第1,2章 线性空间与线性变换
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
第1章 线性空间与线性变换
请双面打印/复印(节约纸张)工程矩阵理论主讲: 张小向第一章 线性空间与线性变换第一节 线性空间的基本概念 第二节 基, 维数与坐标变换 第三节 子空间的和与交 第四节 线性映射 第五节 线性映射的矩阵 第六节 线性映射的值域与核 第七节 几何空间线性变换的例子 第八节 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念§1.1 线性空间的基本概念 一. 几个具体的例子 1.n= {(a1, …, an)T | a1, …, an ∈ }.2, 3).1. n. 2. [x]. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ 6. V = {α}.+, +非空集合(特例: 2. [x] ={a0+a1x+…+anxn a11 a21 … am1| a1, …, an ∈ }. .3. Mm×n( ) =a12 … a1n a22 … a2n 诸aij ∈ … …… am2 … amn共 同 点系数域 两种运算 八条规则∀k∈ .α +α = α, kα = α, ∀k∈ .第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念二. 线性空间的定义与性质 定义1.1.1 线性空间V(F). V——非空集合 F——数域 加法交换律 结合律 有零元素 每个元素都有负元素 1α = α k(lα) = (kl)α (k+l)α = kα + lα k(α+β) = kα + kβ定理1.1.1. (1) 零向量唯一; (2) 任一向量的负向量唯一; (3) 0α = θ; (4) kθ = θ; (5) (−1)α = −α, (−k)α = −(kα); (6) kα = θ ⇒ k = 0或α = θ.数乘272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念三. 线性组合, 线性表示 1. 设α1, …, αk ∈V(F), x1, …, xk ∈F, 则称 x1α1 + … + xkαk 为α1, …, αk的一个线性组合. 2. 设α1, …, αk, β ∈ V(F). 若∃ x1, …, xk ∈ F s.t. β = x1α1 +…+ xkαk 则称β能由向量组α1, …, αk线性表示. 3. 若β1, …, βl都能由α1, …, αk线性表示,则称向量组β1, …, βl能由α1, …, αk线性表 示.四. 形式矩阵 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). 1. 若α1 = β1, …, αk = βk , 则记(α1, …, αk) = (β1, …, βk). 2. 规定 (α1, …, αk) + (β1, …, βk) = (α1+β1, …, αk+βk). 3. 若a ∈F, 则规定 a(α1, …, αk) = (aα1, …, aαk).第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念4. 若x1, …, xk ∈F, 则记 x1α1 +…+ xkαk = (α1, …, αk) x1 . xk 5. 若A = (A1, …, As) ∈ Mk×s(F), 则规定 (α1, …, αk)A = ((α1, …, αk)A1, …, (α1, …, αk)As). …注: 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). a, b ∈ F, A, B ∈ Mk×s(F), C ∈ Ms×t(F). 记α = (α1, …, αk), β = (β1, …, βk), 则可以验证下列等式成立: ① a(α + β) = aα + aβ, ② (a+b)α = aα + bα, ③ a(bα) = (ab)α. ④ (α + β)A = αA + βA, ⑤ α(A+B) = αA + αB, ⑥ (αA)C = α(AC), ⑦ (aα)A = a(αA) = α(aA).第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念五. 线性空间的子空间 定义1.1.2 子空间, W ≤ V(F) 定理1.1.2. 设∅ ≠ W ⊆ V(F), 则 W ≤ V(F) ⇔ W关于的加法和数乘封闭. 注: V(F)的两个平凡的子空间. {θ}, V(F)六. 由子集合{α1, α2, …, αk}生成的子空间 {α1, α2, …, αk}——生成系, 生成元集i=1 k∑ xiαi —— α1, α2, …, αk的一个线性组合 组合系数 W = { ∑ xiαi | ∀xi∈ F}.k记为L[α1, α2, …, αk]或span{α1, α2, …, αk}.i=1272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换§1.2 基, 维数与坐标变换 一. 向量组的线性相关性 定义1.2.1 线性相关, 线性无关. 定理1.2.1 设(I) α1, α2, …, αs线性无关, 且能由 (II) β1, β2, …, βt线性表示, 则s ≤ t. 推论1 设(I)与(II)都线性无关, 且等价, 则s = t. 推论2 设(I)能由(II)线性表示, 且s > t, 则(I)必线性相关.二. 基、维数 定义1.2.2 基, 维数. 例子. 1. n. 2. [x], [x]n = {a0+a1x+…+an−1xn−1 | …}. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . 6. V = {θ}.+第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.2 若dimV = n, 则V中任意 n 个线性无 关的向量都构成V的一组基. 定理1.2.3 若W ≤ V, dimV = n, α1, …, αr 为W 的一组基, 则∃αr+1, …, αn∈ V 使得 α1, …, αr, αr+1, …, αn构成V的一组 基.三. 坐标 定义1.2.3 设α1, …, αn为V的一组基, ξ ∈ V. 若ξ = x1α1 + … + xnαn, 则称有序数组(x1, …, xn)为ξ在基 α1, …, αn下的坐标, (x1, …, xn)T称为ξ的坐标向量.第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.4 设α1, …, αn为V的一组基, (β1, …, βr) = (α1, …, αn)x11 … x1r x11 … x1r xn1 … xnr … …四. 坐标变换 V的两组基 , P, 可逆X=xn1 … xnr,p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnn 称P为从基α1, …, αn到β1, …, βn的过渡矩 阵.…则β1, …, βr线性无关 ⇔ 秩(X) = r.272365083@…3请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交四. 坐标变换 V的两组基 P, 可逆§1.3 子空间的和与交 一. 基本概念与结论 定义1.3.1 设V1, V2 ≤ V. V1与V2的和: V1 + V2 = {α1 + α2 | α1∈V1, α2∈V2}. V1与V2的交: V1∩V2 = {α∈V | α∈V1且α∈V2}. 定理1.3.1 V1, V2 ≤ V ⇒ V1 + V2, V1∩V2 ≤ V.p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnnξ = (α1, …, αn)X = (β1, …, βn)Y,(α1, …, αn)PY ⇒ X = PY, Y = P−1X. ——坐标变换公式 =第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交注: ① 子空间V1∩V2与集合V1∩V2是一致的. ② 一般情况下, V1+V2 ≠ V1∪V2. 例如V =3,zOV1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴.定理1.3.2 (维数定理) 设V1, V2是V的两个有限维子空间, 则 dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2). 证明: (关键步骤) y(1) 取V1∩V2的一组基α1, …, αr ; (2) 把α1, …, αr扩充成V1的一组基 α1, …, αr, βr+1, …, βs ; (3) 把α1, …, αr扩充成V2的一组基 α1, …, αr, γr+1, …, γt ; (4) 验证α1, …, αr, βr+1, …, βs, γr+1, …, γt 线性无关(从而构成V1+V2的一组基).x③ V1+V2 = V1∪V2 的充分必要条件是 V1⊆V2 或 V2⊆V1.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs+lr+1γr+1+…+ltγt = 0 ⇒ lr+1γr+1+…+ltγt = −k1α1−…−krαr−kr+1βr+1−…−ksβs ∈ V1∩V2 ⇒ ∃l1, …, lr s.t. lr+1γr+1+…+ltγt = l1α1+…+lrαr i.e. l1α1+…+lrαr −lr+1γr+1−…−ltγt = 0 ⇒ l1 = … = lr = lr+1 = … = lt = 0 ⇒ k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs = 0 ⇒ k1 = … = kr = kr+1 = … = ks = 0dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2) 例1(1) V = 3, V1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴, dimV1 = dimV2 = 2, dim(V1+V2) = 3, dim(V1∩V2) = 1. zOyx272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交例1(2) V = V2 =2×2,V1 =x y z tx = y ≤ V,例1(3) V = V2 =2×2,V1 =x −x y −yx, y ∈ ≤ V,≤ V,x y z tx + y + z = 0 ≤ V,x y z tx y x yx, y ∈0 0V1+V2 = ______. V1∩V2 =x=y且x+y+z=0 ,则 0 0 , 构成V1的一组基, 1 −11 0 0 1 , 构成V2的一组基, 1 0 0 11 −1dimV1 = dimV2 = 3, dim(V1∩V2) = 2, 故dim(V1+V2) = 3 + 3 − 2 = 4 = dimV, 可见V1+V2 = V.