3.物理光学-衍射解析
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一.填空题
1.1 波面是指波在传播时(同位相 )点的集合,这些点的轨迹是一个(等相面)面。
1.2 惠更斯原理是指:任何时刻波面上的每一点都作为(次波)的波源,各自发出(球面)
次波,在以后的任何时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的(新波面)。
1.3 惠更斯引入(子波 )的概念提出了惠更斯原理,菲涅耳再用(子波干涉 )的思想补
充了惠更斯原理,发展成了惠更斯-菲涅耳原理。
1.4 爱里班的半角宽度是(D
λ=θ∆22.1 )。
1.5 一远处点光源的光照射在小圆孔上,并通过圆孔后紧靠孔的会聚透镜,在透镜焦面上,将
不是出现光源的几何象点,而是一个衍射斑,衍射斑对小孔中心展开的角大小与(入射光
波长)成正比,与( 圆孔直径(或半径) )成反比。
1.6 光栅衍射强度分布受到( 单缝衍射 )和(缝间干涉 )的共同作用。
1.7 光栅衍射图样是(单缝衍射 )和( 缝间干涉 )的总效果。
1.8 光栅衍射中,光栅常数为d ,缝数为N ,相邻两个主最大之间有(N-1 )个最小和
( N-2 )个次极大。
1.9 通过衍射光栅观察到的衍射花样,主最大的位置与缝数N (无关);但他们的宽度随N
的增大而( 减小 ),其强度正比于( N 2 ),而相邻主最大之间有( N-1 )
条暗纹和( N-2 )个次极大。
1.10 光栅方程为(λ=θk sin d 或者λ=α±θk d sin sin d )。
1.11 平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15 mm 的单缝上,缝后有焦距为f=400 mm 的凸透
镜,在其焦平面上放置观察屏幕,现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之
间的距离为8 mm ,则入射光的波长为λ=( 500nm )。
1.12 一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅, 用平行钠光束(λ=589nm )与光栅平面法线
成30˚角入射,在屏幕上最多能看到第( 5 )级光谱。
1.13 若在某单色光的光栅光谱中第三级谱线是缺级,则光栅常数与缝宽之比(a+b )/a 的各
种可能的数值为( 3 )
1.14 在透光缝数为N 的平面光栅的衍射实验中,中央主极大的光强是单缝衍射中央主极大光
强的(N 2 )倍,通过N 个缝的总能量是通过单缝的总能量的( N )倍。
1.15 一远处点光源的光, 照射在小圆孔上,并通过圆孔后紧靠孔的会聚透镜,在透镜焦面上,将
不是出现光源的几何象点,而是一个衍射斑,衍射斑对小孔中心展开的角大小与( 照射光
波长 )成正比与( 圆孔的直径或半径)成反比。
1.16 惠更斯—菲涅耳原理的基本内容是:波阵面上各面积元所发出的子波在观察点P 的
( 干涉或答相干叠加 ),决定了P 点的合震动及光强。
1.17 在单缝夫琅和费衍射实验中,设第一级暗纹的衍射角很小,若钠黄光(λ≈589nm)的中央
明纹宽度为4.0mm ,则λ=442nm 的蓝紫色光的中央明纹宽度为(3.0mm )。
1.18 一束单色光垂直入射在光栅上,衍射光谱中共出现5条明纹。
若已知此光栅缝宽度与不
透明部分宽度相等,那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第( 一 )级和第( 三 )级
谱线。
1.19 单色平行光垂直照射一狭缝,在缝后远处的屏上观察到夫琅和费衍射图样,现在把缝宽
加倍,则透过狭缝的光的能量变为( 2 )倍,屏上图样的中央光强变为( 4 )倍.
1.20 一双缝衍射系统,缝宽为b ,两缝中心间距为d 。
若双缝干涉的第±4,±8, ±12, ±16,…级
主极大由于衍射的影响而消失(即缺级),则d/b 的最大值为( 4 ).
1.21 半径为ρ=1.2cm 的不透明圆盘与波长为λ=600nm 位于圆盘轴线上的点光源间距为
R=10m.在圆盘后面r 0=10m 处的轴线上P 点观察,该圆盘遮住的半波带个数k=( 48 ).
