第九次课(极点配置与观测器的设计)

u (t )
B
+
∫
A
x
C
y
B
+
∫
A
$ x
C
$ y
5
ˆ 从所构造的这一装置可以直接测量 x(t) 。这种
开环状态估计器存在如下缺点： 开环状态估计器存在如下缺点： ① 每次使用必须重新确定原系统的初始状态并 对估计器实施设置； 对估计器实施设置； 有正实部特征值时， % ②在 A 有正实部特征值时， x(t)最终总要趋向无 ∆ 穷大。 穷大。
0 −80 −80 1 80 ˆ = 1 19 20 x + 0 u + −20 y 0 −30 −32 0 31
20
其模拟结构如图为
y
u
∫
$ x1
∫
$ x2
∫
$ x3
$ y
21
5.4.3 降维状态观测器设计
代回到式（ 33） 3）令G = P −1G ，代回到式（5-33）中就得到系 统的状态观测器。 统的状态观测器。
12
例
给定系统的状态空间表达式为
−1 1 0 & x= x + 1 u 0 −2 y = [ 2 0] x
试设计一个全维状态观测器，使其极点为－ 试设计一个全维状态观测器，使其极点为－ 10、－ 、－10 10、－10 解：1、判断系统能观测性 C rankQ0 = rank = 2 CA 所以系统使状态能观测的， 所以系统使状态能观测的，可构造能任意配 置极点的状态观测器。 置极点的状态观测器。
利用y直接产生部分状态变量， 利用y直接产生部分状态变量，降低观测器 的维数。若输出m 则需要观测的状态为(n (n的维数。若输出m维，则需要观测的状态为(n-m) 维。即观测器的维数少于状态维数 →简化结构 （一）建模
& x = Ax + Bu 完全能观测 已知 y = Cx n 维系统， m 个输出 C = [C1 C 2 ]m× n C1为 m × m C 2为 m × ( n − m )
5.4 观测器及其设计方法
引言： 引言： 系统设计离不开状态反馈 实际系统的状态变量不是都能用物 理方法测得到的 需要设法得到状态变量 →采用状态 观测器实现状态重构
1
5.4.1 观测器的设计思路
设线性定常系统 不能直接检测
∑ ＝（A , B, C )
0
的状态向量
x
如果动态系统 ∑g 以 ∑0 的输入 u 和输出 y 作 ∧ 为其输入量能产生一组输出量 x 渐近于 x ∧ 即
11
设状态观测器期望的极点为 s1 , s2 ,L , sn ，其特征 多项式记为
∆ ( s ) = ∏ ( s − si ) = s + a s
* K n i= i =1
n
* n −1 n −1
+L + a s + a
* 1
* 0
令同次幂的系数相等， 令同次幂的系数相等，即得
* G = a0 − a0 * a1 − a1 * * a2 − a2 L an −1 − an −1
1 L 0 0 L 0 1 L 0
M M M 0 L 1 −an −1 − g n −1
−a0 − g 0 −a1 − g1 −a2 − g 2
sI − ( A − GC ) = s n + ( an −1 + g n −1 ) s n −1 + L + ( a1 + g1 ) s + ( a0 + g 0 ) = 0
0]
或：
x 1 = A1 1 x 1 + A1 2 x 2 + B 1 u
•
•
x
2
= A 2 1 x1 + A 2 2 x 2 + B 2 u
y = x1
上式 x1可由 y直接获得 , 不必再通过观测器 , 只要求估计 x2的值。
24
2、建立需被观测部分的状态方程
由y = x1
y = A11 y + A12 x 2 + B 1 u & & x 2 = A 21 y + A 22 x 2 + B 2 u
13
2、设状态观测器为 ∧ & ˆ x = [ A − G C ] x + bu + G y ˆ ˆ y = Cx 3、实际状态观测器特征多项式
−1 1 g1 A − GC = − g [ 2 0] 0 −2 2 −1 1 2 g1 0 −1 − 2 g1 = − 2 g 0 = −2 g 0 2 2 2
22
关键是求出 C 2 对应的 X 2部分 ← 观测器
把状态方程“一分为二” 1、把状态方程“一分为二” 线性变换 矩阵
C1 −1 P = 0 C2 C1−1 = I n−m 0
−1
−C1−1C2 I n−m
rankP = n, 取 x = P x
系统方程变换为 式中
2) 观测器的期望特征多项式为
(s − λ1*)(s − λ2*)(s − λ2*) = (s + 5)(s + 4 + j4)(s + 4 − j4) = s3 +13s2 + 72s +160
* * * 得 a1 =13，a2 = 72，a3 =160
% 3) GT = [g1 g2 g3 ]
* * * = [a3 − a3 a2 − a2 a1 − a1] = [160 71 11]
• x = A x + B u y = Cx
A12 A22
B1 B = PB = B2
A11 A = PAP = A21
−1
23
C = CP −1 = [C1
C1−1 C2 ] 0
−C1−1C2 = [ Im I n−m
t →∞
才能实现。 % (2)由于 x → 0需要一个过程，故也称为渐进状态
t →∞
观测器或实用状态观测器。
9
全维状态观测器设计方法 设单输入系统能观， （1）设单输入系统能观，通过 x = P −1 x ，将状 态方程化为能观标准形。 态方程化为能观标准形。有
