点、直线和圆的位置关系教案

教学过程

一、课堂导入

问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？

二、复习预习

1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

2、圆周角定理的推论：

（1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

（2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

三、知识讲解

考点1

点与圆的位置三种位置关系 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA ＜r B 点在圆上，OB = r C 点在圆外，OC ＞r

反之，在同一平面上，已知的半径为r ⊙O ，和A ，B ，C 三点： 若OA ＜r ，则A 点在圆内 若OB = r ，则B 点在圆上 若OC ＞r ，则C 点在圆外

考点2

直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.） 1、当d ＞r 时，直线与圆相离(如图所示）

图

1

2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示）

3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线.

考点3

切线的判定和性质

1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径

2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO.

考点5

三角形的内心外心

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。四、例题精析

例1

【题干】若圆的半径为4cm，如果一个点和圆心的距离为6cm，则这个点和这个圆的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外

C．点在圆内D．点在圆内或点在圆外

【答案】B

【解析】∵圆的半径为4cm，点和圆心的距离为6cm，4＜6，

∴这个点和这个圆的位置关系是点在圆外．

故选B．

例2

【题干】如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD 于F，则以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是多少？

【答案】由题中已知条件，得

BO⊥AC，BO=BD==，

即点B到AC的距离为，与⊙B的半径相等；

∴直线AC与⊙B相切．

∵EF∥AB，∠ABC=90°，

∴BE⊥EF，垂足为E．

且BE=BC=×2=1＜，

∴直线EF与⊙B相交．

【解析】此题重点是根据题意和正方形的性质，分别找到圆心到直线的距离，再根据数量关系判断其位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

例3

【题干】如图，在直角坐标系XOY中，已知两点O1（3，0）、B（-3，0），⊙O1与X轴交于原点0和点A，E是Y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）．

（1）当点O1到直线BE的距离等于3时，问直线BE与圆的位置关系如何？求此时点E的坐标及直线BE的解析式；

（2）当点E在Y轴上移动时，直线BE与⊙O1有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时的m的取值范围．

【答案】（1）当m＞0时，如图所示：

由已知得BE是⊙O1的切线，设切点为M，连接O1M，则O1M⊥BM，∴O1M=3，

∵O1（3，0）、B（-3，0），

∴BO1=6，

∴BM===3，

又∵OE⊥BO，

∴Rt△BOE∽Rt△BMO1，

∴=，即=，

∴OE=，∴m=，∴E（0，）

设此时直线BE的解析式是y=kx+m，

将B（-3，0）及E（0，）代入上式，解得，

∴直线BE的解析式为：y=x+，

当m＜0时，E（0，-）

由圆的对称性可得：k=-，m=-时，直线BE也与⊙O1相切，

同理可得：y=-x-．

（2）当m＞或m＜-时，直线与圆相离，

当m=或m=-时，直线与圆相切，

当-m＜时，直线与圆相交．

【解析】（1）根据题意得出⊙O1的半径，判断出直线BE与⊙O1的关系，根据题意画出直线BE，连接O1M，由利用勾股定理求出BM的长，由相似三角形的判定定理得出Rt△BMO1∽Rt△BOE，求出BE的长，进而得出E点坐标，用带定系数法即可求出直线BE的解析式，根据对称的性质可知当m＜0时的直线解析式；（2）根据（1）所求出的m的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线BE与⊙O1的位置关系．

例4

【题干】已知⊙O的半径为5cm，P为圆外一点，A为线段OP的中点，当OP=12时，点A和⊙O的位置关系是（）

A．点A在⊙O内

B．点A在⊙O外

C．点A在⊙O上

D．无法确定

【答案】B

【解析】∵A为线段OP的中点，OP=12，

∴OA=6，

∵OA＞5，∴点A在⊙O外，

故选B．

例5

【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（3，0）为圆心的圆与x轴交于原点O和点B，直线l 与x轴、y轴分别交于点C（-2，0）、D（0，3）．

（1）求出直线l的解析式；

（2）若直线l绕点C顺时针旋转，设旋转后的直线与y轴交于点E（0，b），且0＜b＜3，在旋转的过程中，直线CE与⊙A有几种位置关系？试求出每种位置关系时，b的取值范围．