第1,2章 线性空间与线性变换
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第1章：线性空间与线性变换
内容： 内容： 线性空间的一般概念 重点： 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点： 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 特点 研究代数结构——具有线性运算的集合。 研究代数结构——具有线性运算的集合。 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi ∈R} ={x= ={空间中所有向量} ={空间中所有向量 空间中所有向量}
交集： W1∩W2=｛α α∈W1 而且 α∈W 2｝⊆Vn（F） α∈W α∈W 交集： W1∩W2是子空间，被称为“交空间” 是子空间，被称为“交空间”
四、坐标
坐标的来历： 是空间V 坐标的来历：设{α1，α2，…，α n } 是空间V的一 组基， 可以由基α 组基， ∀β ∈V, β可以由基α1，α2，…，α n唯一 线性表示 β=x1α1+x2α2+…+xnα n 在基{ 下的坐标。 则x1 ，x2， …， xn 是β在基{αi}下的坐标。
要点： 坐标与基有关 要点： 坐标的表达形式
重要的子空间：生成子空间 重要的子空间： 设向量组｛ ···， 设向量组｛α1，α2，···，α m｝⊆V，由它们的一 切线性组合生成的子空间： 切线性组合生成的子空间： Span{ Span{α1，α2，···，αm }=L(α1，α2，···，αm) ···， =L(α ···， = ｛k1α1+k2α2+···+kmαm| ki} ···+ 生成子空间的重要的性质： 生成子空间的重要的性质： 1 ） 如果 α 1 ， α 2 ， ··· ， α m 线性无关 ， 则其为生成子空 如果α ···， 线性无关， Span{ ···， 的一组基； 间Span{α1，α2，···，αm }的一组基； 2）如果α1，α2，···，αr是向量组α1，α2，···，αm的最 如果α ···， 是向量组α ···， 大线性无关组， 大线性无关组，则 Span{ Span{α1，α2，···，αm } ···， ···， Span{ ···， α1，α2， ···，αr是Span{α1，α2， ···，αm }的一 组基
因此，要研究线性空间， 因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基 basis) 大线性无关组----即为基(basis) 即为基(
三、线性空间的基和维数
基(basis)：线性空间的极大无关组； (basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数： 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n 自然基{ Rm×n ，自然基{Eij}，dim Rm×n =m×n。 自然基{ F[t]3 ，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3 =3 自然基{1， dimF C[a，b]， {1， C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}⊆C[a,b]， …}⊆C[a,b]， dim C[a，b]= ∞ C[a， 约定： 约定： 本书主要研究有限维线性空间。 本书主要研究有限维线性空间。
1 基变换公式 {α1 , α 2 ,..., α n } 设空间中有两组基： 设空间中有两组基：{β1 , β 2 ,..., β n }
过渡矩阵C的性质： 过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵 C的第i列是β i 在基{αi }下的坐标 的第i列是β 在基{
则( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 , α 2 ,..., α n )Cn×n
2 − 4 A4 = − 3 − 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 讨论{ 的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合. 线性组合.
五、基变换和坐标变换
讨论： 讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi ∈R} ={X= 运算： 运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间， 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点： 线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： 线性空间的简单性质（共性）： 中的零元素是惟一的。 （1） V中的零元素是惟一的。 中任何元素的负元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数零和零元素的性质： （3）数零和零元素的性质： 0α=0，k0=0，k α=0 ⇒ α=0 或k=0 =0，k0=0， k=0 数0 （ 4） − α= （ − 1） α
向量0 向量0
二、向量组的探讨 （Review)
向量的线性相关与线性无关： 向量的线性相关与线性无关：
向量β可由α 向量β可由α1，α2，…，αs线性表示;（其工作可由多人 线性表示; 合力完成） 合力完成） 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 ⇔ 任何一个向量不能由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 只有系数都为0 要使k 只有系数都为0 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性相关 ⇔ 其中一个向量可以由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 必须有非零系数 要使k
归纳： 归纳： 有了基， 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 元素对应起来， 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。 进行研究。
*例3 设R2×2中向量组{Ai} 中向量组{
1 1 0 2 A1 = A 2 = 1 3 1 2 3 1 A3 = 0 1
α = (β1β 2 ...β n )Y
例 已知空间R中两组基（I）{Eij} 已知空间R中两组基（ II）； ）；{ （II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0来自百度文库 } 0 0 1 0 0 3 3 1 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 求从基（ 到基（II）的过渡矩阵C 2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 在基（II）的坐标Y 1 2
三、线性空间的基和维数
抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义 一样： 和Rn一样：
定义形式和向量空间R 中的定义一样。 定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和R 中的结果一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
§1.2 1.2
子空间
概述：线性空间V 向量集合V 概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系： 合的运算和关系： Wi ⊆V， W1∪W2， W1∩W2， 问题： 问题 ： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合W 如果W 定义： 设非空集合W⊆V，W≠∅ ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W 的子空间。 则称W是V的子空间。 判别方法： 判别方法：Important Theorem W是子空间 ⇔ W对V的线性运算封闭。 的线性运算封闭。
例1：求 求 下的坐标。 下的坐标。
R2×2中向量
3 1 在基{E } 在基{ ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： 设空间F 的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1， {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} {1，（ 在这两组基下的坐标。 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
过 渡 矩 阵
2 坐标变换公式 已知 空间中两组基： 空间中两组基：
满足: 满足: ( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 , α 2 ,..., α n )Cn×n : α = (α1α 2 ...α n ) X ; 讨论X 讨论X和Y的关系
X=CY
{α1 , α 2 ,..., α n } {β1 , β 2 ,..., β n }
要点： 要点：
• 集合V 与数域F 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 运算之后的结果跑不出去） （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美） （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或 F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x ∈F} ={X= 运算： 运算：向量加法和数乘向量 Fm×n = {A=[aij]m×n：a ij∈F}； {A=[a F}； 运算： 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Rm×n ；Cm×n 。 F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：ai∈R} ={f(x)=a 运算： 运算：多项式的加法和数乘 •C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续} C[a ]={f（ ）：f 上连续} 运算： 运算：函数的加法和数乘 •Example： V=R+，F=R， a⊕ b=ab， λ⊗ a=a λ Example： F=R， ab，
题型举例
1 3 已知 P = ， W = { A ∈ R 2×2 | AP = PA} 0 2 令 1. 证明：W是R 2×2的子空间； 2. 求W的基与维数； 3. 求W中矩阵的一般形式.