1.22 一会聚透镜,直径为3cm ,焦距为20cm. 照射光波长550nm. 为了可以分辨,两个远处
的点状物体对透镜中心的张角必须不小于( 2.24×10-5 )rad (弧度),在透镜焦平面
上两个衍射图样的中心间的距离不小于( 4.47 )μm.
1.23 平行单色光垂直入射于单缝上,观察夫琅禾费衍射。
若屏上P 点处为第二级暗纹,则
单缝处波面相应地可划分为( 4 )个半波带。
若将单缝宽度缩小一半,P 点处将是( 1 )
级( 暗 )条纹。
1.24 用波长为546.1 nm 的平行单色光垂直照射在一透射光栅上,在分光计上测得第一级光
谱线的衍射角为θ=30°。
则该光栅每一毫米上有( 916 )条刻痕。
1.25 单色平面光照射到一小圆孔上,将其波面分成半波带。
若极点到观察点的距离 r 0 为 1m ,
单色光波长为 450nm ,此时第一半波带的半径( 0.067缺单位)。
1.26 平面光的波长为 480nm,垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上,会聚透镜的焦距为 60cm.当缝
的两边到 P 点的相位为π/2 和π/6 时,P 点离焦点的距离为( 0.018cm )、( 0.006cm ) 。
1.27 在单缝夫琅和费衍射实验中,设第一级暗纹的衍射角很小。
若以钠黄光(λ1=589nm)为
入射光,中央明纹宽度为4.0mm ;若以蓝紫光(λ2=442nm)为入射光,则中央明纹宽度
为( 3mm )。
1.28 单色光1λ=720nm 和另一单色光2λ经同一光栅衍射时,发生这两种谱线的多次重叠现
象。
设1λ的第1k 级主极大与2λ的第2k 级主极大重叠。
现已知当1k 分别为2, 4, 6,,时,对应的2k 分别为3, 6, 9,,则波长2λ=( 480nm )。
1.29 为测定一个光栅的光栅常数,用波长为63
2.8nm 的单色光垂直照射光栅,测得第一级主
极大的衍射角为18°,则光栅常数d =( 2047.8n m );第二级主极大的衍射角θ =
( 38.3︒ )。
1.30 一宇航员声称,他恰好能分辨他下方距他为H =160km 的地面上两个发射波长550nm 的
点光源。
假定宇航员的瞳孔直径D =5.0mm ,则此两点光源的间距为x ∆=(21.5m )。
1.31 在比较两条单色X 射线谱线波长时,注意到谱线A 在与某种晶体的光滑表面成30︒的掠
射角时出现第1级反射极大。
谱线B (已知具有波长0.097nm )则在与同一晶体的同一
表面成60︒的掠射角时出现第3级反射极大,则谱线A 的波长为A λ=( 0.17nm );
晶面间距为d =( 0.168nm )。
二. 选择题
3.1 根据惠更斯-菲涅耳原理,若已知光在某时刻的波阵面为S ,则S 的前方某点P 的光强
度决定于波阵面S 上所有面积元发出的子波各自传到P 点的( D )
A :振动振幅之和
B :光强之和
C :振动振幅之和的平方
D :振动的相干叠加
3.2 单色平面波照射到圆孔上,将其波面分成半波带,若入射光波长为λ,波面中心到场点
距离为0r ,则第k 个带的半径为( A )
A :λ=k r R k 0
B :0r k R k λ=
C :λ=0kr R k
D :2
0λ=k r R k 3.3 测量单色光的波长时,下列方法中哪一种方法最为精确?( D )
A :双缝干涉
B :牛顿环干涉
C :单缝衍射
D :光栅衍射
3.4 在夫琅禾费单缝衍射实验中,对于给定的入射单色光,当缝宽度变小时,除中央亮纹的
中心位置不变外,各级衍射条纹( B )
A :对应的衍射角变小
B :对应的衍射角变大
C :对应的衍射角也不变
D :光强也不变
3.5 在菲涅尔圆屏衍射的几何阴影中心处( A )
A :永远是个亮点,其强度只与入射光的光强有关
B :永远是个亮点,其强度随着圆屏的大小而变
C :有时是亮点,有时是暗点
D: 永远是暗点
3.6 对于夫琅和费单缝衍射装置,若将单缝的宽度减小,则( B )
A :零级衍射条纹变窄
B :零级衍条纹变宽
C :零级衍射条纹与单缝不平行
D :一切不变
3.7 在单缝夫琅禾费衍射实验中,若增大缝宽,其他条件不变,则中央明条纹( A )
A :宽度变小
B :宽度变大
C :宽度不变,且中心强度也不变
D :宽度不变,但中心强度增大
3.8 在菲涅耳圆孔衍射中,轴线上衍射点的波带数与多种因素有关,当光源位置和观察点P
位置一定时,波带数与孔径ρ和波长有关( A )
A :孔径愈大,波长愈短,波带数愈多
