抛物线及其标准方程

应用一、相关量的计算
• 例1.已知抛物线的标准方程求焦点坐
标和准线方程
( 1 ) y 6 x ( 2 )2 y 5 x 0 2 （ 3）y ax ( a 0 )
2
2
• 归纳1：求抛物线准线方程或焦点坐标须先 将方程化为标准形式。
应用二、求抛物线方程
例2.求适合下列条件的抛物线的标准方程 （1）焦点到准线距离为5 1 ( 2 )准线为: x 4
( 3 )焦点在直线y 3 x 6上
（ 4）过点P( 4 ,2 )
• 归纳2：求抛物线方程先确定开口方向，再 计算p值。即先定位，再定量。
.
例3.（1）如果抛物线的顶点在原点,焦点
在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的 距离等于5,求抛物线方程 （2）点M与点F（2，0）的距离比它到 直线x=-4的距离小2，求M的轨迹方程。
d
M
·
C
F ·
e=1
注： （1）“一动三定”； （2）定点F不在定直线l MF （3）若 MH 1 ，则点M 的轨迹是抛物线
问题：如何求写抛物线方程呢？
求曲线方程的一般步骤：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简
5、（证明）
y
K
y
y
.
l
F
y N A N
y M
. M(m,-3)
F
x
O
F
x
x=-4 x=-2
归纳3：求解抛物线方程的两种方法——待 定系数法和定义法。
应用三、利用抛物线定义解决相关问 题. 例4.已知抛物线 y 8 x 的焦点为F，准
2
线l与x轴的交点为K， C为抛物线上一点. （1）若CA⊥l于点A ，且直线AF的斜率 为 3 , 则 |CF|=_______ （2）若 CK 2 CF ,则 KFC 的面积为 ________
p y 2
y
F
l
O
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
p y 2
二 抛 物 线 的 标 准 方 程
• “三看” 抛物线的标准方程 • （1）从形式上看：方程左边为二次式， 系数为1；右边为一次项，系数为 2 p • （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称 轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦 点与准线的距离相等，均为p\2. • (3)从一次项上看：一次项确定焦点、准 线及开口方向；一次项系数为焦点非零 坐标的4倍.
2
(3)抛物线开口方向——向右
问题：若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝 下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？
图 l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0 ) 2
p (0， ) 2
p x 2 p x 2
x
K
.
l
x F
K O
.
F
x
l
建系一：以KF所在直线为x轴，以K为原 点建立直角坐标系，则F（p,0） 设动点M(x,y), 由定义得动点M限制条件：
将M（x,y）代入得:
y
K(O)
d
. M(x,y) .
F
( x p) y x
2 2
x
y 2 px p ( p 0 ) 化简得：
2 2
l
不同建系下的方程比较
y
K
y
y
.
l
F
x
K
.
l
x F
K O
.
Baidu Nhomakorabea
F
x
l
y 2 px p
2
2
y 2 px p
2
2
y 2 px
2
y
Ko l
标准方程 y 2 px ( p 0 ) 的特点 M(x,y) （1）p的几何意义：焦点到准线的 距离. x (2）焦点坐标为 F ( p ,0) F 2 p 准线方程为：x 2
抛物线及其标准方程
问题引入：动点M到定点F与到定直线l距
离MH之比为定值e，当0<e<1时，点M轨迹 为椭圆。 那么当e＞1时，点的轨迹是什么曲线？ 双曲线 当e=1时，它又是什么曲线 ？
l N M
F ·
0＜ e ＜ 1
一、抛物线的定义: 在平面内,到一个定 点F距离和定直线l(l不经 H 过点F)的距离相等的点 的轨迹叫抛物线. 点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线。 l
y A C A y C
K
O
F
x
K
O
F
x
归纳4：充分借助抛物线定义可将较复杂 的抛物线问题转化为简单几何求解。
思考已知抛物线形古城门底部宽12m,高6m
(1)一辆货车宽4m,高4m，问能否通过此城 门? (2)若城门为双向行道，那么该货车能否 通过呢？
课堂小结
1.抛物线定义及标准方程的推导. • 2.标准方程的四种形式及其特征. • 3.已知标准方程求焦点和准线. • 4.根据已知条件求抛物线标准方程. • 5.能运用抛物线定义解决有关问题。