2、子空间的“交空间”与“和空间” 子空间的“ 和空间” 子空间的 交空间”
讨论：设W 1⊆ V，W2 ⊆ V，且都是子空间，则 且都是子空间， 讨论： 是否仍然是子空间？ W1∩W2和W1∪W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
定义向量的加法，数与向量的乘积。 定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间 Definition:(线性空间或向量空间) 线性空间或向量空间)
子空间本身就是线性空间。 子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： 子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝⊆R 3，是子空间 ={x=(x V={x=(x V={x=(x1，x2，1｝⊆R 3，不是子空间
矩阵A 矩阵A∈R m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间 AX=0的解集： S=｛X ： AX=0｝⊆Rn， AX=0 •非齐次线性方程的解集： 非齐次线性方程的解集： 不是子空间 M=｛X ： AX=b｝ ｛ ｝
二、向量组的探讨 （Review)
向量组的极大线性无关组： 向量组的极大线性无关组： 为向量组A α1，α2，…，αs为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由α 任意A的向量可以由α1，α2，…，αs线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)： 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数
内容： 内容： 线性空间的一般概念 重点： 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点： 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 特点 研究代数结构——具有线性运算的集合。 研究代数结构——具有线性运算的集合。 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi ∈R} ={x= ={空间中所有向量} ={空间中所有向量 空间中所有向量}
交集： W1∩W2=｛α α∈W1 而且 α∈W 2｝⊆Vn（F） α∈W α∈W 交集： W1∩W2是子空间，被称为“交空间” 是子空间，被称为“交空间”
四、坐标
坐标的来历： 是空间V 坐标的来历：设{α1，α2，…，α n } 是空间V的一 组基， 可以由基α 组基， ∀β ∈V, β可以由基α1，α2，…，α n唯一 线性表示 β=x1α1+x2α2+…+xnα n 在基{ 下的坐标。 则x1 ，x2， …， xn 是β在基{αi}下的坐标。
要点： 坐标与基有关 要点： 坐标的表达形式
重要的子空间：生成子空间 重要的子空间： 设向量组｛ ···， 设向量组｛α1，α2，···，α m｝⊆V，由它们的一 切线性组合生成的子空间： 切线性组合生成的子空间： Span{ Span{α1，α2，···，αm }=L(α1，α2，···，αm) ···， =L(α ···， = ｛k1α1+k2α2+···+kmαm| ki} ···+ 生成子空间的重要的性质： 生成子空间的重要的性质： 1 ） 如果 α 1 ， α 2 ， ··· ， α m 线性无关 ， 则其为生成子空 如果α ···， 线性无关， Span{ ···， 的一组基； 间Span{α1，α2，···，αm }的一组基； 2）如果α1，α2，···，αr是向量组α1，α2，···，αm的最 如果α ···， 是向量组α ···， 大线性无关组， 大线性无关组，则 Span{ Span{α1，α2，···，αm } ···， ···， Span{ ···， α1，α2， ···，αr是Span{α1，α2， ···，αm }的一 组基
因此，要研究线性空间， 因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基 basis) 大线性无关组----即为基(basis) 即为基(
三、线性空间的基和维数
基(basis)：线性空间的极大无关组； (basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数： 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n 自然基{ Rm×n ，自然基{Eij}，dim Rm×n =m×n。 自然基{ F[t]3 ，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3 =3 自然基{1， dimF C[a，b]， {1， C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}⊆C[a,b]， …}⊆C[a,b]， dim C[a，b]= ∞ C[a， 约定： 约定： 本书主要研究有限维线性空间。 本书主要研究有限维线性空间。
1 基变换公式 {α1 , α 2 ,..., α n } 设空间中有两组基： 设空间中有两组基：{β1 , β 2 ,..., β n }
过渡矩阵C的性质： 过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵 C的第i列是β i 在基{αi }下的坐标 的第i列是β 在基{
则( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 , α 2 ,..., α n )Cn×n
2 − 4 A4 = − 3 − 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 讨论{ 的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合. 线性组合.
