质心运动定理_动量定理

=
W
+ g
P ω 2e cosωt
，即：
Fx
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
dPy dt
= Fy
Fy
=
dPy dt
=
d eωW cosωt eω 2W sin ωt
(
)=−
dt
g
g
= − W ω 2e cosωt ，即 g
Fx
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
[习题 10-5] 大直角锲块 A 重 P，水平边长为 a ，放置在光滑水平面上；小锲块 B 重 Q ，
11a − 4 = 11c − 4 3
11(c − a) = 4( 3 −1) (c − a) = 4 ( 3 −1) = 0.2662(m)
11
4
故，当起重杆 OA 转到与铅垂位置成 300 角时，起重机向左移动了 0.2662 米。
[习题 10-4] 匀质圆盘绕偏心轴 O 以匀角速度 ω 转动。重 P 的夹板借右端弹簧推压面顶在圆 盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重 W，半径为 r ，偏心距为 e ，求任一瞬时
xC2 =
220
A
xC 2
=
220c + 100b − 80 220
3
11c + 5b − 4 3
xC2 =
11
因为质心守恒，所以
xC1 = xC 2 ，即：
y
60 0
P1
x
O
P2
qb
c
b
11a + 5b − 4 = 11c + 5b − 4 3
11
11
11a + 5b − 4 = 11c + 5b − 4 3
220
xC1
=
11a
+ 5b 11
−
4
当 OA 杆转到与铅垂位置成 300 角时，
质点系质心的横坐标为：
xC 2
=
P1 xC1 + P2 xC2 P1 + P2
− 20 × (8cos 300 − c) + 200 × (c + b )
=
2
20 + 200
20c − 80 3 + 200c + 100b
3
xC1
=
m1 xC1 m1
+ m2 xC2 + m2
xC1
=
P1 xC1 P1
+ P2 xC2 + P2
− 20 × (8 cos 600 − a) + 200 × (a + b )
=
2
20 + 200
xC1
=
20a
− 80
+ 200a 220
+ 100b
220a + 100b − 80
xC1 =
s = (a − b)Q （A 锲块各左移动的位移） P+Q
[习题 10-6] 匀质杆 AB 长 2l ，其 B 端搁置于光滑水平面上，并与水平成ϕ0 角，当杆倒下
时，求杆端 A 的轨迹方程。
解：由于 AB 杆在水平方向上不受力，所以其质心的 x 坐标守恒。 即： xCt = xC0 = l cosϕ0
1
解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆 作平面运动。
y
P3
P2
→
P1 ωt
ω
→
v C3r
→
v C1
v C2r
x
O
→
→
→
vC 2 = vC1 + vC2C1
vC2r = lω
vC2x = lω cosωt − vC1
→
→
→
vC3 = vC1 + vC3C1
第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
[习题 10-1] 船 A、B 的重量分别为 2.4kN 及1.3kN ，两船原处于静止间距 6m 。设船 B 上 有一人，重 500N ，用力拉动船 A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，
船 B 移动的距离。 解：以船 A、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：
水平边长为 b （ a > b ），如图放置在 A 上，当小锲块 B 完全下滑至图中虚线位置时，求大
锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在
水平方向不受力，即 Fx = 0 ，所以： b
maCx = Fx = 0
B
aCx = 0 dvC = 0 dt
A
a
6
vC = C1 vC |t=0 = C1 = 0 ，故： vC = 0
( y)2 2
=
l
，为一椭圆。
y
C ϕ B
A(x, y) x
NA
[习题 10-7] 图示系统中， mA = 4kg ， mC = 2kg ，θ = 300 。设当 A 在斜面上作无初速地
向下滚过 40cm 时，斜面在光滑的水平面上移过 20cm 。求 B 的质量。
y A
y A
C
mAg θ
mC g
B
mB g x
因为质点系在水平方向不受力，所以 Fx = 0
d (mvCx ) dx
=
Fx
=
0
vCx＝const
y
30 0
P1
x
O
P2
vCx |t=0 ＝const = 0 vCx＝0
qb
a
b
dxC = 0 dt
xC＝const 。即 OA 运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。
当 OA 杆转到与铅垂位置成 300 角时，质点系质心的横坐标为：
瞬时轴 O 约束力（ OC = 4R ）。 3π
解： 在法向应用牛顿第二定理得：
man = Fn = Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sinϕ
m ⋅ OC ⋅ ω 2 = Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sin ϕ
4Rmω 2 3π
= Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sin ϕ
+0
=
(W
+ P)eω sin ωt g
Weω cosωt
Weω cosωt
Py = P1y + P2 y + P3y =
g
+0+0=
g
dPx dt
=
Fx
+ FN
−W
−P−G
式中， FN = W + P + G ，故：
Fx
=
d [(W dt
+
P)eω sin ωt ] g
=
eω 2 (W
+ P) cosωt g
mA
6− t
s
=
(mB
+
m人 )
s t
mA (6 − s) = (mB + m人 )s
2.4(6 − s) = (1.3 + 0.5)s
y
O
A
B
x
6−s
s
2.4(6 − s) = (1.3 + 0.5)s
4(6 − s) = 3s s = 24 = 3.43(m)
7 [习题 10-2] 电动机重 P1 ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长 2L ，重 P2 ，一端与 电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重 P3 的物体，设机轴的角速度为 ω （ ω 为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
N1
N2
