立体几何综合检测题

立体几何综合检测题
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成
为( )
A ．上面为棱台，下面为棱柱
B ．上面为圆台，下面为棱柱
C ．上面为圆台，下面为圆柱
D ．上面为棱台，下面为圆柱
2．下列命题中：
①一条直线和两条平行线都相交，那么这三条直线共面；
②任两条都相交，但不共点的四条直线一定共面；
③两条相交直线上的三个点确定一个平面；
④空间四点不共面，则其中任意三点不共线．
其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸
(单位：cm )可知几何体的表面积是( )
A ．(18＋23)cm 2 B.2132
cm 2 C ．(18＋3) cm 2 D ．(6＋23) cm 2
4．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离
都是1，则该点到原点的距离是( )
A.62
B. 3
C.32
D.63
5．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD
折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，
连结AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互
相垂直的平面有( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
6．设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，
且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，②是真命题
C ．①②都是真命题
D ．①②都是假命题
7．如图所示，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，
其投影是一个最长弦为5米的椭圆，则这个气球的直径是( ) A.522米 B ．52米 C ．5米 D.52
米 8．在空间，下列命题正确的是( )
A ．平行直线的平行投影重合
B ．平行于同一直线的两个平面平行
C ．垂直于同一平面的两个平面平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行
9．直线l ⊂平面α，经过α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
10．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ， SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( )
A.34
B.54
C.74
D.34
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是______．
12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，
则异面直线BF 与D 1E 所成角的正弦值为________．
13．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，
若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积
是______．
14．已知空间两点A (－3，－1,1)，B (－2,2,3)，C 在Oz 轴上，且
与A ，B 两点的距离相等，则点C 的坐标是________．
15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_____．
16．已知一个圆台的轴截面的面积为a cm 2，母线与底面所成的角
为30°，则这个圆台的侧面积为______ cm 2.
17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和 β垂直；
④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
B1C1D1中，M，N
19．(14分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A
分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底
面相交于直线l.
(1)画出直线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．
20．(14分)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．
求证：MN∥平面DAE；
(2)求证：AE⊥BE.
21．(15分)如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB
于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥EF.
22．(15分)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，
矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，
AD＝EF＝1.
(1)求证：AF⊥平面CBF；
(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
(3)设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分
别为V F－ABCD，V F－CBE，求V F－ABCD∶V F－CBE.
答案解析
1、解析：由三视图可知，该简单组合体上面为圆台，下面为圆柱，故选C 项． 答案：C
2、解析：①两条平行直线确定一个平面，结合基本性质1知三条直线共面，①正确；②先由两条相交直线确定一个平面，再由平面基本性质1知四条直线共面，故②正确；若取两条直线的交点和一条直线上的另外两点，则三点共线，经过三点的平面不确定，故③不正确；④假设有三点共线，则一定有四点共面，故④正确．综上可知，应选C 项． 答案：C
3、解析：根据三视图还原为直观图可知此几何体为底面边长为2，侧棱长为3的正三
棱柱，故其表面积为S 表面积＝2×12×3×2＋3×2×3＝(23＋18)(cm 2)． 答案：A
4、解析：设该点坐标为(x ，y ，z )，依题意有x 2＋y 2＝1，
x 2＋z 2＝1，y 2＋z 2＝1，于是x 2＋y 2＋z 2＝32
， ∴该点到原点的距离为x 2＋y 2＋z 2＝
32＝62
. 答案：A
5、解析：由AB ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，知AB ⊥平面BCD. ∴平面ABC ⊥平面BCD.
又CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD.
∴平面ABD ⊥平面ACD.故选C 项．
答案：C
6、解析：对于①，由于α∥β只能得出直线l ，m 没有公共点，不一定平行，还可能异面，故①是假命题；对于②，由l ⊥m 显然不能得到α⊥β，故②是假命题．综上可知，D 项正确．
答案：D
7、解析：由题意，气球的直径为球的两平行切线间的距离，计算
得直径为5·sin45°＝522
米． 答案：D
8、解析：对于A 项，平行直线的平行投影也可能平行或为两个点，故错．对于B 项，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故错；对于C 项，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故错；而D 项为直线与平面垂直的性质定理，正确． 答案：D
9、解析：根据条件直线与l ，α都成30°角，则直线与l 所成的角就是直线与α所成角，则A 在底面射影落在l 上即可，这样直线有2条．
答案：B
10、解析：如图，取BC 中点D ，连结AD ，SD.
由SA ⊥面ABC ，得SA ⊥BC.
D 为BC 中点，得AD ⊥BC.
∴BC ⊥面SAD.
过A 作AE ⊥SD ，交SD 于E.
又BC ⊥AE ，AE ∩SE ＝E ，
∴AE ⊥面SBC.