B :孔径愈小,波长愈长,波带数愈多
C :孔径愈小,波长愈短,波带数愈多
D :孔径愈大,波长愈长,波带数愈多
3.9 一束白光垂直照射在一光栅上,在形成的同一级光栅光谱中,偏离中央明纹最远的是
( D )
A :紫光
B :绿光
C :黄光
D :红光
3.10 在单缝夫琅和费衍射实验中,波长为λ的单色光垂直入射在宽度为a =4λ的单缝上,对
应于衍射角为30°的方向,单缝处波阵面可分成的半波带数目为( B )个
A :2
B : 4
C : 6
D :8 3.11 一束波长为λ的平行单色光垂直入射到一单缝AB 上,装置如图.在屏幕D 上形成衍射图样,如果P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置,则BC 的长度为( B ) A :2
λ B :λ C :2
3λ D :λ
2 3.12 在如图所示的单缝夫琅禾费衍射实验中,若将单缝沿透镜光轴方向向透镜平移,则屏幕上的衍射条纹( C ) A :间距变大
B :间距变小
C :不发生变化
D :间距不变,但明暗条纹的位置交替变化 3.13 如果单缝夫琅禾费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为ϕ=30°的方位上.所用单色光波长
为=500 nm ,则单缝宽度为( C )
A :2.5×10-5 m
B :1.0×10-5m
C :1.0×10-6 m
D :2.5×10-7 m
3.14 一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0 mm 的单缝上,在缝后放一焦距为2.0 m 的会聚
透镜.已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 mm ,则入射光波长约为( C )
A :100 nm
B :400 nm
C :500 nm
D :600 nm
3.15 在单缝夫琅禾费衍射实验中波长为λ的单色光垂直入射到单缝上.对应于衍射角为30°
的方向上,若单缝处波面可分成 3个半波带,则缝宽度a 等于( D )
A : 0
B : 1.5
C :2
D :3
3.16 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ,光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm
的透光圆环,接收点P 离光阑1m ,P 点得光强I 与没有光阑时的光强度 I 的比为( D )
屏幕
A :1
B :2
C :3
D :4
3.17 波长为500nm 的单色光垂直照射到宽度a=0.25 mm 的单缝上,单缝后面放置一凸透镜,
在凸透镜的焦平面上放置一屏幕,用以观测衍射条纹.今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12 mm ,则凸透镜的焦距f 为 ( B ) A : 2 m B :1 m
C : 0.5 m
D :0.2 m
E : 0.1 m
3.18 波长 为 λ的点 光源经波带片成一个像点 , 该波 带片有 100 个透 明奇数半波带
(1,3,5,……)。
另外 100 个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时 该像点的强度比 I :I 0=( D )
A : 1
B : 1/2
C : 1/3
D : 1/4
3.19 在如图所示的夫琅禾费衍射装置中,将单缝宽度a 稍稍变窄,同时使会聚透镜L 沿y 轴正方向作微小平移(单缝与
屏幕位置不动),则屏幕C 上的中央衍射条纹将( A ) A :变宽,同时向上移动
B :变宽,同时向下移动
C :变宽,不移动
D :变窄,同时向上移动
E :变窄,不移动
3.20 在如图所示的单缝夫琅禾费衍射装置中,设中央明纹的衍射
角范围很小.若使单缝宽度a 变为原来的
23,同时使入射的单色光的波长λ变为原来的43,则屏幕C 上单缝衍射条纹中央明纹的宽度x 将变为原来的( D ) 倍
A :3 / 4
B : 2 / 3
C :9 / 8
D :1 / 2
E :2
3.21 在如图所示的单缝夫琅禾费衍射实验装置中,S 为单缝,L 为透镜,
C 为放在L 的焦面处的屏幕,当把单缝S 垂直于透镜光轴稍微向
上平移时,屏幕上的衍射图样( C )
A :向上平移
B :向下平移
C :不动