五、基变换和坐标变换
讨论： 讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi ∈R} ={X= 运算： 运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间， 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点： 线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： 线性空间的简单性质（共性）： 中的零元素是惟一的。 （1） V中的零元素是惟一的。 中任何元素的负元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数零和零元素的性质： （3）数零和零元素的性质： 0α=0，k0=0，k α=0 ⇒ α=0 或k=0 =0，k0=0， k=0 数0 （ 4） − α= （ − 1） α
向量0 向量0
二、向量组的探讨 （Review)
向量的线性相关与线性无关： 向量的线性相关与线性无关：
向量β可由α 向量β可由α1，α2，…，αs线性表示;（其工作可由多人 线性表示; 合力完成） 合力完成） 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 ⇔ 任何一个向量不能由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 只有系数都为0 要使k 只有系数都为0 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性相关 ⇔ 其中一个向量可以由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 必须有非零系数 要使k
归纳： 归纳： 有了基， 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 元素对应起来， 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。 进行研究。
*例3 设R2×2中向量组{Ai} 中向量组{
1 1 0 2 A1 = A 2 = 1 3 1 2 3 1 A3 = 0 1
α = (β1β 2 ...β n )Y
例 已知空间R中两组基（I）{Eij} 已知空间R中两组基（ II）； ）；{ （II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0来自百度文库 } 0 0 1 0 0 3 3 1 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 求从基（ 到基（II）的过渡矩阵C 2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 在基（II）的坐标Y 1 2
三、线性空间的基和维数
抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义 一样： 和Rn一样：
定义形式和向量空间R 中的定义一样。 定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和R 中的结果一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
§1.2 1.2
子空间
概述：线性空间V 向量集合V 概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系： 合的运算和关系： Wi ⊆V， W1∪W2， W1∩W2， 问题： 问题 ： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合W 如果W 定义： 设非空集合W⊆V，W≠∅ ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W 的子空间。 则称W是V的子空间。 判别方法： 判别方法：Important Theorem W是子空间 ⇔ W对V的线性运算封闭。 的线性运算封闭。
例1：求 求 下的坐标。 下的坐标。
R2×2中向量
3 1 在基{E } 在基{ ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： 设空间F 的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1， {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} {1，（ 在这两组基下的坐标。 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
过 渡 矩 阵
2 坐标变换公式 已知 空间中两组基： 空间中两组基：
满足: 满足: ( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 , α 2 ,..., α n )Cn×n : α = (α1α 2 ...α n ) X ; 讨论X 讨论X和Y的关系
X=CY
{α1 , α 2 ,..., α n } {β1 , β 2 ,..., β n }
要点： 要点：
• 集合V 与数域F 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 运算之后的结果跑不出去） （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美） （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或 F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x ∈F} ={X= 运算： 运算：向量加法和数乘向量 Fm×n = {A=[aij]m×n：a ij∈F}； {A=[a F}； 运算： 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Rm×n ；Cm×n 。 F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：ai∈R} ={f(x)=a 运算： 运算：多项式的加法和数乘 •C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续} C[a ]={f（ ）：f 上连续} 运算： 运算：函数的加法和数乘 •Example： V=R+，F=R， a⊕ b=ab， λ⊗ a=a λ Example： F=R， ab，
题型举例
1 3 已知 P = ， W = { A ∈ R 2×2 | AP = PA} 0 2 令 1. 证明：W是R 2×2的子空间； 2. 求W的基与维数； 3. 求W中矩阵的一般形式.
2、子空间的“交空间”与“和空间” 子空间的“ 和空间” 子空间的 交空间”
讨论：设W 1⊆ V，W2 ⊆ V，且都是子空间，则 且都是子空间， 讨论： 是否仍然是子空间？ W1∩W2和W1∪W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
定义向量的加法，数与向量的乘积。 定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间 Definition:(线性空间或向量空间) 线性空间或向量空间)
子空间本身就是线性空间。 子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： 子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝⊆R 3，是子空间 ={x=(x V={x=(x V={x=(x1，x2，1｝⊆R 3，不是子空间
矩阵A 矩阵A∈R m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间 AX=0的解集： S=｛X ： AX=0｝⊆Rn， AX=0 •非齐次线性方程的解集： 非齐次线性方程的解集： 不是子空间 M=｛X ： AX=b｝ ｛ ｝
二、向量组的探讨 （Review)
向量组的极大线性无关组： 向量组的极大线性无关组： 为向量组A α1，α2，…，αs为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由α 任意A的向量可以由α1，α2，…，αs线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)： 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数