无穷级数在经济学中的应用
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［ 作者简介］ 辛春元 （ １ ９ ７ ５ 一 ） ， 女， 辽宁大连人 ， 辽宁对外经贸学院副教授 ， 硕士 ， 主 要 从 事 应 用 数 学 的 教 学 与 研 究
１ ５ ８
邢 台学 院 学 报
２ ０ １ ５年 第 ４期
因此 于是
厂 ）＝ （ Ｓ ）
） ＝ １
，
船一， 令厂 ）＝ 麟～，
１ ． ０５
因此 ， 以年 复利 计 算 利 息 时 ， 需要 筹 集 资 金 ８ ４ ０ ０万元 来创 立该 奖励 基金 。 （ ２ ）以连 续 复利 计 算利 息 时 第 一次所 需要 筹集 的资 金 （ 单位 ：百万元）－ － ４ ； 第 二 次所 需 要筹 集 的 资 金 （ 单 位 ：百 万 元）＝
４ ｅ － Ｏ ． 晒：
由Ｓ ）＝ 似 即Ｓ ）＝ ） ，则
∽ ＝ 莩 ） 喜
一 一
旮 一
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［ 收稿 日期 ］ ２ ０ １ ５ — ０ ６ － ２ ８
［ 基金项 目］ 辽宁省职业技术教育学会科研规划课题． 课题编号 ： Ｌ Ｚ Ｙ １ ５ ０ ５ ８
（ 元）．
从 而 ｓ （ ） ｌ ＋ ｒ＝ 孚。
’ １ ＋ ｒ
租机 方 案 ：Ｐ ， ＝ ６ ０ ０ ０ ＋ ６ ０ ０ ０ ｘ １ ． １ ４ ｍ ＋ ６ ０ ０ ０ ｘ １ ． １ ４ ＋
位 ：百 万元）＝４ ＋ ４ ｅ 删 ＋ ４ （ ｅ ｍ 晒 ） ２ ＋ ４ （ ｅ 删） 。 ＋ … 这是 一 个公 比为 ｅ 删 的 等 比级 数 ， 收 敛 于
２ ２。
因此 ，以连 续 复利 计 算利 息 时 ，需要 筹集 ８ ２ ０ ２万元 的资金来创立该奖励基金。 例 ２（ 合 同订 立 问题 ） 】 ：某 演 艺公 司 与某位 演 员 签订 一份 合 同 ，合 同规定 演 艺公 司在 第 ｒ １ 年 末 必 须 支付 该 演 员或其 后 代 ｎ万 元 （ ｎ ＝ ｌ ， ２ ， …） ，假 定银 行存 款按 ４ ％的年 复利 计 算利 息 ， 问演 艺公 司 需要在签约 当天存入银行的资金为多少？ 解 ：设 ｒ ＝ ４ ％为年 复 利率 ， 因第 ｎ年 末 必须 支 付 ｎ万元 （ ｎ ＝ ｌ ， ２ ， …） ，故 在 银行 存 入 的资 金 总 额
第３０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩ ＮＧｒ ｒ ＡＩ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖｏ１ ． ３ ０， Ｎｏ ． ４
２ ０ １ ５年 １ ２月
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
无 穷级数 在 经济 学 中的应 用
辛春 元
（ 辽宁对外 经贸学 院 ，辽 宁大连 摘 关键词 ：无 穷级数 ；经济学 ；应用 中图分类号 ：０１ ７ ３ 文献标识 码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ２ ＿ ４ ６ ５ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ ． ０ １ ５ ７ ． ０ ３ １ １ ６ ０ ５ ２ ） 要 ：结合 实例 ，对无穷级数在 经济学中的应 用进行 了探讨与研 究．
函数 、研 究函数性质 ，以及进 行数值 计算的一种 重要工具 ，对微积分 的进一步发展及其 在各 种实 际问题上的应用有着非常重要 的作用。下面结合 实 例介 绍 无 穷级数在 经济 学 中的应 用。 例 １（ 奖励 基 金 创 立 问题 ） ［ １ ］ ：为 了创 立 某 奖励基金 ，需要筹集资金 ，现假定该基金从创立 之 日起 ，每 年 需 要 支付 ４百 万元 作 为 奖 励 ，设 基 金 的利 率为每 年 ５ ％，分别 以 （ １ ）年 复利 计算 利 息 ； （ ２ ）连 续 复利计 算 利 息。 问需要筹集的资金为 多少？ 解： （ １ ）以年 复利 计 算利 息 ，则 第一次奖励发生在创立之 日，第一次所 需要 筹 集 的资金 （ 单位 ：百万 元）＝ ４ ； 第二次奖励发生一年 后时 ，第二次所 需要筹