D :消失 3.22 对某一定波长的垂直入射光,衍射光栅的屏幕上只能出现零级和一级主极大,欲使屏幕
上出现更高级次的主极大,应该( B )
A :换一个光栅常数较小的光栅
B :换一个光栅常数较大的光栅
C :将光栅向靠近屏幕的方向移动
D :将光栅向远离屏幕的方向移动
3.23 若用衍射光栅准确测定一单色可见光的波长,在下列各种光栅常数的光栅中选用哪一种
最好( D )
A :5.0×10-1 mm
B :1.0×10-1 mm
C :1.0×10-2 mm
D :1.0×10-3 mm
λ
λ
3.24 某元素的特征光谱中含有波长分别为1λ=450 nm 和2λ=750 nm 的光谱线.在光栅光
谱中,这两种波长的谱线有重叠现象,重叠处2λ的谱线的级数将是( D )
A :2 ,3 ,4 ,5 .....
B :2 ,5 ,8 ,11.....
C :2 ,4 ,6 ,8 .....
D :3 ,6 ,9 ,12.....
3.25 在光栅光谱中,假如所有偶数级次的主极大都恰好在单缝衍射的暗纹方向上,因而实际
上不出现,那么此光栅每个透光缝宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度b 的关系为( B ) A :a=2
1b B :a=b C :a=2b D :a=3 b
3.26 波长λ=550 nm 的单色光垂直入射于光栅常数d =2×10-4 cm 的平面衍射光栅上,可能观
察到的光谱线的最大级次为( B )
A : 2
B : 3
C : 4
D : 5
3.27 透光缝数为N 的光栅衍射实验里,缝干涉的中央明纹中强度的最大值为一个缝单独存
在时单缝衍射中央明纹强度最大值的( D )倍
A :1
B : N
C :2N
D :2
N
3.28 波长为42.6nm 的单色光,以70º角掠射到岩盐晶体表面上时,在反射方向出现第一级
级大,则岩盐晶体的晶格常数为( B )nm
A :39
B :22.7
C :58.4
D :62.9
3.29 在双缝衍射实验中,若两缝中心间距5倍于每条缝宽,则在单缝衍射的两个第一极小条
纹之间出现的干涉明纹数为( C )
A :2
B :5
C :9
D :12
3.30 波长为16.8nm 的X射线以掠射角θ射向某晶体表面时,在反射方向出现第一级极大,
已知晶体的晶格常数为16.8nm ,则θ角为( A )
A :30˚
B : 45˚
C :60˚
D : 90˚
3.31 X 射线射到晶体上,对于间距为d 的平行点阵平面,能产生衍射主极大的最大波长为
( D )
A :d/4
B :d/2
C :d
D :2d
3.32 设光栅平面、透镜均与屏幕平行。
则当入射的平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜
入射时,能观察到的光谱线的最高级次k ( B )
A :变小
B :变大
C :不变
D :改变无法确定
3.33 在单缝衍射实验中,缝宽a = 0.2mm ,透镜焦距f = 0.4m ,入射光波长λ= 500nm ,则在
距离中央亮纹中心位置2mm 处是亮纹还是暗纹?从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带( D )
A :亮纹,3个半波带
B :亮纹,4个半波带
C :暗纹,3个半波带
D :暗纹,4个半波带
3.34 波长为632.8nm 的单色光通过一狭缝发生衍射。
已知缝宽为1.2mm ,缝与观察屏之间
的距离为D =2.3m 。
则屏上两侧的两个第8级极小之间的距离x ∆为 ( B )
A :1.70cm
B :1.94cm
C :2.18cm
D :0.97cm
3.35 波长为600nm 的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm 的光栅上,光栅的刻痕与缝
宽相等,则光谱上呈现的全部级数为( B )
A :0、±1、±2、±3、±4
B :0、±1、±3
C :±1、±3
D :0、±2、±4
3.36 用白光(波长范围:400nm-760nm )垂直照射光栅常数为2.0×10-4cm 的光栅,则第一级
光谱的张角为( C )
A :9.5︒
B :18.3︒
C :8.8︒
D :13.9︒
3.37 欲使波长为λ(设为已知)的X 射线被晶体衍射,则该晶体的晶面间距最小应为 ( D )。
A :λ/4
B :2λ
C :λ
D :λ/2
三.问答题
3.1 惠更斯—菲涅尔原理的表述?