故dimV1 = dimV2 = 2.x −x y −y ∈V2 ⇔ x = y. x −x 故V1∩V2 = x −x x ∈.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交可见1 −1 构成V1∩V2的一组基, 1 −1dim(V1∩V2) = 1. 故dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1∩V2) = 2 + 2 − 1 = 3. 事实上,1 0 0 1 1 −1 0 0 , , 1 0 , 0 1 线性相关, 0 0 1 −1二. 子空间的直和 定义1.3.2 设V1, V2 ≤ V. 若对于∀α∈V1+V2, ∃| α1∈V1, α2∈V2, s.t. α = α1 + α2, 则称V1 + V2为V1与V2的直和, 记为V1⊕V2.其中任意3个都线性无关, 因而构成V1+V2的 一组基.α = α1 + α2, α1∈V1, α2∈V2 ⇒ α = β1 + β2, β1∈V1, β2∈V2 α1 = β1, α2 = β2.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.3 设V1, V2 ≤ V, 则下列条件等价: (1) V1 + V2是直和; (2) V1 + V2中0分解式唯一, 即 0 = α1+α2 (αi∈Vi) ⇒ α1 = α2 = 0; (3) V1∩V2 = {0}; 当dimV1, dimV2 < ∞时, 上述条件还等价于 (4) dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2.定理1.3.4 设V1 ≤ V, dimV = n, dimV1 = r, 则存在V的n−r维子空间V2使得 V = V1⊕V2. 定义1.3.3 设V1, …, Vs ≤ V, 则V1, …, Vs的和 V1 + … + Vs = {α1 +…+ αs | αi∈Vi}. 若对于∀α ∈ V1 + … + Vs , ∃| αi∈Vi (i = 1, …, s) s.t. α = α1 + … + αs , 则称V1 +…+ Vs为V1, …, Vs的直和, 记为V1⊕…⊕Vs .272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.5 设Vi ≤ V (i = 1, …, s), 则TFAE: (1) V1 + … + Vs是直和; (2) V1 + … + Vs中0分解式唯一; (3) Vk∩Σi≠kVi = {0}, k = 1, …, s; 当dimVi < ∞ (i = 1, …, s)时, 上述条件还等价于 (4) Σ dimVi = dim( Σ Vi).i=1 i=1 s s例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ Fn. (2) ∀α∈Fn, 有α = (α − Aα) + Aα, A(α − Aα) = Aα − A2α = 0, A(Aα) = A2α = Aα. 可见α ∈ V1+V2. 这就证明了Fn ⊆ V1+V2. 又因为V1+V2 ⊆ Fn, 所以Fn = V1+V2.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ (2) Fn = V1+V2. (3) 若α∈V1∩V2, 则α = Aα = 0. Fn. 可见V1∩V2 ⊆ {0}. 又因为{0} ⊆ V1∩V2, 所以V1∩V2 = {0}. 综上所述, Fn = V1⊕V2.§1.4 线性映射 一. 映射 定义1.4.1 像 原像 • • • 映射 • • • • • • 满射 • •第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • 单射 注:• • •• • • 双射• • •f:→; a → |a| ;a→ √a2(∀a∈ ) (∀a∈ )g: →f = g —— ∀a∈ , f(a) = g(a) 一般地, 若映射f, g: A → B满足 f(a) = g(a) (∀a∈A) 则称映射f与g相等, 记为f = g.• • •• • •• •• • •不是映射不是映射272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • • f • • •• • •• • • g • • • gf• • •注① 映射的复合运算满足结合律: f: A → B, g: B → C, h: C → D (hg)f = h(gf). A B f b• g C c• h D d•• • •a•[(hg)f](a) = (hg)[f(a)] = (hg)(b) = h[g(b)] = h{g[f(a)]} = h[(gf)(a)] = [h(gf)](a)f: A → B与g: B → C的乘积 gf: A → C定义为 ( gf )(a) = g[ f(a)] (∀a∈A).第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② 1A: A → A, f: A → B, 1B: B → B f⋅1A = f, A a• 1A A a• f 1B⋅f = f. B b• 1B B b• • • • 双射f • • • • • • • • •f的逆映射( f⋅1A)(a) = f [1A(a)] = f(a) (1B⋅f )(a) = 1B[ f(a)] = f(a)若映射f: A → B, g: B → A满足 gf = 1A, fg = 1B, 则称g为f 的逆映射, 记为g = f −1. 注① g = f −1 ⇒ f = g−1. 注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇒) 设f: A → B有逆映射g: B → A, 则 (1) ∀x, y ∈ A, 由 f(x) = f(y)可得 x = 1A(x) = gf(x) = gf(y) = 1A(y) = y. 可见 f: A → B为单射. (2) ∀b ∈ B, ∃a = g(b) ∈ A s.t. f(a) = f[g(b)] = fg(b) = 1B(b) = b. 可见 f: A → B为满射. 所以 f: A → B为双射.注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇐) 设 f: A → B为双射, 则 ∀b ∈ B, ∃| a ∈ A s.t. f(a) = b. 令g(b) = a, 可得 映射g: B → A. 而且 (1) ∀b ∈ B, 有 fg(b) = f[g(b)] = f(a) = b. 这就是说, fg = 1B. (2) ∀a ∈ A, 令b = f(a) ∈ B, 按g的定义, gf(a) = g[ f(a)] = g(b) = a. 这就是说, gf = 1A, 可见 f: A → B有逆映射g: B → A.272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射例1. 设A为数域F上的n阶方阵, Fn = {(a1, …, an)T | a1, …, an∈F}. 映射f: Fn→ Fn定义为 f(x) = Ax. 证明下列条件等价: (1) f: Fn→ Fn为单射; (2) f: Fn→ Fn为满射; (3) A可逆.证明: (1)⇒(3) 假设A不可逆, 则|A| = 0, 故r(A) < n, 因而Ax = 0有非零解, 即存在x ≠ 0使得Ax = 0, 于是f(x) = Ax = 0 = A0 = f(0). 这与“f: F n→ F n为单射”矛盾. 所以A可逆. (3)⇒(1) 对于任意的x, y ∈ F n, 若f(x) = f(y), 即Ax = Ay, 因为A可逆, 所以x = A−1Ax = A−1Ay = y. 可见 f: F n→ F n为单射.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射证明: (2)⇒(3) 因为f: F n→ F n是满射, 所以存在n阶方阵B = (ξ1, …, ξn)使得 AB = (Aξ1, …, Aξn) = ( f(ξ1), ..., f(ξn)) = (e1, …, en) = I. 从而|A|×|B| = |AB| = |I| = 1, 故|A| ≠ 0, 因而A可逆. (3)⇒(2) 对于任意的y ∈ F n, 令x = A−1y, 则x ∈ F n, 而且f(x) = Ax = AA−1y = y. 可见f: F n→ F n为满射.二. 线性映射与线性变换 定义1.4.2 设U, V为数域F上的线性空间. 若映射 f: V → U保持加法和数乘, 即 f(α+β) = f(α) + f(β), f(kα) = kf(α), ∀α, β ∈ V, k ∈ F, 则称 f 为线性映射. 特别地, 当U = V时, 称线性映射 f: V → V为V上的线性变换. 注① f(kα+lβ) = kf(α) + lf(β), ∀α, β ∈ V, k ∈ F.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② Hom(V, U) = { f: V → U | f为线性映射}. 