∴∠ABE 为AB 与平面SBC 所成的角．
在△SAD 中，SA ＝3，AD ＝3，
SD ＝32＋(3)2＝23，
12SA·AD ＝12
SD·AE ， 解得AE ＝32
. ∴sin ∠ABE ＝AE AB ＝322＝34
. 答案：D
11、解析：由该几何体的三视图可得该几何体的表面积为：
2×(6×8＋2×8)＋2×(2×8＋10×2)＋2×(10×8)＝128＋72＋160＝360.
答案：360
12、解析：连结DE ，则DE ∥BF ，
∴∠DED 1就是异面直线BF 与D 1E 所成的角．
设AB ＝2，则DE ＝5，D 1E ＝3，
∴sin ∠DED 1＝DD 1D 1E ＝23
. 答案：23
13、解析：依题意可将三棱锥补成长方体，则长方体的对角线即为球的直径，
∴(2R )2＝42＋42＋72，解得R 2＝814
， ∴球的表面积为S ＝4πR 2＝81π.
答案：81π
14、解析：设C (0,0，z )，则有|CA|＝|CB|，即(0＋3)2＋(0＋1)2＋(z －1)2＝(0＋2)2＋(0－2)2＋(z －3)2，
解之得z ＝32，∴C (0,0，32
)． 答案：(0,0，32
)
15、解析：由三视图可得此几何体如图所示，S 底＝12
(1＋2)·2＝3，V ＝S 底·h ＝3.
答案：3
16、解：如图，等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面，设圆台的上、下底面
半径分别为r ，R ，
则O 1A ＝r ，OB ＝R ，BE ＝R －r.
又∵∠ABE ＝30°，∴AE ＝33(R －r )，AB ＝233(R －r )．
由题意知，a ＝12(2r ＋2R )·33(R －r )＝33
(R 2－r 2)． ∴圆台的侧面积：
S 圆台侧＝π(R ＋r )·233(R －r )＝233
π(R 2－r 2)＝2πa cm 2. 答案：2πa
17、解析：①②的内容分别是平面与平面平行，直线与平面平行的判定定理，故它们都是正确的；③的内容与直线和平面垂直的判定定理不符，可举反例：在
120°的二面角α－l －β内，在平面α内易找到直线m ⊥l ，如图，故其不正
确；④内容由直线与平面垂直的定义和线面垂直的判定定理知其是错误
的，应该是直线l 和α垂直的必要不充分条件是l 与α的两条垂线，或改
为直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直．
答案：①②
18、解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD ，如图．
(1)V ＝13
×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋(82
)2＝42， 另两个侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，
AB 边上的高为h 2＝42＋(62
)2＝5， 因此S ＝2(12×6×42＋12
×8×5)＝40＋24 2. 19、解：(1)延长DM 交D 1A 1的延长线于点E ，
连结NE 交A 1B 1于点P ，
直线NE 即为所求的直线l.
(2)∵点M 为AA 1的中点，
且AD ∥ED 1，
∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a ，
又∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12
a ， ∴A 1P ＝12D 1N ＝14
a ， ∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34
a. 20、证明：(1)取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，
因为点N 为线段CE 的中点，
所以PN ∥DC ，且PN ＝12
DC ， 又四边形ABCD 是矩形，点M 的线段AB 的中点，
所以AM ∥DC ，
且AM ＝12
DC ， 所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ，
故四边形AMNP 是平行四边形，
所以MN ∥AP.
而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，
所以MN ∥平面DAE.
(2)因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ，
又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，
所以AE ⊥BF ，
又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE.
又BE ⊂平面BCE ，
所以AE ⊥BE.
21、证明：(1)∵PA ⊥平面ABC ，
BC ⊂平面ABC ，
∴PA ⊥BC.
∵AB ⊥BC ，AB ∩PA ＝A ，
∴BC ⊥平面PAB.
(2)∵BC ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，
∴BC ⊥AE.
∵PB ⊥AE ，BC ∩PB ＝B ，
∴AE ⊥平面PBC.
(3)∵AE ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，
∴AE ⊥PC ，
∵AF ⊥PC ，AE ∩AF ＝A ，
∴PC ⊥平面AEF.而EF ⊂平面AEF ，
∴PC ⊥EF.
22、解：(1)由平面ABCD ⊥平面AFEB 且BC ⊥AB 得AF ⊥BC. 由AB 为⊙O 的直径得AF ⊥BF ，
又BC 与BF 交于点B ，
得AF ⊥平面CBF.
(2)设DF 的中点为N ，连结AN ，MN ，
则MN 綊12CD ，又AO 綊12
CD ， 则MN 綊AO ，所以四边形MNAO 为平行四边形，
所以OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， 所以OM ∥平面DAF.
(3)过点F 作FG ⊥AB 于G ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，
所以FG ⊥平面ABCD ，所以V F －ABCD ＝13S ABCD ·FG ＝23
FG ，因为CB ⊥平面ABEF ， 所以V F －CBE ＝V C －BFE ＝13S △BFE ·CB ＝13·12EF·FG·CB ＝16
FG . 所以V F －ABCD ∶V F －CBE ＝4∶1.。