答:光波前上每一点可看成一个新的次级波源,发出子波; 下一个时刻的波前为所有
子波的共同包络面;波的传播方向沿子波源与子波面和包络面的切点的连线方向上;子波在空间中相干叠加。
3.2 为何圆屏衍射的接收屏中央始终有一亮点(泊松亮点)? 答:通过半波带法说明:分析光振幅分布0E 2
2m →±=且m n P E E E 3.3 在单缝衍射图样中,离中心明纹越远的明条纹亮度越小,试用半波带法说明。
答:除中央明纹(零级)外,其他明纹的衍射方向对应着奇数个半波带(一级三个,二
级五个,……),级数越大,则单缝处的波阵面可以分成的半波带数目越多,其中偶数个半波带的作用两两相消之后,剩下的光振动未相消的一个半波带的面积越小,由它决定的该明条纹的亮度就越小。
四.计算题
4.1 在用白光做单缝夫琅和费衍射实验中,波长为λ的第3级明条纹中心与波长为λ/=630nm
的红光的第2级明条纹中心相重合,求波长λ。
答案:nm 450=λ
解:λφ)12(5.0sin +=k a
λ的第3级明纹 2
7sin λφ=
a 'λ的第2级明纹2
'5'sin λφ=a 由题意 2
'527λλ= 2 nm 4507'5==λλ
4.2 波长为400nm---760nm 的白光垂直照射在光栅上,在它的衍射光谱中,第二级和第三级
发生重叠,问第二级光谱被重叠的波长范围是多少。
答案:第二级中重叠范围是600nm------760nm
解:令第三级光谱中 λ=400nm 的光与第二级光谱中波长为'λ的光对应的衍射角都为θ,
则 λθ3sin =d '2s i n λθ=d nm d 6002
sin '==θλ 所以,第二级中重叠范围是600nm------760nm
4.3 一束平行光垂直入射到某个光栅上,该光束有两种波长的光λ1=440nm 和λ2=660nm.实验
发现,两种波长的谱线(不记中央明纹)第二主极大重合于衍射角Φ=60˚的方向上,求此光栅的光栅常数。
答案:mm d 3
1005.3-⨯=
解:由光栅衍射主极大公式得 111sin λφk d = 22sin λφk d =
2
12132sin sin K K =φφ 当两谱线重合时有 21φφ=
∴ k1/k2=3/2=6/4=9/6……
当第二主极大重合时 k1/k2=6/4, k1=6, k1=4
由光栅公式可知 1660sin λ=︒d mm d 31005.3-⨯=
4.4 一平面透射光栅,当用波长λ1=600nm 的单色平行光垂直入射时,在衍射角θ=300的方
向上可以看到第2级主极大,并且在该处恰能分辨波长差∆λ=0.005nm 的两条谱线,当用波长为400nm 的单色光平行垂直入射时,在衍射角θ=300的方向上却看不到本应出现的主极大,求光栅常数d 和总缝数N ,再求可能的缝宽b 。
答案:d=2.4um ;N=60000;b=0.8μm
解:据光栅公式 λϕk d =sin 得: d=2.4um 据光栅分辨本领公式kN R =∆=λ
λ 得: N=60000. 在θ=30°的方向上,波长2λ=400nm 的第3级主极大缺级,因而在此处恰好是波长2λ的单缝衍射的一个极小,因此有:2211k 30sin λ=λ=︒k d , ∴3=b