为 了求 出该 级 数 的和 ，先考察 幂 级数
１ ２ ， ＝ ＋ ２ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ， Ｌ …，
该 幂 级数 的收敛域 为 （ 一 １ ， １ ） ，当 ｒ ＝ ４ ％时 ，
∈ （ － １ ， １ ） ｃ
直延 续下去 ，则总所需要 筹集的资金 （ 单
无 穷级 数 是 高 等 数 学 的 一个 重 要 组 成 部 分 ， 本 质 上 它是 一 种 特 殊 数 列 的 极 限 。 它是 用来 表 示
第三次所需要筹集的资金佯 位： 百万元 ４ （ ｅ ｍ 晒 ） ；
一
直 延 续 下 去 ，则 总所 需 要 筹 集 的 资 金 （ 单
１
—
：
１ ． １ ４ ～
３ ５ ６ ７ ８（ 元） 。
、
）
１
，
由４ ０ ０ ０ ０ ＞ ３ ５ ６ ７ ８ ， 可见租机方案较为经济。 方法 ２ ：也可以都折算成终值来比较。 买 机 方 案 ：Ｐ ＝ ４ ０ ０ ０ ０（ １ ＋ １ ４ ％）ｍ ＝ １ ４ ８ ２ ８ ９
位： 百 万 元 ） ： ４ ＋ ＋ — ＿＋ ４ … ＋ ＋ …
这 是 一个 公 比为
４ －８ ４
。
的等 比级 数 ，收敛 于
因 此， 只 要 求 出 幂 级 数∑础 ｎ 的 和 函 数Ｓ ） ，
（ ｌ ＋ｒ 为所 求的资 金 总额∑ ｉ ＝ １ Ｉ １＋ｒＩ 。
为
集 的 资 金 （ 单 位 ： 百 万 元 去
的资金 （ 单 位 ：百 万元）
一
；
；
— — ＋ 南 — （ １ ＋ — ｒ ） ＋ … ． ＋ — （ １ ＋ — ｒ ） ＋ ． … ． ． － ＝ ． — （ １ ＋ — ｒ ） ．
ｌ ＋ｒ
第 三次 奖 励 发 生二 年 后 ，第 三 次所 需 要 筹 集
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邢 台学 院 学 报
２ ０ １ ５年 第 ４期
因此 于是
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因此 ， 以年 复利 计 算 利 息 时 ， 需要 筹 集 资 金 ８ ４ ０ ０万元 来创 立该 奖励 基金 。 （ ２ ）以连 续 复利 计 算利 息 时 第 一次所 需要 筹集 的资 金 （ 单位 ：百万元）－ － ４ ； 第 二 次所 需 要筹 集 的 资 金 （ 单 位 ：百 万 元）＝
４ ｅ － Ｏ ． 晒：
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［ 收稿 日期 ］ ２ ０ １ ５ — ０ ６ － ２ ８
［ 基金项 目］ 辽宁省职业技术教育学会科研规划课题． 课题编号 ： Ｌ Ｚ Ｙ １ ５ ０ ５ ８
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从 而 ｓ （ ） ｌ ＋ ｒ＝ 孚。
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租机 方 案 ：Ｐ ， ＝ ６ ０ ０ ０ ＋ ６ ０ ０ ０ ｘ １ ． １ ４ ｍ ＋ ６ ０ ０ ０ ｘ １ ． １ ４ ＋
位 ：百 万元）＝４ ＋ ４ ｅ 删 ＋ ４ （ ｅ ｍ 晒 ） ２ ＋ ４ （ ｅ 删） 。 ＋ … 这是 一 个公 比为 ｅ 删 的 等 比级 数 ， 收 敛 于
２ ２。