注③ 若 f ∈ Hom(V, U), 则 f(0V) = 0U; f(−α) = −f(α); f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs); α1, …, αs线性相关 ⇒ f(α1), …, f(αs)线性相关. 注④ 若 f: V → U 满足 f(α) = 0, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, U), 称为零映射, 记为0.注⑤ 若 f: V → V 满足 f(α) = α, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, V), 称为V上的恒等变换, 记为 I 或 IdV . 注⑥ 对于 f ∈ Hom(V, U), 可以把 ( f(α1), …, f(αs))记为f(α1, …, αs). 相应地, 可以把 f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs) 改写成 ( α1, ), …, f(α f((α1, …, αs)X) = f(f(α1…, αs)X. s))X272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射三. 线性映射的运算 定义1.4.3 (1) 线性运算 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F. 定义 ( f + g)(α) = f(α) + g(α), (kf )(α) = kf(α), ∀α∈V. (2) 复合运算 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W). 定义 (gf )(α) = g[ f(α)], ∀α∈V.注: 对于V上的线性变换 f 及正整数s, 定义 f 0 = I, f 1 = f, f 2 = ff, …, f s = ff s−1. 定理1.4.1(1) 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F, 则 f + g, kf ∈ Hom(V, U). (2) 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W), 则 gf∈ Hom(V, W). 证明: (2) (gf )(kα+lβ) = g[ f(kα+lβ)] = g[kf(α) + lf(β)] = kg[ f(α)] + lg[ f(β)] = k(gf )(α) + l(gf )(β).第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.4.2 设 f ∈ Hom(V, U). 若 f 可逆, 则 f −1 ∈ Hom(U, V). 证明: ∀ξ, η ∈ U, k, l ∈ F, 令α = f −1(ξ ), β = f −1(η)∈ V, 则 f [ f −1(kξ + lη)] = kξ + lη = kf(α) + lf(β) = f(kα + lβ), 故 f −1(kξ + lη) = kα + lβ = kf −1(ξ ) + lf −1(η).§1.5 线性映射的矩阵 一. 线性映射在给定的基偶下的矩阵 设α1, …, αn为V的一组基, β1, …, βs为U的一组基, f ∈ Hom(V, U), 则存在A = (aij)s×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (β1, …, βs)a11 … a1n as1 … asn,简记为 f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 称为 f 在基偶{α1, …, αn}与{β1, …, βs}下 的矩阵表示. A —— f 在基偶…下的矩阵.……第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵特别地, 设α1, …, αn为V的一组基, f ∈ Hom(V, V), 则存在A = (aij)n×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (α1, …, αn)a11 … a1n an1 … ann注① 零映射在任意基偶下的矩阵都是O; 恒等变换在任一组基下的矩阵都是I. 注② 设α1, …, αn为V的一组基, ,…简记为 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A. 称为 f 在基{α1, …, αn}下的矩阵表示. A —— f 在基{α1, …, αn}下的矩阵.…β1, …, βs为U的一组基, f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 若ξ = x1α1 + … + xnαn = (α1, …, αn)X, 则 f(ξ) = f(x1α1 + … + xnαn) = x1 f(α1) + … + xn f(αn) = ( f(α1), …, f(αn))X = f(α1, …, αn)X = (β1, …, βs)AX.272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例2. 在 [x]n中, D[p(x)] = p′(x), D(1, x, x2, …, xn−2, xn−1)0 0 0 . 0 … 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 … 2, …, xn−2, xn−1) 0 0 0 = (1, x, x n−2 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 … … …例3. D: [x]n → D(1, x, x2,[x]n−1, D[p(x)] = p′(x), …, xn−2, xn−1)0 0 0 . …0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 = (1, x, x2, …, xn−2) 0 0 0 … … … ……n−1…0 0 0 … 0 n−1n−2例4. 设A ∈F s×n, f: F n → F s, f(X) = AX. f(e1, …, en) = (Ae1, …, Aen) = AIn = A = IsA = (ε1, …, εs)A.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵二. 线性映射在两对基偶下的矩阵间的联系 定理1.5.1 设 f ∈ Hom(V, U), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P; U的一组基ξ1, …, ξs到另一组基 η1, …, ηs的过渡矩阵为Q. 若 f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A, f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B, 则B = Q−1AP.证明: (β1, …, βn) = (α1, …, αn)P (η1, …, ηs) = (ξ1, …, ξs)Q f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B⇒(ξ1, …, ξs)AP = f(α1, …, αn)P = f((α1, …, αn)P) = f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B = (ξ1, …, ξs)QB ⇒ AP = QB ⇒ B = Q−1AP.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.5.2 设 f ∈ Hom(V, V), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P. 若 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A, f(β1, …, βn) = (β1, …, βn)B, 则B = P−1AP.三. 线性变换运算的矩阵 设V的一组基为α1, …, αn , 线性变换 f: V→V在这组基下的矩阵记为 [ f ]. 定理1.5.3 设 f, g ∈ Hom(V, V), k ∈ F, 则 (1) [ f + g] = [ f ] + [g]. (2) [kf ] = k[ f ]. (3) [ fg] = [ f ][g]. (4) f 可逆⇒[ f −1] = [ f ]−1.272365083@10请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (1)( f + g)(α1, …, αn) = (( f + g)(α1), …, ( f + g)(αn)) = ( f(α1)+g(α1), …, f(αn)+g(αn)) = ( f(α1), …, f(αn)) + (g(α1), …, g(αn)) = f(α1, …, αn) + g(α1, …, αn) = (α1, …, αn)[ f ] + (α1, …, αn)[g] = (α1, …, αn){[ f ]+[g]}.证明: (2)(kf )(α1, …, αn) = ((kf )(α1), …, (kf )(αn)) = (kf(α1), …, kf(αn)) = k( f(α1), …, f(αn)) = kf(α1, …, αn) = k{(α1, …, αn)[ f ]} = (α1, …, αn){k[ f ]}.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (3)( fg)(α1, …, αn) = (( fg)(α1), …, ( fg)(αn)) = ( f(g(α1)), …, f(g(αn))) = f(g(α1), …, g(αn)) = f(g(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)[g]) = f(α1, …, αn)[g] = ((α1, …, αn)[ f ])[g] = (α1, …, αn)([ f ][g]).