最全面沪教版九年级数学下册圆心角、弧、弦、弦心距间关系教案(精华版)

《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》教案

教学目标：

1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；

2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用

这些关系解决有关问题；

3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的

认识规律．

教学重点和难点：

重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系；

难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系．

教学过程：

一、创设情景，引入新课

圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．

1．动态演示，发现规律

投影出示图，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°

后．问：

( 1) 结果怎样？

学生答：和原来的平行四边形重合．

( 2) 这样的图形叫做什么图形？

学生答：中心对称图形．

投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．由学生观察后，归纳出：圆

是

以圆心为对称中心的中心对称图形．

30°，45°，90°，让学生投影继续演示如图7－49，让直径AB 两个端点A，B绕圆心旋

转

观察发现什么结论？

得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．

α，你发现什么？

进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度

学生答：仍然与原来的图形重合．

于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．

2．圆心角，弦心距的概念．

我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角

AOB，请

∠

同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50．( 如有条件可电脑闪动显示图形．)

在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．

顶点在圆心的角叫做圆心角．

再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB 也是A B所对的

弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？

学生答：过圆心O作弦AB的垂

线．

在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM 的长度，即圆心到弦的距

离

叫做弦心距．( 教师板书定义) 最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．( 引出课题)

二、大胆猜想，发现定理

再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，( 变化显示两角相等) 再作出它们所对的弦AB ，A′B′和弦的弦心距OM，OM ′，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与A′B′，弦

心

距OM 与OM ′的大小关系如

何？

学生很容易猜出：AB=A′B′，OM =OM ′．

教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，

怎样证明呢？

学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？

让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？

学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．

请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？

学生：旋转．

下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明．

把∠AOB连同旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程．教师边演示边提

问．

我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什

么？

学生：因为∠AOB=∠A′OB′，

OB ′重合．

所以射线OB与射

线

要证明与重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合．这两对点分别重合

吗？

学生：重合．

你能说明理由吗？

学生：因为OA=OA′，OB=OB′，

所以点A与点A′重合，点B与点B′重

合．

当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？

学生：与重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重

合．

为什么OM 也与OM ′重合呢？

学生：根据垂线的唯一性． 于是有结论： AB=A ′B ′，OM ＝ OM ′． 以上证明运用了圆的旋转不变性． 得到结论后， 教师板书证明过程， 并引导学生用简洁 的文字叙述这个真命题． 教师板书定理． 定理： 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等． 教师引导学生补全定理内容． 投影显示如图 7－ 53，⊙ O 与⊙ O ′为等圆，∠ AOB =∠A ′O ′B ′， OM 与 O ′M ′分别为 AB 与 A ′B ′ AB 与 A ′B ′，OM 与 O ′M ′还相等吗？为什么？ 的弦心距，请学生回答与． 在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同 圆． ( 投影显示叠合过程 ) 这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整． 然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答： 定理是在同圆或等圆这个大前提下， 已知圆心角相等， 得出其余三组量相等． 请同学们 思考， 在这个大前提下， 把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置， 可以得到三个新 命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？ 在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法． 最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论． 请学生归纳，教师板书． 推论： 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 三、例题解析 例 1已知：如图 24- 26，等边三角形 ABC 的三个顶点都在⊙ 求证：∠ AOB=∠BOC=∠ COA=120°． O 上． 证明：连接 OA ， OB ，OC ． ∵ AB =BC =CA ， ∴∠ AOB=∠ BOC=∠ COA