因此 ，以连 续 复利 计 算利 息 时 ，需要 筹集 ８ ２ ０ ２万元 的资金来创立该奖励基金。 例 ２（ 合 同订 立 问题 ） 】 ：某 演 艺公 司 与某位 演 员 签订 一份 合 同 ，合 同规定 演 艺公 司在 第 ｒ １ 年 末 必 须 支付 该 演 员或其 后 代 ｎ万 元 （ ｎ ＝ ｌ ， ２ ， …） ，假 定银 行存 款按 ４ ％的年 复利 计 算利 息 ， 问演 艺公 司 需要在签约 当天存入银行的资金为多少？ 解 ：设 ｒ ＝ ４ ％为年 复 利率 ， 因第 ｎ年 末 必须 支 付 ｎ万元 （ ｎ ＝ ｌ ， ２ ， …） ，故 在 银行 存 入 的资 金 总 额
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２ ０ １ ５年 １ ２月
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
无 穷级数 在 经济 学 中的应 用
辛春 元
（ 辽宁对外 经贸学 院 ，辽 宁大连 摘 关键词 ：无 穷级数 ；经济学 ；应用 中图分类号 ：０１ ７ ３ 文献标识 码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ２ ＿ ４ ６ ５ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ ． ０ １ ５ ７ ． ０ ３ １ １ ６ ０ ５ ２ ） 要 ：结合 实例 ，对无穷级数在 经济学中的应 用进行 了探讨与研 究．
函数 、研 究函数性质 ，以及进 行数值 计算的一种 重要工具 ，对微积分 的进一步发展及其 在各 种实 际问题上的应用有着非常重要 的作用。下面结合 实 例介 绍 无 穷级数在 经济 学 中的应 用。 例 １（ 奖励 基 金 创 立 问题 ） ［ １ ］ ：为 了创 立 某 奖励基金 ，需要筹集资金 ，现假定该基金从创立 之 日起 ，每 年 需 要 支付 ４百 万元 作 为 奖 励 ，设 基 金 的利 率为每 年 ５ ％，分别 以 （ １ ）年 复利 计算 利 息 ； （ ２ ）连 续 复利计 算 利 息。 问需要筹集的资金为 多少？ 解： （ １ ）以年 复利 计 算利 息 ，则 第一次奖励发生在创立之 日，第一次所 需要 筹 集 的资金 （ 单位 ：百万 元）＝ ４ ； 第二次奖励发生一年 后时 ，第二次所 需要筹
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１ ２ ， ＝ ＋ ２ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ， Ｌ …，
该 幂 级数 的收敛域 为 （ 一 １ ， １ ） ，当 ｒ ＝ ４ ％时 ，
∈ （ － １ ， １ ） ｃ
直延 续下去 ，则总所需要 筹集的资金 （ 单
无 穷级 数 是 高 等 数 学 的 一个 重 要 组 成 部 分 ， 本 质 上 它是 一 种 特 殊 数 列 的 极 限 。 它是 用来 表 示
第三次所需要筹集的资金佯 位： 百万元 ４ （ ｅ ｍ 晒 ） ；
一
直 延 续 下 去 ，则 总所 需 要 筹 集 的 资 金 （ 单
１
—
：
１ ． １ ４ ～
３ ５ ６ ７ ８（ 元） 。
、
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１
，
由４ ０ ０ ０ ０ ＞ ３ ５ ６ ７ ８ ， 可见租机方案较为经济。 方法 ２ ：也可以都折算成终值来比较。 买 机 方 案 ：Ｐ ＝ ４ ０ ０ ０ ０（ １ ＋ １ ４ ％）ｍ ＝ １ ４ ８ ２ ８ ９
位： 百 万 元 ） ： ４ ＋ ＋ — ＿＋ ４ … ＋ ＋ …
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。
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因 此， 只 要 求 出 幂 级 数∑础 ｎ 的 和 函 数Ｓ ） ，
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