证明: (4) 设[ f −1] = B, 即 f −1(α1, …, αn) = (α1, …, αn)B, 则(α1, …, αn) = ( ff −1)(α1, …, αn) = f( f −1(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)B) = f(α1, …, αn)B = ((α1, …, αn)[ f ])B = (α1, …, αn)([ f ]B), 由此可得[ f ]B = I, 因而[ f −1] = B = [ f ]−1.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例5. 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I. 证明: [ f ]相似于 Ir O (0 ≤ r ≤ n). O −In−r证明: 令V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α}, 则V1, V2 ≤ V 且V1∩V2 = {0}. 1 1 ∀α∈V, 令β = −(α +f(α)), γ = −(α −f(α)), 2 2 则由f 2 = I 可得 f(β) = β, f(γ) = γ, 故β ∈V1, γ ∈V2, α = β + γ ∈V1 + V2. 可见V1 + V2 ⊆ V ⊆ V1 + V2.因而V = V1 + V2 = V1⊕V2 . 设V1的一组基为α1, …, αr , V2的一组基为βr+1, …, βn , f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩阵为 Ir O . O −In−r 由定理1.5.2可知, [ f ]相似于 Ir O . O −In−r272365083@11请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵四. 不变子空间 定义1.5.1 设 f ∈ Hom(V, V), W ≤ V. 若∀α∈W, 有 f(α)∈W, 则称W为V的关于 f 的不变子空间, 简称为 f 的不变子空间. 此时, 定义 f |W: W → W; α → f(α), 则 f |W ∈ Hom(W, W), 称为f 在W上 的限制.例如: ① 例5中, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I, 则 V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α} 都是 f 的不变子空间. ② ∀ f ∈ Hom(V, V), {0}和V都是 f 的不变子空间.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核注: 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), V = U⊕W, 其中U, W都是 f 的不变子空间, U的一组基为α1, …, αr , W的一组基为βr+1, …, βn , 则 f |U(βi) = 0, i = r+1, …, n, f |W(αi) = 0, i = 1, …, r. 设 f |U在U的基α1, …, αr下的矩阵为A, f |W在W的基βr+1, …, βn下的矩阵为B, 则 f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩 A O 阵为 O B .§1.6 线性映射的值域与核 一. 定义 设 f ∈ Hom(V, U), 则称 f(V) = { f(α) |α∈V}为 f 的值域, 记为R( f ); 称K( f ) = {α∈V | f(α) = 0}为 f 的核. VK( f )U f → f(V) 0U第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核二. 性质 定理1.6.1 设 f ∈ Hom(V, U), 则 (1) R( f ) ≤ U. (2) K( f ) ≤ V. (3) 当U = V时, R( f )和K( f )都是 f 的不变子空间. VK( f )U f → f(V) 0U例1. 设A ∈ Fs×n, f: Fn→ Fs定义为 f(X) = AX. 则R( f ) = {AX | X ∈ Fn} ≤ Fs, 这是A的列空间, 也称为A的值域, 记为R(A); K( f ) = {X ∈ Fn | AX = 0}, 这是AX = 0的解空间, 也称为A的核, 记为K(A).272365083@12请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核定理1.6.2 设 f ∈ Hom(V, U), dimV < ∞, 则 dimR( f ) + dimK( f ) = dimV. VK( f )U f → f(V) 0U ...... ...证明: 设α1, …, αk为K( f )的一组基, α1, …, αk, αk+1, …, αn为V的一组基, 则R( f ) = span{ f(αi) | i = 1, …, n} = span{ f(αi) | i = k+1, …, n}. 若ck+1 f(αk+1) + … + cn f(αn) = 0, 则 f(ck+1αk+1 + … + cnαn) = 0, 即ck+1αk+1 + … + cnαn ∈ K( f ), 故存在c1, …, ck使得 ck+1αk+1 + … + cnαn = c1α1 + … + ckαk , 即c1α1 + … + ckαk − ck+1αk+1 − … − cnαn = 0, 由此可得ck+1 = … = cn = 0. 可见 f(αk+1), …, f(αn) 线性无关, 故dimR( f ) + dimK( f ) = dimV.第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例2. 设A = 1 1 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E21) = E11 + E21, f(E12) = f(E22) = E12 + E22, 且E11 + E21, E12 + E22线性无关, 因此, E11 + E21, E12 + E22构成R( f )的一组 基.1 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x1 + x3 = x2 + x4 = 0 ⇔ X = x1(E11 − E21) + x2(E12 − E22). 又因为E11 − E21, E12 − E22线性无关, 可见E11 − E21, E12 − E22构成K( f )的一组基. (E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 0 1 0x x= (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 ,1 0 −1 0 0 1 0 −1第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核(E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 = (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 0 1 0 0 其中r 0 1 −1 1 = 4. 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 1 , 0 −1故E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22线性 无关, 因而R( f ) + K( f )为直和.事实上, 若B ∈ R( f ) ∩ K( f ), 则存在X∈ 2×2 使得B = AX, 而且AB = O. 于是可得 2AX = A2X = A(AX) = AB = O, 故B = AX = O. 可见R( f ) ∩ K( f ) = {O}, 因此R( f ) + K( f )为直和.272365083@13请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例3. 设A = 0 0 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E12) = O, f(E21) = E11, f(E22) = E12, 且 E11, E12 线性无关, 因此, E11, E12构成R( f )的一组基.0 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x3 = x4 = 0 ⇔ X = x1E11 + x2E12. 又因为E11, E12 线性无关, 可见E11, E12构成K( f )的一组基. 因为R( f ) = span{E11, E12} = K( f ), 因此R( f ) + K( f )不是直和.x x第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子§1.7 几何空间线性变换的例子 一. 辐射相似变换 f:3二. 平行于某矢量的投影变换 对于任意的OP ∈P e23,e3→3OP → kOP (k > 0).设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3, 令 f(OP) = x1e1 + x2e2, 则 f ∈ Hom(3, 3),e3 P O e1 1 0 0 0 0 0 e2O e1f在3的任意一组基下的矩阵都是kI.OP − f(OP) // e3,→ 0<k<1 压缩→ k>1 放大f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 , R( f ) = span{e1, e2}, K( f ) = span{e3}.