

x y 3 3

1 4

所以丄4的最小值为9

x y

点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.

例3 （湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2,在厶ABC中,

uuur AN 1

UULT -

NC，

3

点P是BC上的一

点，

uuu

若AP

UUU 2 UULT

mAB —AC，则实数m的11

值为( )

9532 A. B. C. D.

11111111

uuu 解：Q B,P,N三点共线，又Q AP uuu

mAB

2

UULT

AC 11

uuu

mAB

2 UUUT

4AN 11

uuu

mAB

空ANT

11

8

m -

11 m -，故选C

11

例4 （07年江西高考题理科）如图3,在厶ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB AC于不同的两点M

的值为__________ .

四边形法则可知：uuur

AO

1 UUL

ff

— (AB

UUL

T

AC)

UULT UUUU

UULT uuur

Q AB= mAM ，AC nAN

uuur 1 uumr UULT

AO -(mAM nAN )

2

UULT m UUUU n UULT

AO AM —AN

2 2

又Q M,O, N三点共线，

由平面内三点共线定理可得：--

2 2

例5 （广东省2010届高三六校第三次

联）

别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线.

1 1

设OP xOA，OQ yOB，证明：是定值；

x y 图2

解：Q因为O是BC的中点，故连接AO

N,若AB = m AM ，AC = n AN，贝U m+ n

如图5所示：点G是厶OAB的重心，P、Q分

例6 （汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图 6所示,

uuu 1 uuu mur 在平行四边形 ABCD 中, AE ^AB ,AF 3 uuu r uuur r uur

点，记 AB a ，AD b ，则 AG

由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得

uuLr AG uuu xAE uuir

(1 x)AC

uuir ,Q AE 1 UUU AB

1 r -a , 3 uuur r

AC a

uuLr 1 r r r 2x r

r AG x -a (1 x)(a b) (1 )a (1 x)b -

3

3

A 2r 1 r

c 2 r 3r 3r 1 r

4 r 2r A. — a b

B. a b

C. a b

D.

a b 7 7

7 7 7 7

7 7

分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联 想到点F 、G B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。 UUL T OG 2 1 uuu uuu --(OA OB) 3 2 1 uuu -(OA 3 uiur OB) ULu r QOP

uuu uuu xOA

OA 1 uuu -OP x uuur QOQ

UUL

T OG

1 UUU UUU 1 1 uuu -(OA OB) _(_0P 3 3 x 1 uuir

OQ) y 又Q P,G,Q 三点共线，

1 1

1

3x 3y

uuu

yOB uiur

OB

1 uuir -OQ y 图5

uuu

r 1 uuu 1 ULU

OG — OP OQ

3x 3y

1 1 3

1

1

1为定值3

x y x y

解：Q E,G,C 三点共线, 又Q F,G,B 三点共线, 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 使得

证明：Q 因为G 是VOAB 的重心,

1 UULT

丄AD ,CE 与BF 相交于G

4

图6