第二章 拉普拉斯变换的数学方法

第二章 拉普拉斯变换的数学方法
2-1 试求下列函数的拉氏变换 （1）23)(2
++=t t t f
解：3
2232()=++F s s s s
（2）t t t f 2cos 32sin 5)(−=
解：22
103()44=−++s
F s s s （3）at
n e t t f ⋅=)(
解：1
!
()()+=−n n F s s a （4）t e t f t
6sin )(2−=
解：2
6
()(2)36
=++F s s （5）at t t f cos )(=
解：1()cos ()2
−==+jat
jat f t t at t e e
22
2222222
111()2()()()4⎛⎞+=+=⎜⎟+−−+⎝⎠s a F s s ja s ja s a a s
（6）t t f 2
cos )(= 解：1cos 2()2+=
t
f t 22
2211112
()()22424(4)
+=+⋅=+=+++s s s F s s s s s s s （7）)(5)(2t e t f t
δ+=
解：1
()52
=
+−F s s
（8）)(sin )(cos )(t u t t t t f ⋅−⋅=δ
解：1
111)(22
2+=+−=s s s s F
2-2 已知)
1(10
)(+=
s s s F
（1）利用终值定理，求∞→t 时的)(t f 值。

解：0
01010
lim ()lim ()lim lim 10(1)1
→∞
→→→====++t s s s f t sF s s
s s s
（2）通过取)(s F 拉氏反变换，求∞→t 时的)(t f 值
解：1210
()(1)1
=
=+++c c F s s s s s
12011010
lim
10,lim 10
11010()1()1010lim ()lim(1010)10
→→−−−→∞
→∞
====−+=−+=−=−=s s t
t t t c c s s F s s s f t e f t e 2-3 已知2
)2(1
)(+=
s s F
（1）利用初值定理求)0(f 值。

解：2
1
(0)lim ()lim ()lim 0(2)→→∞
→∞
====+t s s f f t sF s s
s
（2）通过取)(s F 拉氏反变换求)(t f ，然后求)0(f 。

解：2
1
()(2)
=
+F s s 220
()(0)lim 0
−−→===t
t t f t te f te
2-4 求下列图所示函数)(t f 的拉氏变换。

解：
（1）周期信号()f t 在一个周期(0,2)∈t t 内的数学表达式
题图
2-4 (a) (b)
[]()2()
1
()2112()()()11−−−−=Α−Α⋅−Α=
−Α⋅⋅ΑΑ⎛⎞
=Γ=⋅=−⎜⎟−−⎝⎠s
s s s x t u t x s e s s
F s f t x s e e e s s τττττ 解：(2) ()8()2(2)=⋅−⋅−f t u t u t
282
()−=−s F s e s s
2-5 试求下列函数的拉氏反变换
（1）41
)(2
+=s s F 解：2
22222
2121)(+⋅
=+=s s s F t t f 2sin 2
1
)(=
（2）4
)1(1
)(+=
s s F
解：431
113!
()(1)3!(1)
+=
=⋅++F s s s 31
()6
−=⋅t f s t e
（3）52)(2
+−=
s s s
s F 解： 4
1252)(2
2++−=+−=s s s
s s s s F 222
22
222222)1(1212
)1(12)1(1
2)1(12)1(+−⋅++−−=+−+
+−−=+−=
s s s s s s s s
t e t e t f t
t 2sin 2
12cos )(−−⋅+
= （4）93
2)(2
++=
s s s F 解：222
2323
()999
+==++++s s F s s s s ()2cos3sin 3=+f t t t
（5）)
3)(1(3
)(−++=
s s s s F
解：121
323)3)(1(3
)(+−−=−++=s s s s s s F
t t e e t f −⋅−⋅=
2123)(3 （6）6
1
)(2−++=s s s s F
解：2
112131
()6(3)(2)5352
++=
==⋅+⋅+−+−+−s s F s s s s s s s 3223
()55
−=+t t f t e e
（7）13
45
2)(2+++=s s s s F
解：222
252(2)13
()413(2)93(2)9
++=
=+⋅++++++s s F s s s s s 221
()2cos3sin 33
−−=+t t f t te te
（8）2
()(2)(1)
s
F s s s =
++ 解：22122
()(2)(1)(1)12
−−=
=+++++++s F s s s s s s
t t t e e te t f 222)(−−−−+−=
2-6 求下列卷积 （1）11∗
[]2
12111
11111s s s
t
s −Γ∗=⋅=⎡⎤
∗=Γ=⎢⎥⎣⎦
解：
（2）t t ∗
[]224
13
4111116t t s s s t t t s −Γ∗=
⋅=⎡⎤
∗=Γ=⎢⎥⎣⎦解：
（3）t
e t ∗
21122111
11111111t
t t
t e s s t e s s s s s t e −−⎡⎤Γ∗=
⋅⎣⎦−−−⎡⎤⎡⎤∗=Γ⋅=Γ++⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦
=−−+解： （4）t t sin ∗
[]2211222211
sin 1111
1sin 11sin t t s s t t s s s s t t
−−Γ∗=
⋅
+⎡⎤⎡⎤∗=Γ⋅=Γ−⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
=−解：
2-7 用拉氏变换的方法解下列微分方程
（1）43,(0)(0)1t
x x x e x x −′′′′++===
22222312
2211221"4'3(0)'(0)1
1()(0)'(0)4()4(0)3()1
1
(43)()141
1(5)(1)66
()(43)(1)(1)(3)
(1)13
661
lim 3
2lim t s s x x x e x x s x s sx x sx s x x s s s s x s s s s s s s x s s s s s s c c c s s s s s c s s c −→−→−++===−−+−+=+++=
+++++++++==
+++++=++
+++++==
++=解：22123212366(26)(3)(66)7
'lim 3(3)4663
lim (1)4117131()2(1)4143173()244
s s t t t
s s s s s s s s s c s x s s s s x t te e e →−→−−−−⎛⎞+++−++==⎜⎟++⎝⎠++==−
+=⋅+⋅−⋅
+++=+−
（2）220,(0)0,(0)1x x x x x ′′′′++===
2222"2'20(0)0,'(0)1
()(0)'(0)2()2(0)2()0(22)()111
()22(1)1
()sin t x x x x x s x s sx x sx s x x s s s x s x s s s s x t e t
−++===−−+−+=++==
=
++++=解：。