d ,b=0.8μm. 4.5 设计一个平面透射光栅,当光线垂直照射时,能在30˚方向上观察到λ=600nm 的光的第二
级谱线,并能在该处分辨Δλ=0.005nm 的两条谱线.求光栅常数d 和光栅的宽度。
答案:d=2400nm, N=60000, L=14.4cm
解:光栅常数nm k 2400sin d =θλ=
又 Nk =∆λ
λ N=60000条 光栅宽度为 L=Nd=14.4cm
4.6 设光栅平面和透镜都与屏幕平行,在平面透射光栅上每厘米有5000条刻痕线,用它来观
察钠黄光(λ=589 nm )的光谱线。
(1)当光线垂直入射到光栅上时,能看到的光谱线的最高级数K m 是多少? (2)当光线以30˚的入射角(入射线与光栅平面法线的夹角)斜入射到光栅上时,能看到的光谱线的最高级数K m 是多少?
答案:1)3 2)5
解: 1)垂直入射时,设能看到的光谱线的最高级数为km ,则根据光栅方程有
λθm K d =sin
∵sinθ≤1 ∴1≤d
K m λ ∴39.3=≤λd K m km≤d/λ=3.39 ∵m K 为整数 ∴3=m K
2)斜入射,设能看到的光谱线的最高级数为'm K ,则根据斜入射时的光栅方程
λθ')'sin 30(sin m K d =+︒
∵sinθ′≤1 ∴5.1'≤d
K m λ ∴09.55.1'=≤λd K m ∵'m K 为整数 ∴5'=m K
4.7 设计一块平面光栅,要求满足:(1)使波长为600nm 的第二谱线的衍射角小于300角,
并能分辨0.02 nm 的波长差;(2)色散尽可能的大;(3)第三级谱线缺级。
试求:(1)光栅的缝宽、缝数、光栅常数及总宽度;(2)用这块光栅总共能看到600 nm 的几条谱线。
答案:1)d=24×10-7m, b=8×10-7m, N=15000条;
2)能见的谱线为:0,2,1±±级,共5条谱线
解:已知:nm 600=λ,j=2±,3,02.030==∆︒≤b
d nm λθ,, 77
910242
1101230sin 106002sin ---⨯=⨯=︒
⨯⨯=θλ=j d m m 1083
7-⨯==d b
jN =∆λλ )(150004
60000202.0600条==⨯=⨯∆=∴j N λλ m Nd 3101036102415000L --⨯=⨯⨯==总 角色散θcos d j D =
线色散θ
cos ''d j f d f l == 要求色散尽可能大即θ尽可能大,θcos 尽可能小。
λθj d =sin ,当时2πθ=,41061024,1sin 77max --⨯⨯===λθd j (级) 又知3==m b d 级缺级。
2
πθ=时,对应max j =4无法看到。
能见的谱线为:0,2,1±±级,共5条谱线
4.8 将一束波长λ=589 nm 的平行钠光垂直入射在每厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅
上,光栅的透光宽度a 与其间距b 相等,求:1)光线垂直入射时,能看到几条谱线?是哪几级?2)若光线与光栅平面法线的夹角θ = 300的方向入射时,能看到能看到几条谱线?是哪几级?