第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子三. 平行于某一方向的压缩(或延伸) 对于任意的OP ∈3,四. 平行于某一方向的推移 对于任意的OP ∈P e23,e3e3P e2设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,f(OP) = x1e1 + x2e2 + ax3e3, O (a > 0).e13, 3),设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,O e1f(OP) = (x1+ax2)e1 + x2e2 + x3e3, (a ≠ 0). 则 f ∈ Hom(3, 3),则 f ∈ Hom(OP − f(OP) // e3,1 0 0 0 0 a→OP − f(OP) // e1, f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .0 0 1 1 a 0f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .272365083@14请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子五. 旋转变换 见下一章. 六. 镜像变换 见下一章.平面上的例子:0 • 7 • 5 7 0 • 7 • 5 6• 0 5 x 7 0 y5 0 1 0 −0.2 1 0 5 x 7 0 y • 5 −1第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子平面上的例子:平面上的例子:β αAβ = 0.5β2 0 A = 0 0.5β αcosφ sinφ B = −sinφ cosφ π/6Aα = 2 α第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构平面上的例子: Cβ = β§1.8 线性空间的同构 一. 定义 设V, U都是数域F上的线性空间. 若∃双射σ∈ Hom(V, U), 则称V与U同构, 记为V ≅ U. 并且称σ为V到U的一个同构映射.βCα = − αα0 C = −1 1 0272365083@15请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构→二. 性质 定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇒) 设α1, …, αk线性无关, 则 c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = 0 ⇒ σ(c1α1 + … + ckαk) = 0 = σ(0) ⇒ c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见σ(α1), …, σ(αk)线性无关.→→第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构二. 性质 定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇐) 设σ(α1), …, σ(αk)线性无关, 则 c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = σ(c1α1 + … + ckαk) = σ(0) = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见α1, …, αk线性无关.三. 判定 定理1.8.2 设V与U是数域F上的有限维线性空 间, 则V ≅ U ⇔ dimV = dimU. 证明: (⇒) 设σ为V到U的一个同构映射, 则R(σ) = U, K(σ) = {0}. 故dimV = dimR(σ) + dimK(σ) = dimU.第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(⇐) 设dimV = dimU = n, α1, …, αn为V的一组基, ξ1, …, ξn为U的一组基. 对于任意的α = a1α1 + … + anαn ∈ V, 令σ(α) = a1ξ1 + … + anξn, 则 (1) σ : V → U为单射. 事实上, … (2) σ : V → U为单射. 事实上, … (3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, … 故V ≅ U.(1) σ : V → U为单射. 事实上, 若α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, 且σ(α) = σ(β), 则 a1ξ1 + … + anξn = b1ξ1 + … + bnξn, 故(a1−b1)ξ1 + … + (an−bn)ξn = 0, 由此可得 a1−b1 = … = an−bn = 0, 即(a1, …, an) = (b1, …, bn), 因而α = a1α1 +…+ anαn = b1α1 +…+ bnαn = β.272365083@16请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(2) σ : V → U为满射. 事实上, ∀ξ∈U, 设ξ = a1ξ1 + … + anξn, 于是令α = a1α1 +…+ anαn, 则α ∈ V 且σ(α) = a1ξ1 + … + anξn = ξ.(3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, ∀α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, k, l ∈ F, 有 σ(kα + lβ) = σ((ka1+ lb1)α1 +…+ (kan+ lbn)αn) = (ka1+ lb1)ξ1 + … + (kan+ lbn)ξn = k(a1ξ1 +…+ anξn) + l(b1ξ1 +…+ bnξn) = kσ(α) + lσ(β).第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构四. 例子 1. [x]n = {a0+…+an−1xn−1 | a0, …, an−1x∈ }. dim [x]n = n = dim 事实上, 容易验证n,2. dimM2×3( ) = 6, 故M2×3( ) ≅ 事实上, 容易验证6.故 [x]n ≅n;n.σ : M2×3( ) →a11 a12 a13 a21 a22 a236;σ : [x]n →a0+…+an−1xn−1 → 为同构映射.a0 an−1 …a11 a12 a → a13 21 a22 a23为同构映射.第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构3.= {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . dim + = 1, 故 + ≅ . 事实上, 容易验证 → ; x → logax++为同构映射.272365083@17。
第1章 线性空间与线性变换讲义
a + b = ( x 1 + y1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) T
定义数乘：
ka = ( kx1 , kx 2 , , kx n ) T ,
R n 是数域 R 上的线性空间。 C n 是数域 C 上的线性空间。
4
例2 实数域 R上的全体 m×n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n
定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a, b, g V, 对于任意的a, b V, 总有唯一的元素 g V
与之对应，称 g 为a 与b 的和，记作 g =a +b，且
(1) a + b = b + a ;
( 2 ) (a + b ) + g = a + ( b + g );
( 3) 存在零元素： b V , a V , a + b = a， 称 b 为零元素， 并记 b 为 0 ; ( 4) 存在负元素 a V , b V， a + b = 0; 称 b 为 a 的负元素， 并记 b 为 - a ;
(1) a , b W , 则a + b W (2) a W , k F , 则 ka W
则称W 是V 的子空间。
21
例1. 实数域上 n 维向量的集合
W = { ( 0, x 2 , , x n ) T | x 2 , , x n R }
则 W是 R n 的 子 空 间 。
则 P 称为由基 a 1 , a 2 , , a n 到基 b 1 , b 2 , , b n 的 转移矩阵（或过渡矩阵），其中
p11 p21 P= p n1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
矩阵论第一章线性空间和线性变换
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
第一章线性空间与线性变换第二节1
是T在基偶 {Bα , Bβ }、{Bα′, Bβ′}下的矩阵，那么由关系式
Bα′ = Bα P, Bβ ′ = Bβ Q,
TBα = Bβ A, TBα′ = Bβ′B 可以推出，
Bβ AP = Bβ QB, Bβ ( AP − QB) = O.
t 3 ] = [1 t
t2
⎡0 0 0⎤
t 3 ] ⎢⎢1
0
0
⎥ ⎥
23
2 3 ⎢0 1 0 ⎥
⎢⎣0
0
1
⎥ ⎦
有了T的矩阵表示，那么 V n 中任一向量的像
就可以确定了，事实上, α ∈ V n可由 Bα线性表示
n
n
∑ 出：α = xiαi，从而Tα = ∑ xiTαi , 即若
i =1
i −1
这表明方阵B，A是相似的。
于是，V n到V m 的一个线性变换T在不同基偶下
的矩阵是相抵关系的，而 V n 的线性变换T在不同
基下的矩阵是相似关系。
从而，第二个问题也就等价于：与A相抵的所 有矩阵中最简矩阵是什么？与方阵A相似的所有方 阵中最简矩阵是什么.