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b
c
C
mAg θ
mC g
20 3
B
mB g x
N1
20
a
N2
b
c
解：以 A、B、C 构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力，
所以 aCx = 0 ，即：
8
dvCx = 0 dt
vCx = C1
vCx |t=0 = C1 = 0 ，故：
vCx = 0
dxC = const ，即质心守恒： dt
W Weω P1 = g vC1 = g
当偏心轮转动时，夹板的动量为：
P P2 = g vC2
因为夹板作平动，所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度。切 点的运动方程为：
x = e − e cosωt
W vC1 ω r
e ωtC1
O
P
vC2 x
C2
G C3
Fx Fy FN
vx = 0 − e(−ω sin ωt) = eω sin ωt ，即：
dxC = 0 dt
xC = const ，即质心守恒：
xC1 = xC2
P a Q 2b
×+ ×
g 3 g 3 Pa + 2bQ
xC1 =
PQ +
= 3(P + Q)
gg
a
b
P( − s) + Q(a − s − )
xC2 = 3
P+Q
3
y
b B
A
a
x
y
P
A
a
s
bQ B
x
P(a − 3s) + Q(3a − 3s − b)
sin ωt
这就是电动机的水平运动方程。
[习题 10-3] 浮动起重机起吊重 P1 = 20kN 的重物，起重机重 P2 = 200kN ，杆长 OA = 8m ，
开始时杆与铅垂位置成 600 角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆 OA 转到与铅垂位置成
300 角时，求起重机的位移。 A
解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。
作用于基础和别螺栓的动反力。 解：设机座的重量为 G，则当偏心轮转动时， 质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时， 水平约束力不存在，此时的反力为静反力：
FN = W + P + G ；当偏心轮转动时，存在
动反力： Fx 和 Fy 。质点系的受力与运动分
析如图所示。 当偏心轮转动时，偏心轮的动量为：
vC2 = e sin ωt ，故：
P2
=
P g vC2
=
Peω sin ωt g
当偏心轮转动时，机座的动量为：
GG P2 = g vC3 = g × 0 = 0
质点系的动量为：
5
→ →→→
P = P1 + P2 + P3
Px
=
P1x
+
P2 x
+
P3x
Weω sin ωt ==
g
+
Peω sin ωt g
m2lω cosωt + 2m3lω cosωt = (m1 + m2 + m3 )vC1
vC1
=
lω (m2 + m3 ) m1 + m2 + m3
cos ω t
2
dxC1 = lω (m2 + m3 ) cosωt dt m1 + m2 + m3
dxC1
=
lω (m2 + m3 ) m1 + m2 + m3
7
质心 C 沿 x = l cosϕ0 直线向下运动。 设任意时刻 A 的坐标为 A(x, y) ，则：
y A
x = l cosϕ0 + l cosϕ x − l cosϕ0 = l cosϕ y = 2l sinϕ
C
ϕ0
x
B
NA
y = l sinϕ 2 消去ϕ 得：
(x
− l cosϕ0 )2
+
4a + 80 − 80 xC2 =
4b 3 + 3 + 40 + mB (b + c) + 20mB
4 + 2 + mB
4a + 120 − 80 xC2 =
3
+
4b 3
+
mB
(b
4 + 2 + mB
+ c) + 20mB
，由 xC2
=
xC1 得：
4b
4b
4a +
3
+ mB (b + c) 4a + 120 − 80 =
cos ω tdt
xC1
=
lω (m2 + m3 ) m1 + m2 + m3
∫ cosωtdt
xC1
=
l(m2 + m3 ) m1 + m2 + m3
∫ cosωtd (ωt)
xC1
=
l(m2 + m3 ) m1 + m2 + m3
sin ωt
xC1
=
l(P2 + P3 ) P1 + P2 + P3
vC3r = 2lω
N1
N2
→
v C1
→
ωt
v C1 ωt
→
v C3r
ωt
→
→
v C1
v C2r
vC3x = 2lω cosωt − vC1
因为质点系在水平方向上不受力，所以
∑ Fx = Fix = 0
由动量定理得：
[−m1vC1 + m2 (lω cosωt − vC1 ) + m3 (2lω cosωt − vC1 )] − 0 = Fxt
∑ Fix = 0 ，
y
设 B 船向左移动了 S 米， 则 A 船向右移动了 6－S 米。 由质点系的动量定理得：
[mAvA－(mB + m人 )vB ]－0＝Fxt [mAvA－(mB + m人 )vB ]＝0
OA
B
x
x0
6m
mAvA = (mB + m人 )vB
mAvA = (mB + m人 )vB
[−m1vC1 + m2 (lω cosωt − vC1 ) + m3 (2lω cosωt − vC1 )] − 0 = 0
m2 (lω cosωt − vC1 ) + m3 (2lω cosωt − vC1 ) = m1vC1
m2lω cosωt − m2vC1 + 2m3lω cosωt − m3vC1 = m1vC1
3+
3
+ mB (b + c) + 20mB
6 + mB
6 + mB
0 = 120 − 80 3 + 20mB
0 = 6 − 4 3 + mB
mB = 4 3 − 6 = 0.928(kg)
9
[习题 10-8] 质量为 m ，半径为 R 的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕 O 轴转动，转动
的角速度为 ω ，角速度为 α 。C 点为半圆板的质心，当 OC 与水平线成任意角 ϕ 时，求此
xC2 = xC1
xC1
=
mAa
2b + mC 3 + mB (b mA + mB + mC
+
c)
xC1
=
4a
+
2 × 2b 3
4+2
+ +
mB (b mB
+
c)
=
4a
+
4b
3 6
+ +
mB mB
(b
+
c)
2b
4(a + 20 − 20 xC2 =
3) + 2( 3 + 20) + mB (b + c + 20) 4 + 2 + mB
xC2 =
3(P + Q)
xC 2
=
Pa − 3Ps + 3Qa − 3Qs − Qb 3(P + Q)
，故：
Pa + 2bQ Pa − 3Ps + 3Qa − 3Qs − Qb
=
3(P + Q)
3(P + Q)
2bQ = −3(P + Q)s + 3Qa − bQ
3(P + Q)s = 3Qa − 3bQ