高一数学必修一精典压轴题全国总汇编

1． （本小题满分12分）已知x 满足不等式2112

2

2(log )7log 30x x ++≤，

求2

2()log log 42

x x

f x =⋅的最大值与最小值及相应x 值． 1.解：由21122

2(log )7log 30x x ++≤，∴121

3log 2x -≤≤-，

∴

21

log 32

x ≤≤， 而2222()log log (log 2)(log 1)42

x x

f x x x =⋅=--

=222(log )3log 2x x -+=2231

(log )24

x --，

当23log 2x =时min 1

()4

f x =- 此时x =3

22

=，

当2log 3x =时max 91

()244

f x =-=，此时8x =．

21．（14分）已知定义域为R 的函数2()1

2x x a

f x -+=

+是奇函数

（1）求a 值；

（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；

（3）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；

21.．解：（1）由题设，需12

(0)0,1a

f a -+=

=∴=，12

12()x

x

f x -+∴= 经验证，()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）

（2）减函数--------------（3分） 证明：任取

1

2

1

2

2

1

,,,0R x x x x x x x ∈∆=-p f ，

由（1）12212

1

122(22)

12122

1

1212(12)(12)

()()x x x x x x x x y f f x x ---++++∆=-=-=

121

2

1

2

12

,022,220,(12)(12)0x x x x x x x x ∴∴-++Q p p p p f

0y ∴∆p

∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）

（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得22

(2)(2)f t t f t k -<--，

()f x Q 是奇函数

22

(2)(2)f t t f k t ∴-<-，由（2），()f x 是减函数 ∴原问题转化为2222t t k t --f ，

即2

320t t k --f 对任意t R ∈恒成立------（10分）

4120,k ∴∆=+p 得1

3

k <-即为所求--- ---(14分)

20、（本小题满分10分）

已知定义在区间(1,1)-上的函数2

()1ax b f x x +=+为奇函数,且12

()25

f =. (1) 求实数a ,b 的值；

(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.

20、解：(1)由2

()1ax b f x x +=+为奇函数,且 2122()1251()2

a

b

f +==+ 则21122()()1225

1()2

a b

f f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。∴2()1x f x x =

+ (2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<<<,

221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)

x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=

++++12122212()(1)

(1)(1)x x x x x x --=++ Q 1211x x -<<< ∴ 120x x -< ,1210x x -> , 21(1)0x +>, 22(1)0x +> ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <

故函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数.

(3) Q (1)()0f t f t -+< ∴ ()(1)(1)f t f t f t <--=-

Q 函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴ 111111

t t

t t <-⎧⎪

-<<⎨⎪-<-<⎩

∴102t <<

故关于t 的不等式的解集为1

(0,)2

.

21．(14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1)

(2)求证：f(x)为减函数。

(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f 21，（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0

(2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则

f(kx)=f(x)+f(k)

因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x

所以kx>x,f(kx)

f(x)为R+上的单调减函数

法二：设()2121,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则

)()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=-

有题知，f(k)<0

)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即

所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三

设()2121,0,x x x x <+∞∈且

)()()()()(1

2121121x x f x x x f x f x f x f -=⋅

-=- 0)(11

212<∴>x x

f x x Θ

)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即

所以f(x)在（0，+∞）上为减函数

22、（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2

-2bx+

4

b

(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

22. 解：f(x)=(x-b)2-b 2+4

b 的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1），

(I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2+4b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-31

4

b ，