定义 设 T 是V n到V m的线性变换，集
α = Bα x,则Tα = TBα x.
由（1.2-1）式得
Tα = TBa x = Bβ Ax.
（1.2-2）
这就是说，若x是a在 Ba 下的坐标向量，那么其像
Tα在 Bβ 下的坐标向量是 Ax.
从上述讨论可知，取定基偶 {Bα , Bβ } 后，线性
变换T有唯一的矩阵表示，即得到T在此基偶下的 矩阵A，反过来 ，给定 m × n 矩阵A，是否存在唯 一的线性变换T，它在基偶{Bα , Bβ } 下的矩阵是A
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
第1,2章 线性空间与线性变换
§1·4 线性变换(Linear Transformations)
一、 线性变换的概念
1. 线性变换的来历；
Definition： （i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有线性性：
T（＋）=T（）＋T（）
(保持加法的三角形法则)
T（k）=kT（ ）
(保持比例关系)
2 线性变换的性质：
2 坐标变换公式
已知 ➢空间中两组基：
{1, 2,..., n} {1, 2 ,..., n}
满足:(1, 2 ,..., n ) (1,2 ,..., n )Cnn
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
讨论X和Y的关系
X=CY
例 已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3
Rmn ；Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵
第1章 线性空间与线性变换
所以 {e x , e 2x , e3x , , e nx }线性无关 .
二、线性空间的基和维数
• 基与维数的概念：
定义1.2 设V是线性空间 , 若存在一组线性无关的 向量
1 , 2 ,, n , 使得空间中任一向量可 由它们线性表出 , 则称向量组 {1 , 2 ,, n }为V的一组基.基所含向量个数
因此R 22中任何一个向量都可以 写成向量组 0 0 0 , E 22 0 1 0 k1 k 2 的线性组合 .又k1 E11 k 2 E12 k3 E21 k 4 E22 k 0, k 4 3 得ki 0, i 1,2,3,4, 故E11 , E12 , E21 , E22 线性无关, 因此{E11 , E12 , E21 , E22 }是R 22的一组基, dim R 22 4. 推广 : {Eij , i 1,2, , m; j 1,2, , n}是矩阵空间 R mn的一组基, dim R mn m n 问题 : 矩阵空间R nn : A A T R nn的维数和基?
11
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n n } 是空间 xi i ，则 Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = i 1 x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关
坐标的表达形式
例1：求 R22中向量
– V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 – 只研究有限维线性空间。
二、线性空间的基和维数
例5 : 求矩阵空间 R 22的维数与一组基 . a 11 解 : 任取矩阵A a 21 1 0 0 A a11 a 12 0 0 0 1 E11 0 0 0 , E 12 0 0 a 12 , 有 a 22 1 0 a 21 1 0 1 0 , E 21 1 0 0 0 a 22 0 0 0 , 1
第一章线性空间与线性变换4-7
下证唯一性 T 设有V1到V2 上的线性映射 T1， 2 使得 T1 (α 1， 2， ， n ) = ( β 1， 2， ， m ) A， α Lα β L β
T2 (α 1， 2， ， n ) = ( β 1， 2， ， m ) A α Lα β L β ⇒ T1 (α 1， 2， ， n ) = T2 (α 1， 2， ， n )， α Lα α Lα 任取α ∈ V1 且α = (α 1， 2， ， n ) X，则 α Lα T1 (α ) = T1 [(α 1， 2， ， n ) X ] = [T1 (α 1， 2， ， n )] X α Lα α Lα = [T2 (α 1， 2， ， n )] X = T2 [(α 1， 2， ， n ) X ] = T2 (α )， α Lα α Lα ⇒ T1 = T2，故唯一性成立 .
一 第 章线 空 和 性 换 性 间 线 变
第四节 线性映射
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一、线性映射 1、定义：设V1， 2为线性空间，若映射 T : V1 → V2 满足： 定义： V 为线性空间， 满足： ∀α，β ∈ V1，λ ∈ F，有 (1)T (α + β ) = T (α ) + T ( β )； ( 2)T (λα ) = λT (α ). 的线性映射， 称为原像， 则称T为V1到V2的线性映射， 其中α称为原像，T (α )称为α的像 . 例1、定义T : V → V如下T (α ) = α， T为线性映射， 则 为线性映射， 记为T = E . 称为恒等映射或恒等变 换 例 2、定义T : V1 → V2如下T (α ) = 0， T为线性映射， 则 为线性映射， 记为 T = O . 称为零映射 例 3、设A = (aij ) m×n，定义T : R n → R m 如下T (α ) = Aα， T 则
第1章-2 线性空间与线性变换
(V1 + V2 ) + V3 = V1 + (V2 + V3 )
根据归纳法可知， 间。
V
i =1
m
i
和
V
i =1
n
i
都是 V 的子空
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例 7
设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，且
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例 8
设
α 1 = (2,1, 3,1)T , α 2 = ( −1,1, −3,1)T ,
这并不是偶然的。 定理1.2.5 定理 1.2.5 （维数公式）设 V1 , V2 是数域 F 上线 性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和 都是有限维的，并且
dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ) − dim(V1 V2 ).
令 dim(V1 ) = s,dim(V2 ) = t ,dim(V1 V2 ) = r .
显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。
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推论1.2.1 推论 1.2.1 设 V1 ,V2 是数域 F 上的线性空间 V 的 两个子空间，则下列命题是等价的： （1） V1 +V2 是直和； （2） dim(V + V ) = dim(V ) + dim(V ) ； 1 2 1 2 （3） 和 V1 +V2 中零向量的表示法唯一，即若 则 α 1 =α 2 = θ .