0 1 & x = 0 M 0 y = [0 β0 β 1 x + β2 u M M M M M β n −1 0 L 1 − an −1 0 L 0 1] x 0 L 0 0 L 0 1 L 0 − a0 −a1 − a2
lim [ x − x ] = 0 , t→∞
的一个状态观测器。 则称 ∑g 为∑ 0 的一个状态观测器。
2
5.4.2 状态观测器的存在条件
定理 系统 ∑ ( A, B, C ) 其观测器极点可任意 配置的充要条件是系统完全能观测 证: 因为
& ∑： = Ax + Bu x y = Cx
y = Cx
所以, 所以,只有当 rankN = n 时，上式中的 x才能有唯 一解即只有当系统是状态完全能观测时,状态向 一解即只有当系统是状态完全能观测时, 量 x 才能由 u、y 以及它们的各阶导数的线性组 合构造出来。 合构造出来。
4
5.4.2 全维状态观测器
开环状态估计器： (1) 开环状态估计器：构造一个与原系统完全相 同的模拟装置
4)
5) 6)
1 −1 1 1 −1 P = Q = 0 2 −2 2 0 −2 4
1 1 1 − 2 80 2 2 T % T P = [160 71 11] 0 1 −1 = [80 −20 31]，G = −20 G =G 0 −1 2 31
0 8.5 1 u + 32 y
15
ˆ y = [2
ˆ 0] x
16
例
给定系统的状态空间表达式为
y = [0 1 1]x
0 0 0 1 & x = 1 − 1 0 x + 0u 0 1 − 1 0
6
定义偏差
% ˆ x = x−x
说明
& % ˆ ˆ % x = Ax + Bu − Ax − Bu = A( x − x) = Ax
% = eA(t−to ) x(t0 ) = eA(t−t0 )[x(t0 ) − x(t0 )] % ˆ x ˆ 当x(t ) = x(t )，偏差~ = 0 x
0 0
& & y = Cx = CAx + CBu
&& = CAx + CBu = CA2 x + CABu + CBu & & & y M y
(n−1)
= CA x + CA Bu +L + CBu L
n−1
n−2
(n−2)
3
即
y C CA & y − CBu && − CBu − CABu = CA2 x Nx & y M M y(n−1) − CBu(n−2) −L − CAn−2Bu CAn−1 L
19
得全维状态观测器
& ˆ ˆ x = ( A−GC)x + Bu + Gy 0 0 0 80 1 80 $ = 1 −1 0 − −20[ 0 1 1] x + 0 u + −20 y 0 1 −1 31 0 31
18
C a2 a1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 0 Q = CA a1 1 0 = 1 0 −12 1 0 = 0 2 1 2 CA 1 0 0 1 −1 1 1 0 0 0 1 1
g1 5、 求 G = g 2
f (λ )与f ∗ (λ )系数对应相等
g 1 = 8 .5 g 2 = 32
3 + 2 g1 = 20 2 + 4 g1 + 2 g 2 = 100
6、状态观测器为 ∧ 1 − 18 & ˆ x= x+ − 64 − 2
1 −2
f (λ ) = λ I − ( A − GC ) = λ 2 + (3 + 2 g1 )λ + (2 + 4 g1 + 2 g 2 )
14
4、观测器期望特征多项式
* f ∗ (λ ) = (λ − λ0 )(λ − λ1* ) = (λ + 10)(λ + 10)
= λ 2 + 20λ + 100
设计一个全维状态观测器， 设计一个全维状态观测器，并使观测器的 极点为 * λ1* = −5 λ2,3 = −4 ± j4
17
系统完全能观测的， 解: 系统完全能观测的，可构造任意配置特 征值全维状态观测器。 征值全维状态观测器。
T 3 2 ， 1)由 1)由det(sI − A ) = s + 2s + s,得 a1 = 2，a2 =1 a3 = 0
来自百度文库
& ˆ x = ( A − G )x + Bu + G C ˆ y
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维线性定常系统是状态完能观， 定理 若n维线性定常系统是状态完能观，则 存在状态观测器
& ˆ ˆ x = ( A− GC)x + Bu + Gy
的特征值。 可选择矩阵 G 来任意配置 ( A− GC) 的特征值。
强调： 强调：
% (1) A、C必须能观，x → 0要求对系数阵的配置
线性变换阵P可以由第3章式（3-30）求出。 线性变换阵P可以由第3章式（ 30）求出。
10
构造状态观测器。 （2）构造状态观测器。
& x = ( A − GC ) x + bu + Gy
令 G = [ g0
g1 L g n −1 ]T ，得到
其闭环特征方程为
0 1 A − GC = 0 M 0
ˆ (t0 ) ≠ x(t0 )，~ ≠ 0 通常x x
如果
<
特征值为正，~ → ∞，不允许 x 特征值为负，~ → 0. x
t →∞
因此，要求A阵具有负根，且远离虚轴 极点靠近虚轴近，如－0.1，e
−0.1t
衰减慢。
7
(2)闭环全维状态观测器。 (2)闭环全维状态观测器。 闭环全维状态观测器 状态观测器的动态方程可写为： 状态观测器的动态方程可写为：