信号与系统课件 第三章4-7

π∫
+∞
1
+∞
0
F ( jω ) cos (ωt + ϕ(ω ) ) d ω
jωt
1 f (t ) = 2π
1 = 2π
1 = 2π
1 = 2π
∫
∫
−∞
F ( jω )e dω
F ( jω ) e
j (ωt +ϕ (ω ) )
1 = 2π
dω
∫
+∞
−∞
F ( jω ) e jϕ(ω ) e jωt d ω
2 Aτ ⎛ nΩτ ⎞ & An = Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
A y
τ
F(jw)
x
τ
2
Aτ
0
2π
4π
τ
τ
ω
F ( jω ) = AτSa (τω / 2)
Aτ
F(jw) 0
2 π 4 π
An
τ
.
τ
Ω
2Aτ T
1：时域非周期－>频域连续 2：包络一致性
•
0
2π
4π
τ
τ
Ω
时域周期－>频域离散
2 An = F ( jω ) T
−
jn Ω t
d t
a0 f (t ) = + 2
∑
∞
n =1
(a n c o s n Ω t + b n s i n n Ω t )
A0 +∞ + ∑ An cos ( n Ω t + ϕ n ) f (t ) = 2 n =1
直流分量(direct component)
a0 2
基波分量(fundamental component)
−∞
∞
−
2π
2π
τ
τ
四 、有效频宽(占有频宽) Bω
2Aτ T
An
·
0
Ω
2π
4π
τ
τ
nΩ
信号的频带有很多种定义方法： 1） 以信号最大幅度的1/10为限，其它部分忽略不计； 2） 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部 分忽略不计； 3）以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计；
练习：
nΩ τ jnΩt )e 2
A y
τ
x
τ
2
& = 2 Aτ Sa ⎛ nΩτ ⎞ An ⎜ ⎟ T 2 ⎠ ⎝
解1：
T • F ( jω ) = lim An = Aτ Sa(τω / 2) T →∞ 2
F ( jω ) = ∫−∞ f ( t )e
+∞ − jω t
解2：
A − jω t dt = − jω e
例 方波构成的周期信号 1 f(t)= -1 T/2<t<T 0<t<T/2
f(t) 1 T 0 -1 T/2 t
奇次正弦谐波
振幅频谱 An A 1 = 4
π
a0 = 0
2 bn = T 2 = T
an = 0
包络线
A5 A
7
∫
T 0 T 2 0
A3
f ( t ) . s in n Ω t . d t
都是Ω 的函数
单边频谱
4 f (t) = 1+ π sin Ωt + 34 sin3Ωt + 54 sin5Ωt +L π π
An
2 π 4 4 3π 5π 1
Ω 3Ω 5Ω 7Ω
4
ϕn
Ω 3Ω 5Ω 7Ω
nΩ …
… nΩ
0
0
-π/2
y
∞ Aτ sin(nΩτ / 2) f (t ) = (1 + 2∑ cos nΩt ) T nΩτ / 2 n =1
n = −∞
∞
∑
A ne
2 t2 An = ∫ f (t )e − jnΩt dt T t1
& = 2 Aτ Sa ⎛ nΩτ ⎞ An ⎜ ⎟ T 2 ⎠ ⎝
•
sin(nΩτ / 2) jnΩt ∑∞ nΩτ / 2 e n =＝
§3.4 周期信号的频谱
1 、熟练掌握周期函数的频谱绘制和物理意义 2 、熟练掌握周期函数的频谱特点 3 、有效频宽概念，掌握周期脉冲信号的频宽 4 、理解时域波形变化引起的频谱变化
An 1、画出周期全波余弦信号的幅度谱
E -T/2 T/2
4E
π
4E 3π
4E 15π
t
0
Ω 2Ω
nΩ
f (t ) =
2E
π
4 4 E + 4π cos Ωt − 15E cos 2Ωt + 35E cos 3Ωt + L 3 π π
2、一个矩形脉冲信号，当脉冲幅度提高一倍，脉冲宽度缩小一 倍，其频宽较原来（ 2倍 ）。 增大？缩小？
τ
A
τ
2
x T
& = 2 Aτ Sa ⎛ nΩτ ⎞ An ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
An
2Aτ T
Sa(x ) =
sin x 称为取样函数 x
单边幅度频谱
2π
· An 复数振幅
2π
0 −π
τ
4π
nΩ
τ
0
τ
4π
nΩ
τ
单边相位频谱
两谱合二为一
y
2、傅里叶级数的指数形式
A
τ
x
τ
2Biblioteka Baidu
1 f (t ) = 2
n = −∞
= lim
π An
Ω
•
T →∞ Ω→0
π An = dω
•
“单位频带内信号幅度”的量纲 信号在该频率点上的分量的相对大小 信号在此频率点分量的实际振幅为无穷小量
1
π
F ( jω ) d ω
三 密度频谱的特点
y
τ
An
2Aτ T
.