V1 + V2 ≡ { α 1 + α 2 | α 1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 }
也是 V 的子空间。 为什么要研究子空间的和？
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矩阵分析简明教程
第一章线性空间与线性变换
第⼀章线性空间与线性变换第⼀章线性空间和线性变换§1.1线性空间集合v 集合:作为整体看的⼀堆东西元素?⼦集Sa ?21S S ì?集合相等运算交并和122121S S S S S S ìì?=且21S S I 21S S U },|{2121S y S x y x S S ??+=+数域v数域: 如果⼀个数集中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在该数集中v常⽤数域有：有理数域、实数域、复数域v奇数集和偶数集不能形成数域映射v映射：集合S到集合S’的⼀个映射是指⼀个法则(规则)f: S →S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a’与之对应，记为：f(a)=a’或a→a’。
⼀般称a’为a的象，a为a’的原象。
v若S =S’，则称映射为变换。
v映射的相等：设有两个映射f: S →S’和g: S →S’，若对任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。
映射的例⼦v例⼦1：设集合S是数域F上所有⽅阵的集合，则f(A)=det(A)为S到F的映射。
v例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。
映射的乘积v映射的乘积(复合)：若f : S1→S2 和g: S 2→S3，则映射的乘积g○f定义为：g○f(a)=g(f(a))。
v在不⾄混淆的情况下，简记g ○f为gfv映射的乘积满⾜结合律,即(fg)h=f(gh)v映射的乘积不满⾜交换律,⼀般⽽⾔fg≠gf线性空间的定义v定义：设V是⼀个⾮空的集合，K是⼀个数域，在集合V 中定义两种封闭的代数运算, ⼀种是加法运算，⽤+ 来表⽰，另⼀种是数乘运算, ⽤?来表⽰, 并且这两种运算满⾜下列⼋条运算律：（1）加法交换律：α+β= β+α（2）加法结合律：(α+β)+γ= α+(β+γ)（3）零元素：在V中存在⼀个元素0，使得对于任意的α∈V 都有α+0 =α（4）负元素:对于V中的任意元素α都存在⼀个元素β使得：α+β= 0线性空间的定义（续）（5）数1：对α∈V，有：1?α=α（6）结合律:对k,l∈K, α∈V有：(kl) ?α= k?(l?α)（7）分配律:对k,l∈K, α∈V有：(k+l) ?α= k?α+l?α（8）数因⼦分配律:对k∈K, α, β∈V有：k?(α+β)= k?α+k?β称这样的集合V为数域K上的线性空间。
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-子空间与维数定理、线性空间的同构
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
子空间举例
零子空间{0}与线性空间V 本身称为平凡子空间.
例1 线性空间V 的子集：(1,2 ,,m V )
m
L(1,2 ,,m ) { | kii , ki P} i 1
是V的子空间，称为由
称为子空间 V1 与 V2 的交；
（2）集合 V1 V2 { | V1, V2 }
称为子空间 V1 与 V2 的和；
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
定理1-3：线性空间V 的两个子空间V1与V2的 交W=V1∩V2也是V 的子空间.
证 (1) W 是非空集合， 0 W ；
生成的子空间.
例2 在n维线性空间V=Pn 中，子集
W { | A 0, Pn}
是V 的一个n-r 维子空间，r是的ຫໍສະໝຸດ .目录 上页 下页 返回 结束
第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
二、子空间的运算
定义：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则
（1）集合 V1 V2 { | V1且 V2 }
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
推论：若n维线性空间V 的两个子空间的维数之和
大于n，则其交V1∩V2必含非零向量. dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
定义1-5：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间， 若和 W V1 V2 具有性质：
（4） dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) .
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第一章 线性空间与线性变换
xi ∈ P
(1.1.4)
称 x = (x1 , x2 ,L, xn ) T 是向量 α 在基 S 下的坐标， 且 x ∈ P.n
定理1 定理1.1.2 在 n 维线性空间 Vn 中，任一向量 在一个基下的坐标唯一.
V 这说明，当线性空间 Vn 的基 S 取定后， n 中任一
个向量的坐标是确定的,即假设 S = {α 1 ,α 2 ,L,α n }
定义1 定义1.2.2 如果 V1 + V2 中任一向量只能唯 一的表示成子空间 V1 的一个向量和子空间 V2 中的一个向量的和，则称 V1 + V2 是 V1 ,V2 • 的直和，记为 V1 ⊕ V2（或 V 1 + V 2 ）.
S 是线性无关向量组；
V
中任一向量都是 S 中向量的线性组合.
V
α 称 S 是 V 的一个基（底）， 1 ,α 2 ,L ,α n 称为V 的基
向量， S 中向量的个数 n ，称为线性空间 数,记为 dim(V ) = n。
的维
维数是 n 的线性空间 V 称为 n 维线性空间， 记为Vn . 假如 V 中存在任意多个线性无关的向量 时，称 V 为无限维线性空间. 如果 注： 定义1.1.3描述的基在线性空间中不唯一.
图1.2.1
图1.2.2
由于零子空间不含线性无关的向量，因此 没有基，它的维数规定为零。而对于 V 的其它 的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可 能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所 以子空间的维数比原空间的维数小，即
dim(W ) ≤ dim(V )
下面讨论子空间的生成问题。
设 S = {α 1 ,α 2 ,L,α m } 是数域 P上的线性空间 V 中的一 个向量组，在 P 中任取 m 个数 k1 , k 2 , L, k m ， 做 S 中向 量的线性组合
第1章线性空间与线性变换
1.3线性子空间
定义1.3.2 设 1 , 2 ,, r 是数域K上线性空间V中的一组 向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 记为 span1 , 2 ,, r 。 定理1.3.2 span1 , 2 ,, r 是线性空间V的一个子空 间，称为由向量组 1 , 2 ,, r 生成的子空间。 定理1.3.3 两个不同向量组生成相同线性子空间的充要 条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向 量组的秩。 证明： ① 生成相同线性子空间→两向量组是等价的 1, 2 ,, s 两个向量组，如果 设 1, 2 ,, r
1.1线性空间的定义与性质
1.2线性空间的基与坐标
• 零空间---θ={0} • 问题： ① 一般线性空间有无穷多个元素组成，能否找到有 限个向量使得线性空间中的任意一个向量都可以 用这有限个向量表示？ ② 线性空间中的向量是抽象的，能否把向量与数域K 上的数组联系起来，将向量的线性运算转化为数 域K上数组的运算？
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
A是可逆矩阵？
1.2线性空间的基与坐标
北京科技大学
第一章 线性空间与线性变换
2012年11月4日
本章的主要内容
• 线性空间
– – – – – – – – 1.1 线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标 1.3 线性子空间 1.4 线性空间的同构 1.5 线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核 1.7 不变子空间 1.8 特征值与特征向量
矩阵分析第章线性空间与线性变换概述
1
(f,g) f(x)g(x)dx 1
求 R [ x ]4 的一组标准正交基．
(由基 1,x,x2,x3 出发作正交化)
解: 取 1 1 , 2 x , 3 x 2 , 4 x 3
1 o 正交化
111
2 2((21,,11))1
Q(2,1) 11xdx0, 22x
33(( 3 1,, 1 1))1(( 3 2,, 2 2))2
第2章 线性空间与线性变换
主要内容： 2.1 线性空间 2.2 子空间、子空间的直和 2.3 线性变换及其矩阵表示 2.4 欧氏空间 2.5 标准正交基、子空间的正交关系 2.6 正交变换 2.7 酉空间简介
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵 四、正交子空间 五、子空间的正交补
Q(3,1) 11x2dx2 3,
(1,1)
1
dx2,
1
(3,2) 11x3dx0,
332 2 3102x21 3
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
44 ( (4 1 ,,1 1 ) )1 ( (4 2 ,,2 2 ) )2 ( (4 3 ,,
3 ) 3 )3
Q(4,1) 11x3dx0,
n
(ii) (, )x 1y 1x 2y 2 L x n y n x iy i (3)
i 1
这里
x 1 1 x 2 2 L x n n ，
y 1 1 y 2 2 L y n n .