答案:1)能看到5条谱线,为0 , ±1, ±3级
2)能看到5条谱线,为+5,+3,+1,0,-1级
解: 1) (a+b)sinΦ= kλ, 当Φ=π/2时 k=(a+b) / λ=3.39
取kmax=3 a=b (a+b)sinΦ=2asinΦ=kλ asinΦ=kλ/2
当k= ±2, ±4, ±6……时缺级。
∴能看到5条谱线,为0 , ±1, ±3级
2) (a+b)(sinΦ+ sinθ)= kλ, θ=30°, Φ=±90°
Φ=90°, k=5.09 取kmax=5
Φ=-90°, k=-1.7 取k′max=-1
∵a=b, ∴第2,4,……缺级
∴能看到5条谱线,为+5,+3,+1,0,-1级
4.9 用波长λ=539.8nm 的平行光入射在单缝上,缝后用焦距f=40cm 的凸透镜把衍射光会聚
于焦平面上,测得中央明条纹的宽度为3.4mm ,单缝的宽度是多少?
答案:a=0.15mm
解:中央明纹宽度 a
f X λ2≈∆ 单缝的宽度 a=0.15mm
4.10 某种单色平行光垂直入射在单缝上,单缝宽 a=0.15mm 缝后放一个焦距f=400mm 的凸
透镜,在透镜的焦平面上,测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm ,求入射光的波长。
答案:nm 500=λ
解:设第三级暗纹在3Φ方向上,则有λ3sin 3=Φa
此暗纹到中心的距离为 33tan Φ=f X
因为3Φ很小,可认为33sin tan Φ≈Φ 所以a
f X λ33≈ 两侧第三级暗纹的距离是a f X λ623≈
2x3=6fλ/a ∴ nm f a X 5006/)2(3==λ
4.11 纳黄光中包含两个相近的波长λ1=589.0nm 和λ2=589.6nm.,用平行的纳黄光垂直入射在
每毫米有600条缝的光栅上,会聚透镜的焦距f=1.00m 。
求在屏幕上形成的第2级光谱中上述两波长λ1和λ2 的光谱之间的间隔ΔL 。
答案:mm 04.2L =∆
解:光栅常数 d=1mm/600=1667nm
根据光栅公式,1λ的第2级谱线 112sin λθ=d
︒=96.441θ 2λ的第2级谱线2212sin λθ=d ︒=02.452θ
两谱线间隔 mm f 04.2)tan (tan L 12=-=∆θθ
4.12 用含有两种波长λ=600nm 和λ΄=500nm 的复色光垂直入射到每毫米有200条刻痕的光栅
上,光栅后面置一焦距为f=50cm 的凸透镜,在透镜焦平面处置一屏幕,求以上两种波长光的第一级谱线的间距ΔX 。
答案:cm X 1=∆
解:对于第一级谱线,有:11tan Φ=f X ,d λφ=
1sin ∵φφtan sin = ∴d
f f X λ≈Φ=11tan λ和λ′两种波长的第一级谱线之间的距离
cm f X X X 1)'tan (tan '1111=-=-=∆φφ
4.13 在单色光垂直入射夫琅和费衍射实验中,双缝中心距为d 每条缝的宽度为a 。
已知
d/a=5.5。
试计算衍射图样中对应于单缝衍射中央明纹区域内干涉明纹的数目。
答案:11条
解:干涉极大的衍射角φ满足如下条件 λφk d ='sin k=0,1,2……
单缝衍射第一个暗点(中央明纹边缘)在φ′方向, λφ='sin a
二式相除,在0到φ′范围内,'
sin sin φφa d K =, 'φφ≤,
5.5=a
d k 只能取0,1,2,3,4,5。
另一侧, k 可取-1,-2,-3,-4,-5。
共计11条干涉明纹。
4.14 用钠黄光(有波长为λ1=589.0nm 和 λ2=589.6nm 的两个成分)垂直照射到光栅常数为
d=3.5×10-4cm ,栅纹总数为N=1000的衍射光栅上,求:在第三级光谱中,1)波长为λ2的光和波长为λ1 的主极大衍射角度之差 (θ1 - θ2 );2)波长为λ1 的主极的半角宽度Δθ1
答案:1)rad 412100.6-⨯=-θθ
2)rad Nd 411
1100.2cos -⨯==∆θλθ