A
τ
2
x T
0
2π
4π
τ
τ
Ω
Aτ ∞ n Ω τ jnΩt 傅立叶级数： f ( t ) = Sa ( )e ∑ T n =＝ ∞ 2
∞
•
τ
An Ω
·
An 2
0 0
2π 4π
2π
τ
4π
τ
nΩ
τ
τ
nΩ
双边频谱
二 、 周期函数频谱特点：
2Aτ T
•
· An
n
Aτ T
An 2
0 0
2π 4π
2π
τ
τ
nΩ
Ω
τ
2 Aτ ⎛ nΩτ ⎞ & An = Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
4π
τ
nΩ
1、 离散性：它有不连续的线条组成； 2、 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上； 3、 收敛性：实际信号的幅频特总是随频率趋向无穷大而 趋向于零。
一、 周期函数频谱 1、三角函数形式 振幅频谱： An 相位频谱 : ϕn
f(t) 1 T 0 -1 T/2 t
4 f (t) = π sin Ωt + 34 sin3Ωt + 54 sin5Ωt +L π π
+∞ 1 f (t ) = A0 + ∑ An cos ( nΩt + ϕn ) 2 n =1
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
F ( jω ) ⎡cos (ωt + ϕ(ω ) ) + j sin (ωt + ϕ(ω ) )⎤ dω ⎣ ⎦
2π ∫ j
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
F ( jω ) cos (ωt + ϕ(ω ) ) d ω +
F ( jω ) sin (ωt + ϕ(ω ) ) d ω
1 = 2π
Aτ 2 Aτ f (t ) = + T T sin(nΩτ / 2) 2π cos nΩt , Ω = ∑ nΩτ / 2 T n =1
∞
y
τ
A
τ
2
x T
2 Aτ ⎛ nΩτ ⎞ & An = Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
∞ •
An = An e jϕn
jn Ω t
•
1 f (t ) = 2
Aτ f (t ) = T
a1 cos nΩt + b1 sin nΩt
A1 cos(Ωt + ϕ1 )
n次谐波分量(harmonic component)
an cos nΩt + bn sin nΩt = An cos(nΩt + ϕ n )
n次谐波频率(harmonic component)：nΩ
A0 +∞ f (t ) = + ∑ An cos ( n Ω t + ϕ n ) 2 n =1
0
Ω 3Ω 5Ω 7Ω
… nΩ
2 T ∫ . s in n Ω t .d t − T ∫ T2 . s in n Ω t .d t ⎧ 4 n为奇数 2 4 ⎪ = (1 − cos nπ ) = ⎨ nπ = nπ (2m + 1)π ⎪ 0 n为偶数 ⎩
∞ 4 4 3π 4 5π
4 sin(2m +1)Ωt f (t) = π sin Ωt + sin3Ωt + sin5Ωt +L = ∑ m=0 (2m +1)π
三 、波形变化引起的频谱变化
y
τ
2Aτ T
An
·
A
τ
2
x T
ω0 =
2π
τ
0
Ω
2π
4π
τ
τ
nΩ
1、T不变， τ改变
2 Aτ ⎛ nΩτ ⎞ & An = Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
谱线间隔不变。 τ下降：1)Sa( )幅度变小；2)收敛速度减慢，3)信号的频带增加 谱线间隔不变。 τ变大：1)频带内谱线减少；2)收敛速度加快，3)信号的频带减小 τ→T，
2 An = T
•
∫
∞ −∞
F ( jω )e jω t d ω
∫
T /2 −T / 2
f ( t ) e − jn Ω t d t
T 2 T − 2
An An T ⋅ (= π ) = ∫ 2 Ω
f (t )e
− jnΩt
dt = F ( jnΩ)
1 +∞ f (t ) = lim ∑ An e jnΩt = lim T →∞ 2 T →∞ n =−∞
a0 f (t ) = + 2
∑
1
∞
n =1
(a n c o s n Ω t + b n s i n n Ω t )
a
n
2 T / 2 = ∫ − T / 2 f ( t ). cos T1
1
n Ω t . dt
b
n