(iii) || x12Lxn2
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
例如： R 3 中 1 ( 1 ,1 ,0 ) , 2 ( 1 ,0 ,1 )线性无关．
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1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi ∈R} ={x= ={空间中所有向量} ={空间中所有向量 空间中所有向量}
二、向量组的探讨 （Review)
向量组的极大线性无关组： 向量组的极大线性无关组： 为向量组A α1，α2，…，αs为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由α 任意A的向量可以由α1，α2，…，αs线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)： 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数
定义向量的加法，数与向量的乘积。 定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间 Definition:(线性空间或向量空间view)
向量的线性相关与线性无关： 向量的线性相关与线性无关：
向量β可由α 向量β可由α1，α2，…，αs线性表示;（其工作可由多人 线性表示; 合力完成） 合力完成） 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 ⇔ 任何一个向量不能由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 只有系数都为0 要使k 只有系数都为0 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性相关 ⇔ 其中一个向量可以由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 必须有非零系数 要使k
四、坐标
坐标的来历： 是空间V 坐标的来历：设{α1，α2，…，α n } 是空间V的一 组基， 可以由基α 组基， ∀β ∈V, β可以由基α1，α2，…，α n唯一 线性表示 β=x1α1+x2α2+…+xnα n 在基{ 下的坐标。 则x1 ，x2， …， xn 是β在基{αi}下的坐标。
要点： 坐标与基有关 要点： 坐标的表达形式
1 基变换公式 {α1 , α 2 ,..., α n } 设空间中有两组基： 设空间中有两组基：{β1 , β 2 ,..., β n }
过渡矩阵C的性质： 过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵 C的第i列是β i 在基{αi }下的坐标 的第i列是β 在基{
则( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 , α 2 ,..., α n )Cn×n
§1.2 1.2
子空间
概述：线性空间V 向量集合V 概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系： 合的运算和关系： Wi ⊆V， W1∪W2， W1∩W2， 问题： 问题 ： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合W 如果W 定义： 设非空集合W⊆V，W≠∅ ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W 的子空间。 则称W是V的子空间。 判别方法： 判别方法：Important Theorem W是子空间 ⇔ W对V的线性运算封闭。 的线性运算封闭。
2 − 4 A4 = − 3 − 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 讨论{ 的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合. 线性组合.
五、基变换和坐标变换
讨论： 讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
因此，要研究线性空间， 因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基 basis) 大线性无关组----即为基(basis) 即为基(
三、线性空间的基和维数
基(basis)：线性空间的极大无关组； (basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数： 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n 自然基{ Rm×n ，自然基{Eij}，dim Rm×n =m×n。 自然基{ F[t]3 ，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3 =3 自然基{1， dimF C[a，b]， {1， C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}⊆C[a,b]， …}⊆C[a,b]， dim C[a，b]= ∞ C[a， 约定： 约定： 本书主要研究有限维线性空间。 本书主要研究有限维线性空间。
α = (β1β 2 ...β n )Y
例 已知空间R中两组基（I）{Eij} 已知空间R中两组基（ II）； ）；{ （II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 0 3 3 1 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 求从基（ 到基（II）的过渡矩阵C 2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 在基（II）的坐标Y 1 2
子空间本身就是线性空间。 子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： 子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝⊆R 3，是子空间 ={x=(x V={x=(x V={x=(x1，x2，1｝⊆R 3，不是子空间
矩阵A 矩阵A∈R m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间 AX=0的解集： S=｛X ： AX=0｝⊆Rn， AX=0 •非齐次线性方程的解集： 非齐次线性方程的解集： 不是子空间 M=｛X ： AX=b｝ ｛ ｝
归纳： 归纳： 有了基， 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 元素对应起来， 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。 进行研究。
*例3 设R2×2中向量组{Ai} 中向量组{
1 1 0 2 A1 = A 2 = 1 3 1 2 3 1 A3 = 0 1
要点： 要点：
• 集合V 与数域F 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 运算之后的结果跑不出去） （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美） （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或 F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x ∈F} ={X= 运算： 运算：向量加法和数乘向量 Fm×n = {A=[aij]m×n：a ij∈F}； {A=[a F}； 运算： 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Rm×n ；Cm×n 。 F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：ai∈R} ={f(x)=a 运算： 运算：多项式的加法和数乘 •C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续} C[a ]={f（ ）：f 上连续} 运算： 运算：函数的加法和数乘 •Example： V=R+，F=R， a⊕ b=ab， λ⊗ a=a λ Example： F=R， ab，
例1：求 求 下的坐标。 下的坐标。
R2×2中向量
3 1 在基{E } 在基{ ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： 设空间F 的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1， {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} {1，（ 在这两组基下的坐标。 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
第1章：线性空间与线性变换
内容： 内容： 线性空间的一般概念 重点： 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点： 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 特点 研究代数结构——具有线性运算的集合。 研究代数结构——具有线性运算的集合。 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。 学习特点：具有抽象性和一般性。
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi ∈R} ={X= 运算： 运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间， 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点： 线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： 线性空间的简单性质（共性）： 中的零元素是惟一的。 （1） V中的零元素是惟一的。 中任何元素的负元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数零和零元素的性质： （3）数零和零元素的性质： 0α=0，k0=0，k α=0 ⇒ α=0 或k=0 =0，k0=0， k=0 数0 （ 4） − α= （ − 1） α
重要的子空间：生成子空间 重要的子空间： 设向量组｛ ···， 设向量组｛α1，α2，···，α m｝⊆V，由它们的一 切线性组合生成的子空间： 切线性组合生成的子空间： Span{ Span{α1，α2，···，αm }=L(α1，α2，···，αm) ···， =L(α ···， = ｛k1α1+k2α2+···+kmαm| ki} ···+ 生成子空间的重要的性质： 生成子空间的重要的性质： 1 ） 如果 α 1 ， α 2 ， ··· ， α m 线性无关 ， 则其为生成子空 如果α ···， 线性无关， Span{ ···， 的一组基； 间Span{α1，α2，···，αm }的一组基； 2）如果α1，α2，···，αr是向量组α1，α2，···，αm的最 如果α ···， 是向量组α ···， 大线性无关组， 大线性无关组，则 Span{ Span{α1，α2，···，αm } ···， ···， Span{ ···， α1，α2， ···，αr是Span{α1，α2， ···，αm }的一 组基