解:1)113sin λφ=d
223sin λφ=d
∵112λλλ≤-
∴)(3)(cos 12121λλθθθ-≈-d ∴rad 412100.6-⨯=-θθ
2)rad Nd 411
1100.2cos -⨯==∆θλθ
4.15 在圆孔夫琅和费衍射实验中,已知圆孔半径a ,透镜焦距f ,入射光波长λ,求透镜焦面
上中央亮斑的直径D 。
答案:a
f D λ22..1= 解:透镜焦面上中央亮斑的直径等于第一暗环的直径,设第一暗环的衍射角为1φ,则
λφ61.0sin 1=a
透镜焦距为f 时,焦面上第一暗环直径为1tan 2φf D =
通常 λ≥a ,因而1φ很小,于是111tan sin φφφ≈≈ 所以a
f D λ22..1= 4.16 在夫琅和费衍射实验中,若圆孔半径R ,透镜焦距f 与入射光波长为λ,R>>λ,求中央
亮斑的直径d 。
答案:d=1.22λf/R
解:设第一级暗环的衍射角为φ1,则有 R asinφ1=0.61λ
又 tgφ1=d/2f
d 为第一级暗环直径
∵R≥λ,
∴φ1很小 sinφ1≈tgφ1
∴ .d=1.22λf/R
4.17 纳黄光是由波长λ1=5890Å和 λ2=5896Å的两条谱线组成,如果用每毫米500条缝的光
栅做光谱实验,(入射光垂直于光栅)。
求在第一级光谱中,这两条谱线的偏转角度和它们的差;若光栅宽度为L=10cm,求在第一级光谱中波长为6000Å正好能分辨的两条谱线的波长差。
答案:nm N 012.0==∆λ
λ
解: 1)应用光栅公式11sin )(λθ=+b a
2945.0sin 1=θ '︒=8171θ
2948.0sin 2=θ '︒=9172θ′
'==∆1-12θθθ
2)该光栅的总缝数 145L N ⨯=+=)
(b a 则该光栅的第一级光谱中波长λ=600nm 处正好能分辨的谱线波长差
nm N 012.0==∆λ
λ
4.18 一双缝,缝距d=0.40mm ,两缝宽都是a=0.080mm ,用波长为λ= 4800Å的平行光垂直
照射双缝,在双缝后放一焦距f=2.0的透镜求:1)在透镜焦平面处的屏上,双缝干涉条纹的间距∆X 。
2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 和相应的级数。
答案:1)mm d
kf d f k xk xk x 4.2)1(1=-+=-+=∆λλ 2)N=9,k=0, ±1, ±2, ±3, ±4级亮纹
解:双缝干涉条纹:
1)第k 级亮纹条件: λθk d =sin
第k 级亮纹位置: d
kf f f xk λθθ≈
≈=sin tan 相邻两亮纹的间距: mm d
kf d f k xk xk x 4.2)1(1=-+=-+=∆λλ 2)单缝衍射第一暗纹:λθ=sin a 单缝衍射中央亮纹半宽度:mm a f f f x 12sin tan 11=≈≈=∆λθθ ∴双缝干涉第±5级主极大缺级。
∴在单缝衍射中央亮纹范围内,双缝干涉亮纹数目 N=9
分别为 k=0, ±1, ±2, ±3, ±4级亮纹
或根据d/a=5指出双缝干涉缺第±5级主极大
4.19 单缝的宽度a=0.10mm ,在缝后放有焦距为50 cm 的会聚透镜,用平行绿光(λ=5460Ǻ)
垂直照射到单缝上,试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹宽度。
答案:5.46mm
解:中央明纹宽度:5.46mm
4.20 如图所示,设波长为λ的平面波沿与单缝平面法线成θ角的方向
入射,单缝AB 的宽度为a ,观察夫琅和费衍射。
试求出各级小值
(即各暗条纹)的衍射角Φ. 答案:)sin (1sin θλφa a
k +±-= k=1,2,3,……(k≠0) 解:1、2两光线的光程差,在如图情况下为 φθδsin sin a a -=
由单缝衍射极小值条件 a(sinθ- sinΦ)= ±kλ k=1,2,3,……
得 )sin (1sin θλφa a
k +±
-= k=1,2,3,……(k≠0)。