2 T / 2 = ∫ − T / 2 f ( t ). sin T1
1 1
n Ω t . dt
ω0 =
2π =Ω
τ
只有A0项，即直流量A0/2
2、T改变， τ不变 Sa()函数不变(频谱的包络不变，还是收敛） T增加：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。
Ω= 2π T
2 Aτ ⎛ nΩτ ⎞ & An = Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
F (nΩ)
-T/2
T/2
F (nΩ)
-T/2 T/2
Ω
∫
+∞
−∞
F ( jω ) cos (ωt + ϕ(ω ) ) d ω =
π∫
1
+∞
0
F ( jω ) cos (ωt + ϕ(ω ) ) dω
信号分量的实际振幅
1
π
F ( jω ) d ω
傅里叶变换：
F ( j ω ) = ∫ − ∞ f ( t ) e − j ω t dt
∞
称其是非周期信号f(t）的频谱密度函数（简称频谱） 傅里叶反变换：
§3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱
1、 熟练掌握非周期信号傅里叶变换定义、性质 2 、深刻理解从周期函数傅氏级数到非周期函数傅立 叶变换的演变 3 4 、区分周期信号的频谱和密度频谱 、熟练掌握常用函数的傅里叶变换
一、非周期信号的傅里叶变换
傅 里 叶 变 换 ： F ( jω ) =
1 f (t ) = 2
+∞
F ( jnΩ) jnΩt ∑ T e n =−∞
+∞
1 1 jnΩt = = lim ∑ ΩF ( jnΩ)e Ω→ dw 2π n =−∞ 2π
∫
+∞
−∞
F ( jω ) e jω t d ω
f (t ) =
π∫
1
+∞
0
F ( jω ) cos (ωt + ϕ(ω ) ) d ω
f (t ) =
1 f (t ) = 2π
∫
∞ −∞
F ( j ω )e
jω t
dω
F ( j ω ) = F ( j ω ) e jϕ ( ω )
F ( jω ) → 幅 度 频 谱 (偶 ）
ϕ (ω）→ 相 位 频 谱 （ 奇 ）
y
τ
A
τ
2
x T
傅里叶级数： Aτ f (t ) = T
n =＝ ∞
∑
∞
Sa (
+∞ •
∫
∞ −∞
f ( t ) e − jω t d t
n= −∞
∑
Ane
jn Ω t
T →∞
2 An = T
•
∫
T /2 −T / 2
f ( t ) e − jn Ω t d t
0
Ω→dω
nΩ → ω
定义表示各量相对幅度的函数
T & lim An = lim T →∞ 2 T →∞
∫
T 2
−T 2
An = an 2 + bn 2 ϕn = − arctan bn an
A0 + ∑ An cos ( n Ω t + ϕ n ) f (t ) = 2 n =1
f (t ) = 1 2
+∞
n = − ∞
∑
∞
•
A
n
e
jn Ω t
& An = an + jbn
•
A
n
=
2 T1
∫
T1 2 T1 − 2
f (t )e
τ /2
−τ / 2
= AτSa (τω / 2)
二 、密度频谱
jϕ ( ω ) F ( j ω ) = ∫ − ∞ f ( t ) e − j ω t dt = F ( jω ) e
∞
F ( jω ) : 幅度频谱
ϕ ( jω ) : 相位频谱
问题：何谓密度频谱？
•
An F ( jω ) = lim T →∞ 2 / T
∑
∞
•
A ne
jn Ω t
2 t2 An = ∫ f (t )e − jnΩt dt T t1
•
T
An
2Aτ T
单边幅度频谱
2π
An = An e jϕn
Aτ f (t ) = T
nΩ
Aτ T
•
0 −π
2Aτ T
τ
4π
sin(nΩτ / 2) jnΩt A = 2 Aτ Sa ⎛ nΩτ ⎞ ∑∞ nΩτ / 2 e &n T ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ n =＝
f (t )e − jnΩt dt
=
∫
∞ −∞
f ( t ) e − jω t d t
∞ −∞
傅里叶变换
& An T & F ( j ω ) = lim A n = lim π = T→∞ 2 Ω→0 Ω
∫
f ( t ) e − jω t d t
1 傅 里 叶 反 变 换 ： f (t ) = 2π
•
An F ( jω ) = 2 /T