1绪论-数值分析

数值分析Numerical Analysis

数值分析是

学习和了解科学计算的桥梁！

数学的一种分类

基础数学（理想化的）计算数学（实用化的）随机数学（圆滑的）

数值分析学习方法

1.注意掌握各种方法的基本原理

2.注意各种方法的构造手法

3.重视各种方法的误差分析

4.做一定量的习题

5.注意与实际问题相联系

6.了解各种方法的算法与程序实现 教材与参考书

1.《数值分析教程》，北京交通大学自编, 教材

科,2010

2.《数值分析》第四版，李庆杨等, 清华大学出版

社,2001

3.数学实验基础，王兵团，清华大学出版社，2008

考试方法

1.闭卷考试占90%

2.课外小论文（或选一个数值实验题做）占10%（交纸质论文）

第1章绪论

本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。

1.1 学习数值分析的重要性

思考：

用一种计算机语言正确编程，计

算机就一定能给出正确的结果，问题是这样简单吗？

例 1.1 将数列

10

5

n

n x I dx x =+⎰

写成递推公式形式，并计算数列12,,I I 的值。

解：因为

11

1

01

111

1

00555

1555n n n n n n n x x x I dx

x x x dx dx I x n

-----+-=+=-=-+⎰⎰⎰ 得到计算I n 的递推公式

()1

1

51,2,

1.1n n I I n n

-=-=

由

100

16ln 55

I dx x ==+⎰

由递推公式（1.1）可依次算出I 1，I 2，……。

实际中，计算时一般需要具体的数据，若取

0I 为准确到小数点后

8位的近似值作为初始

值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现

2120.3290211010I =-⨯

的结果，这显然是错误的！（为什么？）

用计算机解决实际

问题的四个步骤

1.建立数学模型；

2.选择数值方法；！

3.编写程序；

4.上机计算。

1.2计算机中的数系与运算特点

1.计算机的数系

● 数学中的实数

123100.c x a a a =±⨯⋅⋅⋅

其中}{9,4,3,2,1,0⋅⋅⋅∈i a ，c 为整数。x 称为十进制浮

点数。

● β 进制的浮点数 ⋅⋅⋅⨯±=321.0a a a x c

β }{1,4,3,2,1,0-⋅⋅⋅∈βi a 。

计算机中实数

t c

a a a a x ⋅⋅⋅⨯±=321.0β

}{1,4,3,2,1,0-⋅⋅⋅∈βi a 其中t （字长）是正整数； β一般取为2,8,10和16； C （阶码）是整数，L ≤c ≤U ，L 和U 为固定整数；

1230.t a a a a ⋅⋅⋅称为尾数；数x 称为t 位β进制浮点数。

机器数系：

是计算机进行实数运算所用的数系。

在),,,(U L t F β 中，若10a ≠称为规格化的浮点数。

机器数系的特点

● 机器数系是有限的离散集。

● 机器数系中有绝对值最大的非零数(常用M 表示)和绝对值最小的非零数(常用m 表示)。

例如在4位十进制浮点数系F （10,4,-99，99）中，99100.9999M =±⨯，99100.0001m -=±⨯。

● 若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m ，则计算机产生下溢错误。

● 上溢时，计算机中断程序处理;下溢时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。无论是上溢，还是下溢，都称为溢出错误。

● 计算机把尾数为0且阶数最小的数表示数零。

2.计算机对数的接收与处理

计算机对数的接收

设非零实数x 是计算机接收的实数，则计算机对其的处理为

（1）若),,,(U L t F x β∈ 则原样接收x ；

（2）若),,,(U L t F x β∉，M x m ≤≤，则用),,,(U L t F β 中最接近x 的数)(x fl

表示并记录x。

计算机对数的运算处理

两个数在计算机中参与运算的方式为：（1）加减法

先对阶，后运算，再舍入；（2）乘除法

先运算，再舍入

例，某计算机的数系F （10, 4,－99,99）的两个数x 1=0.2337×10 -1和x 2＝0.3364×102 ，则运算过程如下

12122222

()(0.2337100.336410)

(0.0002337100.336410)

(0.336633710)

0.336610

fl x x fl fl fl -+=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯===对阶运算舍入

121200()(0.2337100.336410)

(0.786166810)

0.7862100.7862

fl x x fl fl -⋅=⨯⨯⨯=⨯=⨯=运算舍入